量子物理之势垒和隧道效应动画

量子物理之势垒和隧道效应动画第一页，共十一页，编辑于2023年，星期五*{范例14.7}势垒和隧道效应(动画)方程的通解为(x<0)将ψ1(x)乘以exp(-iωt)，然后取函数的实部。由于cos(k1x-ωt)=cos(ωt-k1x)，可知：第一项表示I区向x正方向传播的波，即入射波，(0<x<a)(x>a)OaxIIIIIIV0V是入射波的复振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。同理可知：第二项表示向x负方向传播的波，即反射波，是反射波的复振幅。ψ2(x)中的两个分量是势垒II区中右行波和左行波，和是复振幅。Ψ3(x)中第一个分量是势垒III区中右行波。由于在III区没有反射波，所以第二页，共十一页，编辑于2023年，星期五*{范例14.7}势垒和隧道效应(动画)(x<0)根据波函数的单值和连续的条件，在x=0处有ψ1(0)=ψ2(0)，(0<x<a)(x>a)OaxIIIIIIV0V可得两个方程在x=a处有ψ2(a)=ψ3(a)，再得两个方程手工求解方程组比较麻烦，用MATLAB比较容易求解。第三页，共十一页，编辑于2023年，星期五*{范例14.7}势垒和隧道效应(动画)求解结果是可见：其他波的复振幅由入射波的复振幅决定。当入射波函数取实部时，其他波函数也取实部；当入射波函数取虚部时，其他波函数也取虚部。虚部和实部只差一个相位因子，因此两者中的任何一个都可以表示波函数。第四页，共十一页，编辑于2023年，星期五*{范例14.7}势垒和隧道效应(动画)当粒子能量趋于势垒高度时，k2趋于零，可得势垒内的波函数为当粒子能量等于势垒高度时，势垒中仍然有波函数存在。当粒子能量小于势垒高度时，k2是复数，势垒中的波函数按指数规律变化。第五页，共十一页，编辑于2023年，星期五入射波的振幅取实数，初始时各区域的波函数的实部和虚部(对应颜色的点虚线)。可见：不论是右行波是左行波，波函数的实部和虚部的幅度是相同的。随着时间的推移，入射波的波函数向右移，反射波的波函数向左移，合成波函数向右移，其幅度不断发生改变。设一无量纲的常数常数由粒子质量、势阱高度和宽度决定，不妨称为势垒常数。势垒常数将影响波长。第六页，共十一页，编辑于2023年，星期五在某时刻，波函数的实部与虚部重叠。说明：波函数的虚部和实部都能描述粒子的状态。第七页，共十一页，编辑于2023年，星期五当粒子能量大于势垒高度时，粒子虽然能够越过势垒，还会发生反射。当粒子能量一定时，势垒常数越大，波长就越短。在势垒左边界，入射波和反射波都不连续，但叠加的波是连续的。在势垒右边界，叠加的波与透射波是连续的。第八页，共十一页，编辑于2023年，星期五当粒子能量等于势垒高度时，势垒中的入射波和反射波合并为一个波函数，波函数随距离线性变化。第九页，共十一页，编辑于2023年，星期五隧道效应已经被大量实验所证实，例如冷电子发射(电子在强电场作用下从金属表面逸出)，α粒子从原子核中释放，等等。当粒子能量小于势垒高度时，粒子虽然会发生反射，还能够穿过势垒产生透射，如同势垒中有一条隧道，这种现象称为隧道效应。隧道效应也得到广泛的应用，例如半导体器件，超导和扫描隧道显微镜，等等。第十页，共十一页，编辑于2023年，星期五当粒子能量小于势垒高度时，在势垒中，反射波很小，主要是入射波。势垒常数较大时，对于一定质