初中数学人教版八年级上册教案 14-2-2 完全平方公式

第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式一、教学目标【知识与技能】1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.2.掌握乘法公式的结构特征及公式的含义,理解添括号法则,会正确地添括号运用这些公式进行计算.【过程与方法】1.经历利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式的过程.2.通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.【情感、态度与价值观】1.通过完全平方公式的应用，体会公式中字母的含义，渗透整体、数形结合、类比的数学思想.2.培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会数学的重要价值.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】 1.完全平方公式的推导过程，结构特点，几何解释；2.完全平方公式的应用.3.利用添括号法则灵活应用乘法公式进行运算.【教学难点】 1.完全平方公式的特点及整体思想的渗透.2.根据式子特点灵活添加括号，使其符合乘法公式特点.五、课前准备 教师：课件、直尺、矩形、正方形结构图等。学生：三角尺、练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔、直尺。六、教学过程（一）导入新课现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.（出示课件2）（二）探索新知1.设计问题，探究完全平方公式教师问1：同学们，前面我们学习了多项式乘以多项式和平方差公式，请同学们计算：(1)(2x＋1)(x＋3)；(2)(m＋2n)(m－3n)；(3)(3a＋2b)(3a－2b);(4)(2x－3y)(2x＋3y).学生回答：(1)(2x＋1)(x＋3)=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3；(2)(m＋2n)(m－3n)=m2-3mn+2mn-6n2=m2-mn-6n2；(3)(3a＋2b)(3a－2b)=9a2-4b2;(4)(2x－3y)(2x＋3y)=4x2-9y2.教师问2：请同学们计算：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________；(2)(x＋y)2＝________；(3)(p－1)2＝________；(4)(x－y)2＝________.学生回答：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2+p+p+1=p2+2p+1；(2)(x＋y)2＝(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2；(3)(p－1)2＝(p-1)(p-1)=p2-p-p+1=p2-2p+1；(4)(x－y)2＝(x-y)(x-y)=x2-xy-xy+y2=x2-2xy+y2.教师问3：通过计算，你发现了什么规律？学生交流并且讨论后回答：两个数和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的两倍；两个数差的平方，等于这两个数的平方和减去这两个数乘积的两倍.教师问4：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？

学生回答：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.（出示课件5）教师总结：（出示课件6）完全平方公式文字叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.符号叙述：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.简记为：

“首平方，尾平方，积的2倍放中央”

教师问5：怎么验证这一规律呢？学生回答：1.学生可以通过计算来验证.(学生小组内独立完成)教师问6：你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗?（出示课件7）学生讨论后得出：就是如何验证(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2?师生共同解答如下：先看图1，可以看出大正方形的边长是a＋b，还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2.另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2.另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是a＋b，其面积是(a＋b)2.于是就可以得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.教师问7：如何验证(a－b)2＝a2－2ab＋b2？学生小组讨论后回答：（出示课件8）如图2中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是(a－b)，所以它的面积是(a－b)2.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积，也就是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.教师问8：（出示课件11）观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2教师问(1)：说一说积的次数和项数.

学生回答：积的次数都是2次，项数都是3项》教师问(2)：两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？

学生回答：两个完全平方式的积有相同的项，是a2和b2.教师问(3)：两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a，b有什么关系？它的符号与什么有关？

学生回答：两个完全平方式的积中不同的是2ab，是a，b乘积的2倍，它的符号与b前边的符号一致.总结点拨：（出示课件12）公式特征：1.积为二次三项式；

2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.

4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.例1：运用完全平方公式计算：（出示课件14）(1)(4m+n)2；(2)（y-12）2

例2：运用完全平方公式计算：（出示课件16）

(1)1022；(2)992.

师生共同解答如下：

解：（1）1022

=(100+2)2

=10000+400+4

=10404.

(2)992.

=（100-1）2=10000–200+1

=9801.总结点拨：当一个数具备与整十、整百……相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便.例3：已知x–y＝6，xy＝–8.（出示课件18）求:(1)x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.

师生共同解答如下：解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，

∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy

＝36–16＝20；(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy

＝20–16＝4.

总结点拨：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：

x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.

2.创设情境，探究添括号法则教师问9：计算：(1)(2x－1)(2x＋1)；(2)(2a＋3b)(3b－2a)；(3)(2x－3y)2；(4)(4a＋b)2.学生回答：(1)(2x－1)(2x＋1)=4x2-1；(2)(2a＋3b)(3b－2a)=9b2-4a2；(3)(2x－3y)2=4x2-12xy+9y2；(4)(4a＋b)2=16a2+8ab+b2.教师问10：结合上题回答：(1)具备什么特点的式子可以应用平方差公式或完全平方公式？学生回答：平方差公式是两数和与两数差的乘积，完全平方公式是两数和与两数和的乘积或两数差与两数差的乘积.教师问11：平方差公式、完全平方公式中字母代表什么？学生回答：字母代表一个数、一个字母或一个单项式.教师问12：计算：(1)(2x＋y－1)2；(2)(3a－2b－4c)(3a－2b＋4c).学生回答：(1)(2x＋y－1)2=（2x+y-1）（2x+y-1）=4x2+2xy-2x+2xy+y2-y-2x-y+1=4x2+4xy+y2-4x-2y+1；(2)(3a－2b－4c)(3a－2b＋4c)=9a2-6ab+12ac-6ab+4b2-8bc-12ac+8bc-16c2=9a2-12ab+4b2-16c2.教师问13：计算：(1)[(2x＋y)－1]2；(2)[(3a－2b)－4c]·[(3a－2b)＋4c].学生回答：(1)[(2x＋y)－1]2=（2x+y）2-2(2x+y)+1=4x2+4xy+y2-4x-2y+1；(2)[(3a－2b)－4c]·[(3a－2b)＋4c]=(3a-2b)2-16c2=9a2-12ab+4b2-16c2.教师问14:通过以上两题计算的结果，你的发现了什么？学生回答：(2x＋y－1)2[(2x＋y)－1]2；(3a－2b－4c)(3a－2b＋4c)[(3a－2b)－4c]·[(3a－2b)＋4c].教师问15：平方差公式、完全平方公式中字母代表什么？学生回答：平方差公式、完全平方公式中字母可以代表一个数，一个字母，一个单项式，也可以是一个多项式；教师讲解：对于某些多项式乘以多项式，只要符合一定要求，就可以运用乘法公式进行运算.教师问16：观察(1)(2x＋y－1)2、(2)(3a－2b－4c)(3a－2b＋4c)与(1)[(2x＋y)－1]2、(2)[(3a－2b)－4c][(3a－2b)＋4c]有了什么变化？学生回答：后两式子添加了括号.教师问17：同学们完成下列运算.(1)4＋(5＋2)；(2)4－(5＋2)；(3)a＋(b＋c)；(4)a－(b－c).学生回答：(1)4＋(5＋2)=4+5+2=9+2=11；(2)4－(5＋2)=4-5-2=-3；(3)a＋(b＋c)=a+b+c；(4)a－(b－c)=a-b+c.教师问18:请同学们回忆去括号法则.学生回答：去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号.也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变.教师问19：把下面两个等式的左右两边反过来，得到什么？（出示课件20）a＋(b＋c)=a+b+c；(4)a－(b－c)=a-b+c.学生回答：a+b+c=a+(b+c);a–b+c=a–(b-c).

教师问20：你能总结出添括号法则吗？学生小结：添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.也是：遇“加”不变，遇“减”都变.（出示课件21）总结点拨：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确.例4：运用乘法公式计算:（出示课件22）(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

师生共同解答如下：解:(1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]

=x2–(2y–3)2

=x2–(4y2–12y+9)=x2–4y2+12y–9.

(2)原式=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.

（三）课堂练习（出示课件25-28）1.运用乘法公式计算(a–2)2的结果是()

A．a2–4a+4B．a2–2a+4

C．a2–4D．a2–4a–42.下列计算结果为2ab–a2–b2的是()

A．(a–b)2B．(–a–b)2

C．–(a＋b)2D．–(a–b)2

3.运用完全平方公式计算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；

(3)(2m–1)2=_______________；(4)(–2m–1)2=_______________.

4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

5.计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．6.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.

7.已知x+y=8，x–y=4，求xy.

参考答案：1.A2.D3.(1)36a2+60ab+25b2;（2）16x2–24xy+9y2；（3）4m2–4m+1；（4）4m2+4m+14.255.解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2

＝9a2–b2＋4b–4.

(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]

＝(x–y)2–(m–n)2

＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.

6.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；7.解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;

∵x–y=4，∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;

由①–②得4xy=48，∴xy=12.

（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝