计量第五章 异方差

计量第五章异方差第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五异方差一、异方差的概念二、产生异方差的原因（来源）三、异方差的后果四、异方差的检验（诊断）五、异方差的修正第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五一、异方差的概念异方差可以表示为

或即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。违背了模型假定条件2第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五

第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五二、异方差产生的原因普遍性：两类数据都有，横截面数据更多。原因：1.按照边错边改学习模型，人们在学习过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情形下，方差σi2会逐渐变小。例如，随着打字练习小时数的增加，不仅平时打错的个数而且打错的方差都有所下降。2.随着收入的增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配他们的收入有更大的选择范围。因此，在作出储蓄对收入的回归时，很可能发现，由于人们对其储蓄行为有更多的选择，σi2与收入俱增。因此，以增长为导向的公司比之于已发展定型的公司在红利支付方面也可能表现更多的变异。

第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五异方差产生的原因3.随着数据采集技术的改进，σi2可能减小。例如，有精巧数据处理设备的银行，在他们对账户的每月或每季收支说明书中，比之于没有这种设备的银行，会出现更少的差错。4.异方差还会异常值的出现而产生。5.异方差还会因为模型的设定错误而产生。第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五案例分析例1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为

Yi=0+1Xi+uiYi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小ui的方差呈现单调递增型变化第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五例2：以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。

一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。

所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五例3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

Yi=Ai1

Ki2

Li3ei

被解释变量：产出量Y

解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。政治环境、社会环境、技术环境、经济环境等第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五三、异方差的后果1、参数估计量非有效

OLS估计量仍然具有线性性和无偏性，但不具有有效性

第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五2、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量

其他检验也是如此。第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五3、模型的预测失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五三、异方差的检验（诊断）检验思路：

由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：

检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（一）残差序列分析（二）戈德菲尔德-夸特检验（三）戈里瑟检验（四）怀特检验第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（一）残差序列分析(a)(b)第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五(c)(d)第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五(e)(f)第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（二）戈德菲尔德-夸特检验戈德菲尔德-夸特检验是最常用的异方差专门检验方法之一。这种方法适合于检验样本容量较大的线性回归模型的递增或递减型异方差性。戈德菲尔德-夸特检验的原假设为H0：σ12

=σ22=…=σT2备择假设：H1：σ12≤σ22≤…≤σT2对于存在递增异方差模型，步骤：首先将样本按X值的大小顺序将观测值排列，然后略去居中的C个观测值，并将其余的(T-C)个观测值分成两组，每组(T-C)/2个，分别对两个子样本进行回归，并分别获得残差平方和，自由度都为（T-C)/2-K-1。第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（二）戈德菲尔德-夸特检验计算统计量：查表求临界值F

，如果，拒绝原假设，误差项存在明显的递增异方差性；如果，接受原假设，误差项没有明显的异方差性。第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（二）戈德菲尔德-夸特检验对于递减异方差性模型，检验的方法相似，只要把前面构造的F统计量的分子分母互换，就可以用同样的程序检验模型是否存在递减型的异方差问题。但该方法的有效性还依赖于C的选择，还有，当模型出现多于一个X变量时，就可以按任意一个X变量的大小顺序将观测值排列。参看案例分析第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（三）戈里瑟检验第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（三）戈里瑟检验通常拟合和之间的回归模型：

根据图形中的分布选择还可以拟合和之间的回归模型

第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（四）怀特检验怀特检验是通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差的。不妨设回归模型为三变量（二元）线性回归模型：怀特检验的具体步骤为：（1）估计回归模型，得到每一个残差的平方ei2

（2）估计辅助回归模型：即将残差平方关于所有解释变量的一次项、二次项和交叉乘积项进行回归。若继续引入高次项会使自由度下降，故一般只引入二次项。第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（四）怀特检验（3）得到辅助回归模型中的可决系数R的平方。可以证明，在同方差的假定下，即在原假设为：渐进的有：自由度g为辅助回归模型中解释变量的个数。（4）对于给定的显著性水平，若，则拒绝原假设，模型存在异方差性，反之，则认为不存在异方差性。第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五（四）怀特检验在Eviews中首先对原模型进行回归，然后在窗口中点击View\ResidualTest\WhiteHeteroskedasticity.此时可选择是否包含交叉乘积项，若是原模型只包含一个解释变量，辅助回归模型中就没有交叉乘积项，若是含有两个及两个以上解释变量，就应选择含有交叉乘积项。参看案例分析第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五四、异方差的修正—加权最小二乘法如线性回归模型为经检验，误差项有如下异方差性（一）若σi2为已知可以用σi除模型(1)各项，得到令Yi*=Yi/σi,X0i*=1/σi,X1i*=X1i/σi

…,Xki*

=Xki/σi,ui*=ui/σi，则上式可化为Yi*=β0X0i*+β1X1i*+…+βkXki+ui*(2)则此模型(2)无异方差，为什么？第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五四、异方差的修正—加权最小二乘法（二）若σi2为未知对线性回归模型为假设误差项的方差正比于X1i2，即其中C为常数。可以用X1i除模型(1)各项，得到令Yi*=Yi/X1i,X1i*=1/X1i,X2i*=X2i/X1i

…,Xki*

=Xki/X1i,ui*=ui/X1i，则上式可化为Yi*=β1+β0X1i*+β2X2i*+…+βkXki*+ui*(2)则此模型(2)无异方差，为什么？第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五加权最小二乘法加权最小二乘法在上述公式中的=理解成权重，则构成了“加权最小二乘法”第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五例:参看课本P125页案例分析在研究某地区居民的储蓄倾向时，得到了如表6－1所示的数据资料。判断用线性回归模型研究居民储蓄倾向时，误差项是否存在异方差，并给出处理的方法。n储蓄S收入In储蓄收入n储蓄收入12345678910112641059013112210740650343158889887779210995410508109791191212747134991426915522167301213141516171819202122950779819122217021578165114001829220020171766318575196352116322880241272560426500276702830027430232425262728293031210516002250242025701720190021002300295602815032100325003525033500360003620038200第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五I与S的散点图第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期五对样本进行线性回归的结果

第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期五怀特检验结果第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期五残差序列图第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期五戈德菲尔德－夸特检验对第一个样本进行回归结果第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期五戈德菲尔德－夸特检验对第二个样本进行回归结果第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期五F＝749990.8/150867.9＝4.97这两个统计量的自由度都为11－1－1＝9，查表得显著性水平为0.05的临界值为F（9，9）＝3.18，而4.97>3.18，意味着两个残差平方和有显著差异，也就是原模型误差项有明显的异方差性。第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期五戈里瑟检验第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期五常数项不显著，去掉再回归第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期五戈里瑟检验第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期五戈里瑟检验第四十页，共四十七页，编辑于202