构建“反比”模型,解决实际问题

构建“反比”模型，解决实际问题六神中学升华法国著名数学家笛卡儿说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解决其他问题.”《初中数学课程标准》（2011年版）提出：“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”.同样，我们学习反比例函数的目的，就是要建立其一个模型，用于解决实际问题.本文以近几年中考试题为例，加以分类说明.一、跨学科知识型V（m3）O（4,

2）图124P(kg/m3)例1（2010年綦江）V（m3）O（4,

2）图124P(kg/m3)分析由图象知，p和v是变量，质量m为常量，所以m=pv.解：m=pv.=4×2=8(kg),所以p=(v＞0).当v=2m3时,气体的密度是p===4（kg/m3）.所以，填4kg/m3.点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础.本题是以质量、密度和体积的知识为背景建模，用数学模型解释物理量之间的关系浅显易懂，同时还注意了跨学科间的综合.二、药物释放为型例2（2012年攀枝花）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧和释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图2所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？图2析解：首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．（1）设反比例函数解析式为y=，将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，则函数解析式为y=（x≥15），将y=10代入解析式得，10=，x=15，故A（15，10）.设正比例函数解析式为y=nx，将A（15，10）代入上式即可求出n的值，n==，则正比例函数解析式为y=x（0≤x≤15）．（2）=2，解之得x=75（分钟），答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．学会把实际问题转化为数学问题，生活中处处有数学，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.三、医药疗效型例3（2010广东湛江）病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值为4毫克。已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；2小时后y与x成反比例（如图3所示）。根据以上信息解答下列问题：(1).求当时，y与x的函数关系式；(2).求当时，y与x的函数关系式；(3).若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？图3析解：(1)当时，设函数解析式为，由题意，得，解得.∴当时，函数解析式为(2)当时，设函数解析式为，由题意，得，解得∴当时，函数解析式为.(3)把y=2代入y=2x中，得x=1把y=2代入中,得x=4，∴4－1＝3（小时）.答：服药一次，治疗疾病的有效时间是3小时.点评：以药物疗效为载体，将正比例函数与反比例函数有机地结合起来，解决实际问题，还向学生渗透了药理方面的知识.四、安全事故型例4（2010年四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图4，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图图4析解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为由图象知过点（0，4）与（7，46）∴. 解得,∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为.由图象知过点（7,46），∴.∴,∴，此时自变量的取值范围是＞7.（2）当=34时，由得,6+4=34，=5.∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h).(3)当=4时，由得,=80.5，80.5-7=73.5(小时).∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.点评：本题背景新颖独特，极富时代特色，矿难事故，人命关天.用数学知识阐述矿难事故，体现了“用数学”的意识，并向学生进行了安全教育.五、产品销售型例5（浙江省舟山市）水产公司有一种海产品共千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400250240200150125120销售量y(千克)304048608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？析解：先用表中提供数据确定函数解析式，再填表，最后结合反比例函数关系式解决问题.(1)函数解析式为． 填表如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400300250240200150125120销售量y(千克)30404850608096100(2)2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600，即8天试销后，余下的海产品还有1600千克．当x=150时，=80.1600÷80=20.所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．(3)1600-80×15=400，400÷2=200，即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克．当y=200时，=60．所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．点评：本题以表格的形式呈现，揭示反比例关系，然后填表、解答，一气呵成.体现了反比例函数函数有效价值，它的确解决实际问题的得力抓手.六、生态环保型例6（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图5）．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？当1≤≤5时，图象是反比例函数的图象，设解析式将（1，200）代入即可求其解析式；当＞5时，是一次函数的图象，根据从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元，可得一次函数解析式．利润少于100万元要分别从反比例函数和一次函数中求对应的月份．析解：⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即；②当时，，所以当＞5时，；⑵当y=200时，20x-60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．点评：在日常生产中，我们经常遇到一些经济预算决策等问题，有时数量之间是函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决.本题是一道反比例函数及一次函数有关的图象信息题，命题者巧妙地这两个函数结合在一起，考查了同学们对数学知识的实际应用能力．图象信息题的主要特点是将已知条件隐藏在所给出的图象中，解决此类问题的关键是读懂图象，从图象中找出解题所需要的相关条件，然后正确求解．图6图6x图5七、材料加工型例7（2011年大庆市）如图6所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系。已知该材料在加热前的温度为l5℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时问x成反比例函数关系．(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系(要写出x的取值范);(2)根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟?析解：（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b，该函数图像经过点（0,15），（5,60）,即解得.所以一次函数表达式为.设加热停止后反比例函数表达式为，该函数图像经过点，即，得.所以反比例函数表达式为（2）由题意得：解得；解得则所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟.点评：以材料加热为载体，共建一次函数和反比例函数模型，联手和谐解决实际问题.揭示了数学知识是相互联系，相互依存，整体统一的关系.八、生产种植型例8（2012年南宁市）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？析解：（1）由题意知：xy=36，故（≤x≤）（2）根据题意，得.解得：x=0.3.经检验：x=0.3是原方程的根.1.5x=0.45.答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理、抽象出反比例函数模型，并利