第30讲 直线与方程（教师版）

第30讲直线与方程一、知识要点1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为②倾斜角的范围为(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即，倾斜角是的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点的直线的斜率公式为.2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用注可表示经过两点，的所有直线.3．过的直线方程(1)若，且时，直线垂直于轴，方程为；(2)若，且时，直线垂直于轴，方程为；(3)若，且时，直线即为轴，方程为；(4)若，且时，直线即为轴，方程为．4．线段的中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．5．两条直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、k2，则有∥⇔．特别地，当直线、的斜率都不存在时，与平行．(2)两条直线垂直如果两条直线，斜率存在，设为k1，k2，则⊥⇔，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．6．两条直线的交点设两条直线的方程为：，：，则两条直线的交点坐标就是方程组的解(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．7．三种距离公式(1)点间的距离：(2)点到直线的距离：两平行直线与间的距离为．二、经典题型题型一、斜率及倾斜角【例1】已知直线的倾斜角为，斜率为；时，则斜率的取值范围时，则斜率的取值范围(3)时，则倾斜角的取值范围(4)时，则倾斜角的取值范围【答案】，，，【例2】已知实数满足，试求的最大值与最小值.【解析】由的几何意义可知，它表示经过定点与曲线段上任一点的直线的斜率，由图可知，，由已知可得：，，，，所以，故的最大值为，最小值为.【例3】已知线段两端点的坐标分别为和，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是________．【解析】如图，直线过定点,当时，，，解得；当时，直线的方程为，与线段有交点.所以实数的取值范围为..题型二、直线方程【例4】三角形的三个顶点是，，.（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的高所在直线的方程；（3）求直线与直线的交点坐标.【答案】【例5】两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是()解析：选A取特殊值法或排除法，可知A正确．【例6】过点且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为（）A.1B.2C.3D.4解：（1）当直线经过原点时，横截距和纵截距都为0，符合题意；（2）当直线不经过原点时，设直线方程为：，由题意，解得或，综合（1）、（2），符合题意的直线共有三条.故选C.【例7】若直线在轴上的截距为，则实数是（）（A）1（B）2（C）－（D）2或－【解析】由题知直线过点，，则选【变式1】直线绕着其上一点沿逆时针方向旋转15°，则旋转后得到的直线的方程为A． B． C． D．【解析】选B，由题，的倾斜角为45度，逆时针旋转15度所得直线倾斜角60度，且过顶点，所以直线方程【变式2】已知直线，都经过点，则经过点，的直线方程是_____________【解析】法一：由题设可知所求直线斜率为，且，作差得，即，，故所求直线为：，即，即.法二：由两直线，都经过点，得，两点，都适合方程，又过这两点的直线是唯一的，故经过点，的直线方程是.【变式3】已知方程.（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；（3）已知方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值．【解析】试题分析：（1）由，解得m=﹣1，因此若方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）表示一条直线，就是m2﹣2m﹣3与2m2+m﹣1不能同时为0．（2）当时，解得m即可；（3）把（﹣3，0）代入直线方程点到﹣3（m2﹣2m﹣3）+0+6﹣2m=0，即可解得．解：（1）由，解得m=﹣1，因此若方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+6﹣2m=0（m∈R）表示一条直线，则m≠﹣1．（2）当时，解得m=，此时直线为，化为．（3）把（﹣3，0）代入直线方程点到﹣3（m2﹣2m﹣3）+0+6﹣2m=0，化为3m2﹣4m﹣15=0，解得或3．又因为m3,所以m=.题型三、垂直、平行、相交【例8】已知直线，，问为何值时：；与重合；与相交；与垂直；【解析】由，得.当.当.当且时相交.由，得，与垂直.【变式1】直线与互相垂直，则的值为()A.B.C.或D.或【答案】D【解析】试题分析：由，可得；或。【变式2】已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，间的距离最大时，则直线l1的方程是__________________________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－eq\f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0题型四、距离【例9】已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过eq\r(5)的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．【例10】若原点到直线距离为1，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查点到直线的距离公式,函数的最值,转化思想.根据条件及点到直线的距离公式得：，所以，则，因为，所以于是；因为所以所以故选B【例11】在直线上求点和，使得：(1)到和的距离之差最大；(2)到和的距离之和最小．解：(1)如图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·eq\f(b－4,a)＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于线段BB′的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且在直线l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．于是AB′的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5.))即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．(2)如图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).∴AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，AC′和l交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7)))，故Q点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).【变式1】若动点分别在直线上移动，求线段的中点到原点的距离的最小值。解：设AB中点为所以，又因为所以，所以，所以即点在直线上，所以原点（0,0）到距离即为所求，所以中点M到原点的最小距离为。【变式2】两平行直线，分别过，B(0,5)，若与的距离为5，则与的方程分别为________________答案：:y＝0:5x－12y－5＝0或:y＝5：5x－12y＋60＝0【变式3】已知为坐标原点，中，边所在的直线方程是，边所在的直线方程是，且顶点的横坐标为6．（1）求中，与边平行的中位线所在直线的方程；（2）求的面积；（3）已知上有点，满足与的面积比为2，求所在的直线方程．试题分析：（1）先设OB的中点为E，利用中点坐标公式求出其坐标，再根据直线方程的点斜式，即得OB边上的中位线所在的方程；（2）依题意，求出点A的坐标，利用点到直线的距离公式得到B到OA的距离，结合三角形的面积公式即可求解；（3）根据题意：“△AOD与△ABD的面积比为2”得，|OD|：|DB|=2：1，从而求出点D的坐标，最后利用直线的方程即可得出AD所在的直线方程．解：（1）设OB的中点为E，则E（3，2），根据直线方程的点斜式：OB边上的中位线所在的方程为x+2y﹣7=0；（2）依题意，△AOB中，点A的坐标为（2，6），则B到OA的距离为，而|OA|=2，所以S=14；（3）根据题意，|OD|：|DB|=2：1所以点D的坐标为（4，）．则AD所在的直线方程为5x+3y﹣28=0．考点：直线的一般式方程．题型五、对称问题【例12】（1）点关于点对称的点的坐标为.（2）直线关于点对称的直线方程为.（3）点关于直线对称的点的坐标为.（4）直线关于直线对称的直线方程为.【变式1】三角形中，,边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，求直线的方程。【变式2】过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程．解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.【变式3】已知光线从点射出，到直线上的B点后被直线反射到轴上的点，又被轴反射，这时反射光线恰好过点，求所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为eq\f(y－6,－4－6)＝eq\f(x－1,－2－1)，即10x－3y＋8＝0.题型六、综合问题【例13】如图,函数的定义域为.设点是函数图象上任一点,过点分别作直线和轴的垂线,垂足分别为。(1)证明:为定值.(2)为坐标原点,求四边形面积的最小值.【解析】(1)设P(x0,x0+QUOTE)(x0>0).则|PN|=x0,|PM|=QUOTE=QUOTE,因此|PM|·|PN|=1.(2)连接OP,直线PM的方程为y-x0-QUOTE=-(x-x0),即y=-x+2x0+QUOTE.解方程组QUOTE得x=y=x0+QUOTE,所以|OM|=QUOTEx0+QUOTE.S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM=QUOTE|PN|·|ON|+QUOTE|PM|·|OM|=QUOTEx0(x0+QUOTE)+QUOTE(QUOTEx0+QUOTE)=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)≥QUOTE+1,当且仅当x0=QUOTE,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为QUOTE+1.【例14】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（）A.无论，，如何，总是无解B.无论，，如何，总有唯一解[来C.存在，，，使之恰有两解D.存在，，，使之有无穷多解【答案】B【解析】有题意，直线一定不过原点O,，是直线，上不同的两点，则与不平行，因此，所以二元一次方程组一定有唯一解。【变式1】已知直线，，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则________.【解析】由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，当a＝eq\f(1,2)时，面积最小．答案：eq\f(1,2)【变式2】若，且点在过点和的直线上，则的最大值为（）A. B. C. D.答案【解析】由题，令，则，，在上为增函数，故当时，有最大值课后作业1、若直线的斜率为，倾斜角为，而则的取值范围是________．【解析】当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))时，k＝tanα∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))；当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))时，k＝tanα∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0)).综上k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))2、已知实数满足，，试求的最大值和最小值．【解析】如图，的图象为折线，其中，，，而，即点与折线上点的连线的斜率．∵，，，∴的最