高中数学新教材选择性必修第一册第二章《直线的方程》全部课件

第二章2.2.1点斜式方程1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一直线的点斜式方程思考1

如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案答案由斜率公式得k＝

，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0).思考2

经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案答案斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.答案

点斜式已知条件点P(x0，y0)和

图示方程形式y－y0＝

适用条件斜率存在斜率k

k(x－x0)知识点二直线的斜截式方程思考1

已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案答案将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案

y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零.思考3对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔________________，②l1⊥l2⇔________________.k1＝k2且b1≠b2k1k2＝－1

斜截式已知条件斜率k和直线y轴上的截距b图示方程式

适用条件斜率存在答案y＝kx＋b返回题型探究

重点难点个个击破类型一直线的点斜式方程例1

(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________.解析

∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程是_______________.解析由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－

.由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－

(x－1).x＝－3y－3＝－

(x－1)解析答案(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝

x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为______________.解析

∵直线l2的方程为y＝

x，设其倾斜角为α，则tanα＝

得α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为y＋2＝tan60°(x＋1)，即y＋2＝

(x＋1).y＋2＝

(x＋1)解析答案跟踪训练1

写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；解析答案解

y－5＝4(x－2)；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；解

∵直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解

y＝－1.类型二直线的斜截式方程例2

(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________________.解析答案解析

∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan60°＝

，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝

x＋3或y＝

x－3.y＝

x＋3或y＝

x－3(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.解由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.解析答案反思与感悟跟踪训练2

(1)已知直线l的斜率为

，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程；解设直线方程为y＝

x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得

·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝

x＋1或y＝

x－1.解析答案(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程.解∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为

，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝

x＋2.解析答案类型三平行与垂直的应用例3

(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？解析答案解

由题意可知，∵l1∥l2，解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解析答案反思与感悟解由题意可知，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝

.故当a＝

时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.跟踪训练3

已知在△ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3).(1)求AB边上的高所在直线的方程；解直线AB的斜率k1＝

＝

，AB边上的高所在直线斜率为－3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y－3＝－3(x－1).解析答案(2)求BC边上的高所在直线的方程；解直线BC的斜率k2＝

＝－1，BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为y＝x.返回(3)求过A与BC平行的直线方程.解由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其方程为y＝－x.解析答案123达标检测

4解析答案1.方程y＝k(x－2)表示(

)A.通过点(－2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.C1234解析答案2.倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是________________.解析

∵斜率为tan30°＝

，∴直线的方程为y－1＝

(x－2).y－1＝(x－2)12343.(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________；解析由题意可知a(a＋2)＝－1，解得a＝－1.(2)若直线l1∶y＝

与直线l2∶y＝3x－1互相平行，则a＝________.解析由题意可知解得a＝－

.－1解析答案1234解析答案4.(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；解

∵与直线y＝2x＋7平行，∴该直线斜率为2，由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1∴所求直线的方程为y＝2x－1.1234解析答案(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程.解

∵所求直线与直线y＝3x－5垂直，∴该直线的斜率为－

，由点斜式方程得：y＋2＝－

(x＋2)，即y＝－

x－

.故所求的直线方程为y＝－

x－

.规律与方法1.求直线的点斜式方程的方法步骤2.直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.3.判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交.(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合.(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直.(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑.返回第二章2.2.2两点式方程1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一直线方程的两点式思考1

已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程.答案思考2

过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母.过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.答案名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1

过点(5,0)和(0,7)的直线能用

＝1表示吗？答案能.由直线方程的两点式得答案思考2已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程.答案由直线方程的两点式得名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0斜率存在且不为0，不过原点知识点三线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，返回题型探究

重点难点个个击破类型一直线的两点式方程例1

(1)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____.解析由直线方程的两点式得∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.－2解析答案(2)△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：①AC所在直线的方程解由直线方程的两点式得反思与感悟所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0.②BC边的垂直平分线的方程.解因为B(2,1)，C(－2,3)，线段BC的中点坐标是所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，整理得2x－y＋2＝0.解析答案解方法一由A(－1，－1)，C(1,6)，则AC的中点为M.又因为A(－1，－1)，B(3,1)，则AB的中点为N(1,0).故过MN的直线为

(两点式)，即平行于CB的中位线方程为5x＋2y－5＝0.解析答案跟踪训练1

已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6).求与CB平行的中位线的直线方程.方法二由B(3,1)，C(1,6)得kBC

，故中位线的斜率为k

.又因为中位线过AC的中点M，故中位线方程为y＝

(斜截式)，即5x＋2y－5＝0.类型二直线的截距式方程例2

求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.解析答案反思与感悟②当a≠0时，直线设为

，即x＋y＝a，把P(2,3)代入得a＝5，∴直线l的方程为x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解设直线的两截距都是a，则有①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝

，∴直线l的方程为3x－2y＝0；反思与感悟跟踪训练2

(1)直线l过定点A(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l的方程为_________________________________.解析答案解析由题意可知直线l的方程为∴直线l的方程为即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0(2)直线l过点P(，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l的方程为__________________________________.解析答案解析设直线l的方程为

＝1(a>0，b>0)，又因为直线l过点P(，2)，即5a2－32a＋48＝0，所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0类型三直线方程的综合应用例3

已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.解析答案反思与感悟解如图，过B(3，－3)，C(0,2)的两点式方程为整理得5x＋3y－6＝0.这就是BC边所在直线的方程.BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，的直线的方程为即x＋13y＋5＝0.这就是BC边上中线所在直线的方程.由中点坐标公式可得点M的坐标为反思与感悟返回跟踪训练3

如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB，BC所在的直线方程分别为______________________.对称轴所在直线的方程为__________________.解析答案返回解析

∵AB＝4，在Rt△OAB中，|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，∴|OA|＝|OB|＝2，由直线的截距式方程可得AB的直线方程为即x＋y－2＝0.由上面可得：B(0,2)，C(－2，0)，即x－y＋2＝0，易得对称轴所在直线的方程为y＝±x，x＝0，y＝0.答案

x＋y－2＝0，x－y＋2＝0

y＝±x，x＝0，y＝0123达标检测

45解析答案1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(

)A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2解析代入两点式得直线方程整理得y＝x＋3.A12345解析答案2.经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(

)解析由点坐标知直线在x轴，y轴上的截距分别为4，－3，C123453.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为(

)A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.B解析答案12345解析答案4.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是______________________.解析

①若直线过原点，则k＝－

，∴y＝－

x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点，设

，即x＋y＝a.

∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0123455.已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；解直线BC的方程为即x＋2y－4＝0.(2)BC边上的高AD所在直线的方程；解由(1)知kBC＝－

，则kAD＝2，又AD过A(－3,0)，故直线AD的方程为y＝2(x＋3)，即2x－y＋6＝0.解析答案12345(3)BC边上的中线AE所在直线的方程.解

BC边中点为E(0,2)，故AE所在直线方程为即2x－3y＋6＝0.解析答案规律与方法与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.返回第二章2.2.3一般式方程1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一直线的一般式方程思考1

直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？答案能.思考2关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定.答案思考3

当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？答案形式

条件A，B

Ax＋By＋C＝0不同时为0所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系返回题型探究

重点难点个个击破类型一直线一般式的性质例1

设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________.解析令y＝0，得m＝

或m＝3(舍去).∴m＝

.解析答案(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.反思与感悟－2解析由直线l化为斜截式方程得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.解析答案跟踪训练1

(1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足________.解析答案得a＝－2，∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，∴a≠－2.

a≠－2(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，①若l在两坐标轴上的截距相等，求a；解令x＝0，则y＝a－2，令y＝0，则∵l在两坐标轴上的截距相等，得a＝2或a＝0.解析答案②若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解由①知，在x轴上截距为在y轴上的截距为a－2，得a<－1或a＝2.解析答案类型二判断两条直线的位置关系例2

判断下列直线的位置关系：(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；解直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；∴l1与l2重合.解析答案∴l1∥l2.(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.解由题意知，当a＝－1时，l1：y＝5，l2：x＋2＝0，∴l1⊥l2.当a≠－1时，故l1不平行于l2，又(－a－1)×2＋(2a＋2)×1＝0，∴l1⊥l2，综上l1⊥l2.反思与感悟解析答案跟踪训练2

(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；解析答案解方法一由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.解析答案方法二令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解析答案解方法一由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.②若2a＋3＝0，即a＝

时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直.解析答案③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.解析答案方法二由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.类型三求平行、垂直的直线方程例3

已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；解析答案(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为∴l的斜率为(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－

又∵l′过点(－1,3)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，又l′过点(－1,3)，即4x－3y＋13＝0.解析答案反思与感悟方法二

(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.跟踪训练3

已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；解将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直线方程为3x＋4y－14＝0.解析答案返回(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解

将与l垂