2023年一元一次方程知识点梳理

列一元一次方程解应用题的一般环节

(1)审题：弄清题意.

(2)找出等量关系:找出可以表达本题含义的相等关系.

(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表达出有关的含字母的式

子，然后运用已找出的等量关系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.

(5)检查，写答案:检查所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合

实际，检查后写出答案.

知识点分类

1.和、差、倍、分问题：

(1)倍数关系：通过关键词语“是几倍，增长几倍，增长到几倍，增长百分之几，增

长率...”来体现.

(2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、局限性、剩余……”来体现.

2.等积变形问题：

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变;②原料体积=成品体积.

3.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化,常见题型有：

(1)既有调入又有调出；

(2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

(3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4.数字问题

(1)要搞清楚数的表达方法:一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为

c(其中a、b、c均为整数，且lWa<9,0WbW9,0<cW9)则这个三位数表达

为：100a+1Ob+c.

(2)数字问题中一些表达:两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1;偶数用2n表

达,连续的偶数用2n+2或2n—2表达；奇数用2n+l或2n—1表达.

5.商品销售问题

商品利润=商品售价一商品进价=商品标价X折扣率一商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价X折扣率

6.储蓄问题

⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息

和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税

(2)利息=本金X利率X期数本息和=本金+利息利息税=利息义税率(20%)

7.若干应用问题等量关系的规律

(1)和、差、倍、分问题增长量=原有量又增长率

现在量=原有量+增长量

(2)等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式V=底面积X高=5•h=

②长方体的体积丫=长*宽*高=2h

8.市场经济问题

(1)商品利润=商品售价-商品成本价

（2）商品利润率=-£"二X100%

商品成本价

（3）商品销售额=商品销售价X商品销售量

（4）商品的销售利润=（销售价-成本价）X销售量

（5）商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售,

即按原标价的80%出售.

9.行程问题

基本量之间的关系

路程=速度X时间时间=路程+速度速度=路程♦时间

（1）相遇问题

快行距+慢行距=原距

（2）追及问题

快行距-慢行距=原距

（3）航行问题

顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度

逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关

系.

10.工程问题

工作量=工作效率X工作时间

工作效率=工作量+工作时间

工作时间=工作量♦工作效率

完毕某项任务的各工作量的和=总工作量=1

行程问题：

1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公

交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，则列方程为___________

2.甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，假如甲比

乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分时两人相遇，求甲、乙两人的速度。

3.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；

若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？

4.在800米跑道上有两人练中长路，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同

时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇,t等于分钟.

5.一列客车长200m,一列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶，从两车头相碰到两

车尾相离通过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2,问两车每秒各行驶多少米？

6.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每

小时3.6Km,骑自行车的人的速度是每小时10.8Km。假如一列火车从他们背后开来,

它通过行人的时间是22秒,通过骑自行车人的时间是26秒。

(1)行人的速度为每秒多少米；(2)求这列火车的身长是多少米。

7.休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家，我们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的

礼品忘在家里,便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，假如我和妈妈每小时行2

千米，从家里到外婆家需要1小时45分钟，问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们

吗？

8.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车

速度60公里/小时，我们的速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽

车到达目的地后，再回头接步行这部分人。出发地到目的地的距离是60公里。问：步行

者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇

（汽车掉头的时间忽略不计）？

行船问题：

9.一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时,逆水航

行需要3小时,求两码头的之间的距离？

10.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米,顺风飞行需要2小时50分钟，

逆风飞行需要3小时,求两城市间距离。

工程问题：

1.一项工程，甲单独做需要10天完毕，乙单独做需要15天完毕，两人合作4天后，剩下

的部分由乙单独做，需要几天完毕？

2.某工程由甲、乙两队完毕，甲队单独完毕需16天，乙队单独完毕需12天。如先由甲

队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完毕工程的六分之五？

3.已知某水池有进水管与出水管一根，进水管工作15小时可以将空水池放满，出水管

工作24小时可以将满池的水放完；

（1）假如单独打开进水管,每小时可以注入的水占水池的几分之几?

(2)假如单独打开出水管,每小时可以放出的水占水池的几分之几？

(3)假如将两管同时打开,每小时的效果如何?如何列式？

(4)对于空的水池，假如进水管先打开2小时，再同时打开两管，问注满水池还需要多少

时间？

4.有一个水池，用两个水管注水。假如单开甲管，2小时30分注满水池，假如单开

乙管,5小时注满水池。

①假如甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。问还需要多少时间才干把

水池注满？

②假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。假如三

管同时开放，多少小时才干把一空池注满水？

和差倍分问题(生产、做工等各类问题)：

L整理一批图书，由一个人做要40小时完毕。现计划由一部分人先做4小时，再增长2

人和他们一起做8小时，完毕这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少

人工作。

2.岳池县城某居民社区的水、电、气的价格是：水每吨1.55元，电每度0.67元，天

然气每立方米1.47元.某居民户在2023年11月份支付款67.54元，其中涉及用了5

吨水、35度电和一些天然气的费用，还涉及交给物业管理4.00元的服务费.问该居

民户在2023年11月份用子多少立方米天然气？

3.已知:我市出租车收费标准如下:乘车里程不超过2公里的一律收费2元；乘车里程超

过2公里的，除了收费2元外超过部分按每公里1.4元计费.

(1)假如有人乘出租车行驶了x公里(x>2),那么他应付多少车费？(列代数式，不

化简)(8分)

(2)某游客乘出租车从客运中心到三星堆，付了车费10.4元，试估算从客运中心到三

星堆大约有多少公里？

4.某车间加工30个零件，甲工人单独做,能按计划完毕任务，乙工人单独做能提前一天

半完毕任务，已知乙工人天天比甲工人多做1个零件，问甲工人天天能做几个零件？原计

划几天完毕？

5.已知购买甲种物品比乙种物品贵5元，某人用款300元买到甲种物品10件和乙种物品

若干件，这时，它每到甲、乙物品的总件数，比把这笔款全都购买甲种物品的件数多5

件，问甲、乙物品每件各是多少元？

6.两个班组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额20%、第二组超额

15%完毕了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。问本月原计划每组各生产多少

个零件？

7.某工厂甲、乙、丙三个工人天天生产的零件数，甲和乙的比是3:4,乙和丙的比是

2：3。若乙天天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？

8.为了搞好水利建设,某村计划修建一条长800米，横断面是等腰梯形的水渠.

(1)设计横断面面积为1.6米；渠深1米，水渠的上口宽比渠底多0.8米,求水渠上口宽和

渠底宽；

(2)某施工队承建这项工程，计划在规定的时间内完毕，工作4天后，改善了设备，提

高了工效,天天比原计划多挖水渠10米，结果比规定的时间提前2天完毕任务,求计划完

毕这项工程需要的天数。

9.今年某校积极组织捐款支援灾区，某班55名同学共捐款500元，捐款情况如下表：

捐款(元)581012

人数6■■7

表中有两处看不清楚，请你帮助拟定表中数据。

比赛积分问题：

10.某公司相应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题

的答案选对得3分，不选得。分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，

则这个人选错了道题。

1L某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0

分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几

场比赛？

年龄问题：

12.甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是.

13.小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5

岁，求小华现在的年龄

比例问题：

14.图纸上某零件的长度为32cm,它的实际长度是4cm,那么量得该图纸上另一个零件

长度为12cm,求这个零件的实际长度。

15.一时期，日元与人民币的比价为25.2:1,那么日元50万，可以兑换人民币多少

元？

16.魏老师到市场去买菜，发现若把10公斤的菜放到秤上，指针盘上的指针转了

180°.第二天魏老师就给同学们出了两个问题：

(1)假如把0.5公斤的菜放在秤上,指针转过多少角度？

(2)假如指针转了540,这些菜有多少公斤？

调配问题:

1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，规定第一车间人数是第二车间人

数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

2.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下来的人数是原乙队

人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？

3.甲、乙两车间各有工人若干，假如从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是

乙车间剩余人数的6倍;假如从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等,求本来

甲乙车间的人数。

分派问题：

4.学校分派学生住宿，假如每室住8人，还少12个床位，假如每室住9人，则空出两个

房间。求房间的个数和学生的人数。

5.学校春游，假如每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；假如每辆坐50人，则空出一

辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生,多少汽车？

6.小明看书若干日，若每日读书32页，尚余31页；若每日读36页，则最后一日需要读

39页，才干读完，求书的页数。

配套问题：

1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个,

应如何分派生产螺栓和螺母的工人，才干使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺

母）？

2.包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片

80片，将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或

长方形铁片能合理地将铁片配套？

3.某部队派出一支有25人组织的小分队参与防汛抗洪斗争，若每人每小时可装泥土

18袋或每2人每小时可抬泥土14袋，如何安排好人力，才干使装泥和抬泥密切配合，而

正好清场干净。

4.某车间加工机轴和轴承，一个工人天天平均可加工15个机轴或10个轴承。该车间

共有80人,一根机轴和两个轴承配成一套，问应分派多少个工人加工机轴或轴承，才干

使天天生产的机轴和轴承正好配套。

5.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了

使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应当各用花呢多少米？

增长率问题：

1.某化肥厂去年生产化肥3200吨,今年计划生产3600吨,今年计划比去年增产%

2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米，现在加工大米100公斤,设要这种大米x公

斤，则列出的对的的方程是

3.某印刷厂第三季度印刷了科技书籍50万册，而第四季度印刷了58万册,求季度的增

长率是多少？

4.甲、乙两厂去年完毕任务的112%和110%,共生产机床4000台，比本来两厂任务之

和超产400台，问甲厂本来的生产任务是多少台？

5.某村去年种植的油菜籽亩产量达150公斤，含油率为40%。今年改种新选育的油菜籽

后亩产量提高了30公斤,含油率提高了10百分点。今年与去年相比,油菜的种植面积减

少了40亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高了20%。（1）求今年油菜的种

植面积。设今年油菜的种植面积是x亩。完毕下表后再列方程解答。

亩产量种植面积油菜籽总产量含油率产油量

（公斤/亩）（亩）（公斤）（公斤）

去年15040%

今年X

（2）已知油菜种植成本为200元/亩，菜油收购价为6元/公斤。试比较这个村去今两

年种植油菜的纯收入。

6.民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20公斤行李，超过部分每公斤

按飞机票价的1.5%购买行李票。一名旅客带了35公斤行李乘机，机票连同行李费共

付了1323元，求该旅客的机票票价。

利润与利润率：

7.一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获

利15元,这种服装每件的成本为.

8.某件商品9折降价销售后每件商品售价为元,则该商品每件原价为（）

一种药物涨价25%的价格是50元,那么涨价前的价格x满足的方程是。

9.某商场将进价为每件X元的上衣标价为m元,在此基础上再降价10%,顾客需付款

270元。已知进价x元时标价m元的60%,则x的值是（）

10.某商品的销售价格每件900元，为了参与市场竞争,商店按售价的九折再让利40元

销售，些时仍可获利10%,此商品的进价为.

11.假如某商品进价的减少5%,而售价不变,利润率可提高15个百分点，求此商品的本来

的利润率

12.某商场出售某种文具，每件可赚钱2元，为支援贫困山区的小朋友，按7折收给某山

区学校，结果每件赚钱0.20元。问该文具的进价是每件多少元？

13.杉杉打火机厂生产某种型号的打火机.每只的成本为2元，毛利率为25%.工厂通过

改善工艺，减少了成本，在售价不变的情况下，毛利率增长了15%.则这种打火机每

只的成本减少了.（精确到元.毛利率=）

14.某商品进价1500元，提高40%后标价,若打折销售,使其利润率为20%,则此商品是

按几折销售的？

15.某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件赚钱25%,另一件

亏损25%,卖这两件衣服总的是赚钱还是亏损，或是不盈不亏？

16.妈妈带小明到文具店买书包和文具盒，通过讨价还价，原价42元的书包打九

折，原价18元的文具盒打八折。他们一共要付元

17.某种商品的市场需求量D（千件）与单价p（元/件）服从需求关系：.问：

（1）当单价为4元时,市场需求量是多少？

（2）若单价在4元基础上又涨价1元，则需求量发生了如何的变化？

18.八一体育馆设计一个由相同的正方体搭成的标志物（如图所示），每个正方体的棱

长为1米，其暴露在外面的面（不涉及最底层的面）用五夹板钉制而成，然后刷

漆。每张五夹板可做两个面,每平方米用漆500克.

（1）建材商店将一张五夹板按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果

每张仍获利4.8元（五夹板必须整张购买）：

（2）油漆店开展“满100送20,多买多送的酬宾活动”，所购漆的售价为每公斤

34元.试问购买五夹板和油漆共需多少钱？

19.莉莉的叔叔将打工挣来的25000元钱存入银行，整存整取三年，年利率为3.24%,三

年后本金和利息共有（）元（不计利息税）

本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元,请你帮我算

一算这种储蓄的年利率。若年利率为x%,则可列方程

。（年存储利息=本金X年利率X年数）

20.国家规定：存款利息税=利息X20%,银行一年定期储蓄的年利率为1.98%.小明

有一笔一年定期存款，假如到期后全取出，可取回1219元。若设小明的这笔一年定期

存款是x元,则列方程.

数字问题：

1.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1,若将此数

个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49,求原数。

2.一个五位数最高位上的数字是2,假如把这个数字移到个位数字的右边,那么所得的

数比本来的数的3倍多489,求原数。

3.将连续的奇数1,3,5,7,9…，排成如下的数表：

（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？

（2）若将十字框上下左右平移，可框住此外的五个数，这五个数的和能等于315

吗?若能，请求出这五个数;若不能，请说明理由.

几何问题：

1.一个长方形的周长长为26cm,这个长方形的长减少1cm,宽增长2cm，就可成为一

个正方形，设长方形的长为cm,可列方程是

2.在一只底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底

面直径为10厘米的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？

3.将棱长为20cm的正方体铁块锻导致一个长为100cm,宽为5cm的长方体铁块,求长方体

铁块的高度。

4.将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm二问量筒中

水面升高了多少cm?

方案设计与成本分析：

1.我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加

工后销售，每吨利润可达4500元,经精加工后销售每吨获利7500元。

本地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是:假如对

蔬菜进行粗加工，天天可以加工16吨，假如进行细加工，天天可以加工6吨，但两种加

工方式不能同时进行。受季节条件限制，公司必须在15天的时间将这批蔬菜所有销售

或加工完毕，公司研制了三种可行方案。

方案一:将蔬菜所有进行粗加工；

方案二：尽也许多的对蔬菜进行精加工，来不及进行加工的蔬菜,在市场上直接

销售；

方案三:将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天。

你认为哪种方案获利最多？为什么

2.牛奶加工厂现有鲜奶8吨,若在市场上直接销售鲜奶（天天可销售8吨），每吨可获利润

500元;制成酸奶销售，每加工1吨鲜奶可获利润1200元；制成奶片销售，每加工1吨

鲜奶可获利润2023元.该厂的生产能力是：若制酸奶,天天可加工3吨鲜奶;若制奶片，

天天可加工1吨鲜奶；受人员和设备限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限

制，这批牛奶必须在4天内所有销售或加工完毕.

请你帮牛奶加工厂设计一种方案，使这8吨鲜奶既能在4天内所有销售或加工完毕，

又能获得你认为最多的利润.

3.某市剧院举办大型文艺表演,其门票价格为：一等席300元/人,二等席200元/人，

三等席150元/人，某公司组织员工36人去观看，计划用5850元购买2种门票，请你帮助

公司设计也许的购票方案。

4.某市的出租车计价规则如下：行程不超过3km,收起步价8元，超过部分每千米收费

1.2元.某天张老师和三位学生去看望一学生，共乘了11km,请你算一下张老师应付

车费元。

5.据《楚天都市报》消息，武汉市居民生活用水价格将进行自1999年以来的第四次调

整,试行居民生活用水阶梯式计量水价.拟定城市居民用水户（户籍人口4人及以内）每

月用水量在22立方米及以内的，为第一级水量基数，按调整后的居民生活用水价格收

取;超过22立方米且低于30立方米（含30立方米）的部分为第二级水量基数,按调整

后价格的L5倍收取;超过30立方米的部分为第三级水量基数,按调整后价格的2倍

收取.已知调整后居民生活用水价格由现行的每立方米1.51元拟上涨到1.96元.市民

张先生一家三口人，他按自己家庭月均用水量计算了一下,按目前新价格，他一个月要

缴纳74.48元水费.请问张先生一家月均用水量是多少立方米?和

调整前比较，他家每月平均多缴纳多少元水费？

6.小明家搬了新居要购买新冰箱，小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱.其中，

甲冰箱的价格为2100元，日耗电量为1度；乙冰箱是节能型新产品，价格为2220元，日

耗电量为0.5度，并且两种冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折，但是乙冰箱

不能打折，请你就价格方面计算说明，甲冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算？（每

度电0.5元，两种冰箱的使用寿命均为2023,平均每年使用300天）

7.某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品

牌的乒乓球和乒乓球拍。乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，

甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店所有按定价的9折优惠。该班需球拍5副，乒乓球

若干盒（不小于5盒）。问：（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款同样？（2）

当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？

8.某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车或一国营出租公司中的一

家鉴定月租车协议，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2023元,

此外每行驶1千米收2元,试根据形式的路程的多少讨论用哪个公司的车比较合算？

9.某农户2023年承包荒山若干公顷，投资7800元改造后，种果树2023棵，今年水果

总产量为18000kg,此水果在市场上每公斤售a元,在果园每公斤售b元（b<a）,该农户

将水果运到市场出售，平均天天出售1000kg,需8人帮助，每人天天付工资25元，汽

车运费及其它各项税费平均天天100元。

①分别用a、b表达用两种方式出售水果的收入。

②若a=1.3元，b=l.l元，且两种出售水果方式都在相同时间内售完所有水果，请

通过计算说明,选择哪种出售方式较好？

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