广西壮族自治区北海市第三中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

广西壮族自治区北海市第三中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知“成等比数列”，“”，那么成立是成立的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又非必要条件参考答案：D成等比数列,则有，所以，所以成立是成立不充分条件.当时，有成立，但此时不成等比数列，所以成立是成立既不充分又非必要条件，选D.2.若集合，则集合的真子集个数是A．16

B．8

C．4

D．3参考答案：D集合中有两个元素，则集合A的真子集个数是．选D.3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为，选B

4.下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是

()A．f(x)＝

B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex

D．f(x)＝ln(x＋1)参考答案：A5.下列命题：①在中，若，则；②已知，则在上的投影为；③已知，，则“”为假命题；④已知函数的导函数的最大值为，则函数的图象关于对称．其中真命题的个数为（

）（A）1

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：B①根据正弦定理可知在三角形中。若，则，所以，正确。在上的投影为，因为，所以，所以②错误。③中命题为真，为真，所以为假命题，所以正确。④中函数的导数为，最大值为，所以函数。所以不是最值，所以错误，所以真命题有2个选B.6.椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．一l参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力7.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（）A． B．1+ C． D．参考答案：D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；简单空间图形的三视图．【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即，求出全面积与侧面积，即可得出结论．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即，所以，，则，故选：D．【点评】本题考查个圆柱的全面积与侧面积之比，确定，求出全面积与侧面积是关键．8.若，则A.－1

B.1

C.－3

D.3参考答案：B9.设集合（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B10.已知i为虚数单位，且复数z满足，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标，则答案可求．【详解】由，得，∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为

．参考答案：27考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：棱锥S﹣ABC的底面积为定值，欲使棱锥S﹣ABC体积体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，由此能求出棱锥S﹣ABC体积的最大值．解答： 解：∵表面积为60π的球，∴球的半径为，设△ABC的中心为D，则OD=，所以DA=，则AB=6棱锥S﹣ABC的底面积S=为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，∴S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为，∴V=．故答案为：27．点评：本小题主要考查棱锥的体积的最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为

.参考答案：13.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是．参考答案：

【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举出满足条件的所有事件的可能，从而求出概率值即可．【解答】解：由题意得，开机密码的可能有：（4，A），（4，a），（4，B），（4，b），（5，A），（5，a），（5，B），（5，b），（6，A），（6，a），（6，B），（6，b），共12种可能，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，列举出满足条件的所有事件的可能即可．14.数列的首项为，且，记为数列前项和，则

。参考答案：15.已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围为

。参考答案：略16.若函数的图象在点处的切线过点(2,2)，则a=______.参考答案：1【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可．【详解】函数f（x）=xlnx+a，可得f′（x）=lnx+1，所以f′（1）=1，

又f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1．

故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．17.若函数f（x）具有性质：，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：①f（x）=logax（a＞0且a≠1）；

②f（x）=ax（a＞0且a≠1）；③；

④．其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是．参考答案：①③④【考点】抽象函数及其应用；对数的运算性质．【专题】压轴题；新定义．【分析】利用题中的新定义，对各个函数进行判断是否具有，判断出是否满足“倒负”变换，即可得答案．【解答】解：对于f（x）=logax，，所以①是“倒负”变换的函数．对于f（x）=ax，，所以②不是“倒负”变换的函数．对于函数，，所以③是“倒负”变换的函数．对于④，当0＜x＜1时，＞1，f（x）=x，f（）=﹣x=﹣f（x）；当x＞1时，0＜＜1，f（x）=，；当x=1时，=1，f（x）=0，，④是满足“倒负”变换的函数．综上：①③④是符合要求的函数．故答案为：①③④【点评】本题考查理解题中的新定义，并利用定义解题；新定义题是近几年常考的题型，解答此类问题的关键是灵活利用题目中的定义三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如下图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（I）求AC的长；（II）求证：BE＝EF．参考答案：解：（I），，…（2分）又，

，，…………（4分），

…………（5分）

（II），，而，

…………（8分），．

…………（10分）

19.已知无穷数列的首项，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.参考答案：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；②假设当时不等式成立，即，那么当时，，所以，即时不等式也成立.综合①②可知，对任意成立.--------------------------------5分（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。------------7分又，易知为递减数列，所以也为递减数列，所以当时，-------------------10分所以当时，------12分当时，，成立；当时，综上，对任意正整数，-----------------------------------------------------------------15分20.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。参考答案：略21.函数的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）若△ABC的三边为a、b、c成单调递增等差数列，且，求cosA﹣cosC的值．参考答案：考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用周期求ω，利用最高点的坐标，求出φ的值，再利用图象平移，可求函数y=g（x）的解析式；（2）先求出B，再令cosA﹣cosC=t，则（sinA+sinC）2+（cosA﹣cosC）2=2+t2，从而可得结论．解答： 解：（1）由图知：，∵，∴，即，由于，∴，∴，∴函数y=g（x）的解析式为．（2）由于a，b，c成等差，且，∴，∵，，∴，∴，令cosA﹣cosC=t，则（sinA+sinC）2+（cosA﹣cosC）2=2+t2，∴，由于t＞0，∴．点评：本题考查函数解析式的确定，考查图象的平移，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.（本小题满分12分）

已知函数，为正常数．

（Ⅰ）若，且，求函数的单调增区间；

（Ⅱ）若，且对任意，，都有，求的的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），.........................2分

∵，令，得，或，......