数学课件（新人教B版）第一章14均值不等式

均值不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式1.了解均值不等式的推导过程.2.会用均值不等式解决简单的最值问题.3.理解均值不等式在实际问题中的应用.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分(1)均值不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时，等号成立．(3)其中_____称为正数a，b的算术平均值，_____称为正数a，b的几何平均值．a>0，b>0a＝b2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R).(2)

≥

(a，b同号).(3)ab≤

(a，b∈R).(4)≥

(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.2ab23.利用均值不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值

.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

.注意：利用均值不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(

)××√×1.若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为

√因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，所以ab≥16，当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时等号成立.13.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_____m2.25设矩形的一边为xm，面积为ym2，其中0<x<10，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，∴ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25m2.探究核心题型第二部分命题点1配凑法题型一利用均值不等式求最值√由题意可知，x－2>0，命题点2常数代换法√则2x＋y的最小值为16.命题点3消元法例3

(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____.6方法一

(换元消元法)即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.方法二

(代入消元法)＝12－6＝6，所以x＋3y的最小值为6.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值.当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.思维升华跟踪训练1

(1)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是√√令t＝x－1，∴x＝t＋1，∵x>1，∴t>0，例4

(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是题型二均值不等式的常见变形应用√∵0<a<b，∴2b>a＋b，(2)(2023·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为√在Rt△OCF中，由勾股定理可得，∵CF≥OF，均值不等式的常见变形跟踪训练2

(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是√∵a，b为互不相等的正实数，例5

中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格.(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？题型三均值不等式的实际应用每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－×100＝5(万套)，总利润为5×(100－52)＝240(万元).(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？因为15－x>0，所以0<x<150.当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.利用均值不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值.跟踪训练3

某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高为_______cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小).设直角梯形的高为xcm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm，课时精练第三部分基础保分练1234567891011121314√又x2≠－1，故B错误；即x＝0时取等号，故C正确；12345678910111213141234567891011121314即sinx＝1时取等号，因为sinx∈(0,1)，故D错误.2.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则lga＋lgb的最大值为1234567891011121314√∵a>0，b>0，a＋b＝2，当且仅当a＝b＝1时，取等号.∴lga＋lgb的最大值为0.3.(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：

＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为

√当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.12345678910111213141234567891011121314√因为a＋b＝3，12345678910111213141234567891011121314√√√12345678910111213146.(多选)(2023·黄冈模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是√√当且仅当a＝b＝2时等号成立，则log2a＋log2b＝log2ab≤log24＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；12345678910111213141234567891011121314当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立.0当且仅当x＝0时，等号成立.123456789101112131412345678910111213146123456789101112131412345678910111213141234567891011121314因为0<x<2，所以4－x2>0，10.某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝通过市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求出今年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；12345678910111213141234567891011121314当0<x<40时，W(x)＝700x－(10x2＋100x)－300＝－10x2＋600x－300，1234567891011121314(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？若0<x<40，W(x)＝－10(x－30)2＋8700，当x＝30时，W(x)max＝8700(万元).∴W(x)max＝8950(万元).∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.123456789101112131411.(2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tanα－tanβ＋2tanαtan2β＝0，则tanα的最大值为1234567891011121314综合提升练√1234567891011121314因为β为锐角，所以tanβ>0，12.(2022·天津模拟)若a>0，b>0，则(a＋b)2＋

的最小值为________.1234567891011121314413.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为拓展冲刺练√1234567891011121314根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，123456789101112131414.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则A.x＋y≤1 B.