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文档简介
考点06二次根式
在命题趋势
二次根式主要包括:二次根式的概念与性质、二次根式的运算以及二次根式的化简求值等,在江苏各
地中考中,二次根式的概念、性质主要以选择题和填空题的形式进行考查;二次根式的运算考查形式较多,
既有选择、填空题,也有计算题题型,二次根式的化简求值主要以解答题为主。
在知识导图
二次根式的概念
二次根式的概念
二次根式有意义的条件
石20(a>o)
心重序考向
一、二次根式的概念与性质;
二、二次根式的运算;
考向一:二次根式的概念与性质
1.二次根式的有关概念
(1)二次根式的概念:形如石(。之0)的式子叫做二次根式.其中符号叫做二次根号,二次根号下
的数叫做被开方数.被开方数。只能是非负数.即要使二次根式/有意义,则生0.
(2)最简二次根式:被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的,二次根式,
叫做最简二次根式.
(3)同类二次根式:化成最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式,叫做同类二次根式.
2.二次根式的性质
(1)(«>0);
(2)(Va)2=a{a>0)-;
a(a>0)
(3)=|tz|=<0(tz=0);
-a(a<0)
(4)y/ah=y[a-V^(tz>0,/?>0);
(5)0鼻(aN0,b>0).
ylb
典例引我
].使分式五三1有意义的x的取值范围是()
X
A.x—3B.x之一3且xwOC.xwOD.x>0
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
X+3..0
【详解】解:由题意可知:
xwO
”..一3且无工0
故选:B.
2.(2022・江苏・射阳县第四中学一模)下列二次根式中是最简二次根式的是()
A.>/30B.-^^2C.D.
【答案】A
【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式,且不含分母,这样的二次根式是最简二次根式,根据此概
念进行判断即可.
【详解】A、此二次根式再也不能化简了,故是最简二次根式,符合题意;
B、712=273.故不是最简二次根式,不符合题意:
C、底=2日故不是最简二次根式,不符合题意:
口、4=故不是最简二次根式,不符合题意:
故选:A.
3.下列计算正确的是()
A.五乂#,=瓜B.](-3/=-3C.5夜-3夜=2D.(>/2+1)2=3
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘法,二次根式的减法、二次根式的性质进行计算,逐一判断即可解答.
【详解】解:A.五乂6=娓,故符合题意;
B.后=3,故不符合题意:
C.5夜-3/=2近,故不符合题意;
D.(&+1/=3+2也,故不符合题意;
故选:A.
4.若而牙+3-3=0,则方的取值范围是()
A.h>3B.b<3C.h>3D.bW
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质求解即可.
【详解】解::而才+0-3=0,
:小3叫2=|3-4=3-6,
/.3-Z?>0,
解得,bW3,
故选:D
5.下列运算正确的是()
A.五+瓜=提B.-司=1-&
C.1+6义忑=1D.逐x岳=56
【答案】D
【分析】根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解.
【详解】解:A.五与"不能合并,故该选项不正确,不符合题意;
B.4"⑸=艮1,故该选项不正确,不符合题意;
C.l+Gx9■=故该选项不正确,不符合题意;
D.石xjl?=5后,故该选项正确,符合题意.
故选:D.
考向二:二次根式的运算
1.二次根式的加减:合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式化为最简二次根式后,
若有同类二次根式,可把同类二次根式合并成一个二次根式.
2.二次根式的乘除
^=^(a>0,b>0).
乘法法则:yfa-s[h=\fab(a>0,b>0);除法法则:
3.二次根式的混合运算:二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有
括号的先算括号内的.
在运算过程中,乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用.
典例引我
▲-.-A-.一
1.下列计算正确的是()
A.y/3+V6=3B.J(—3)2=-3C-辰g=D.Vi2-73=5/3
【答案】D
【分析】根据二次根式的加、减、乘运算法则和算式平方根的定义逐一计算即可得到答案.
【详解】解:A.6+6计算错误,不符合题意,选项错误;
B.加了=次=3,计算错误,不符合题意,选项错误;
c.后xg=m=i'计算错误,不符合题意,选项错误;
D.历一栏=4^=2反道=+,计算正确,符合题意,选项正确,
故选D.
2.估计(6+夜)xg的值应在()
A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间
【答案】B
【分析】下根据二次根式的乘法计算,再估算结果的大小,即可求解.
【详解】解:(K+夜卜夜
=巫+2>
,/2<x/6<3,
二4<"+2<5,
.•.(/+及卜拒的值应在4和5之间.
故选:B
3.(2022.宁夏・银川英才学校二模)下列计算正确的是()
A.乖>+五=#>B.=-6C.次+收=2D.7(-3)2=-3
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的除法,负整数指数靠进行计算即可求解.
【详解】解:A.a与也不能合并,故该选项不正确,不符合题意;
B.故该选项不正确,不符合题意;
C.艮8=C=«=2,故该选项正确,符合题意:
D.&了=3,故该选项不正确,不符合题意.
故选:C.
4.计算:
(1)4^^—y/^x\/3+J12+^3;
(2)(6+1)(石-1卜9+(3&_1『.
【答案】⑴2-夜
⑵17-6四
【分析】(1)直接利用二次根式的性质及化简,二次根式的乘法及除法,最后算加减法;
(2)利用平方差根式求解,平方根、完全平方公式求解,再算加减法.
【详解】(1)解:4行-"、退+痘+退
=20-3&+26+白
=2-5/2
(2)解:(73+l)(^-l)-V16+(3>/2-l)2
=3-1-4+18-65/2+1
=17-60.
5.计算下列各题
⑴风-病+夜+G
,5
⑵
⑶"叫+(26-1)(2石+1)-(1-2后.
【答案】(1)6
(2)9-75/2
(3)5石-3
【分析】(1)直接利用二次根式的性质化简,再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;
(2)直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简,最后利用二次根式的加减运算法则计算
得出答案;
(3)直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简,再利用二次根式的加减运算法则计算
得出答案.
【详解】(1)解:718-^+72+73
=3啦-4夜+a+G
=V3;
=V16+V25-2x-V2
2
=4+5-7加
=9-7夜:
(3)解:卜-冲(2百-1)(26+1)-(1-2局
=73-1+12-1-1+473-12
=5>/3-3.
由跟踪训练
1.(2022•福建省泉州实验中学三模)在函数),=代工中,自变量x的取值范围是()
2222
A.x—B.x>—C.x...—D.冗,—
3333
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0,列式求解即可.
【详解】解:根据题意得:3X+2..0,解得x.L:2.故选:C.
2.(2022・上海.华东师范大学松江实验中学三模)下列式子属于同类二次根式的是(
A.血与2夜B.6与后C.也与庶D.#与近
【答案】A
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可.
【详解】解:A、夜与2&是同类二次根式,符合题意;
B、行与26不是同类二次根式,不符合题意;
C、石与5不是同类二次根式,不符合题意:
D、布与2石不是同类二次根式,不符合题意;
故选A.
3.(2022.重庆文德中学校二模)下列二次根式是最简二次根式的是()
A.瓜B.C.-Jah2D.8
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.
【详解】解:A.而=2近,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
B.、口=正,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
V33
C.加=例&,不是最简二次根式,故此选项不符合题意;
D.相是最简二次根式,故此选项符合题意.
故选:D.
4.(2022•广东番禺中学三模)计算:出+质◎等于()
A.■一B.-^—y/ahC.D.b\[ab
\a\b-ahb
【答案】A
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算,最后根据:次根式的性质化筒即可.
5.(2022.重庆.模拟)估算同-4小;的结果最接近的整数是().
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【分析】先化简二次根式得3行,再由声。1.414,即可求出3&。4.242,从而得出答案.
【详解】V50-4f=572-4x—=572-272=35/2,
V22
*/V2«1.414,
3五x4.242,
二估算回-4耳的结果最接近的整数是4.
故选B.
6.(2022•重庆市第一一。中学校一模)下列运算正确的是()
A.叵+垂,=#>B.2&x百=6&C.次+拒=2D.3>/2-V2=3
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A和选项D,根据二次根式的乘法法则即可判断选项B,
根据二次根式的除法法则即可判断选项C.
【详解】解:A.应和6不能合并,故本选项不符合题意;
B.2四x百=2痣,故本选项不符合题意;
C.强+&=J|="=2,故本选项符合题意;
D.3夜-夜=2夜,故本选项不符合题意;
故选:C.
7.(2022•重庆•二模)估计(54-&)x#的值应在()
A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的乘法与减法法则求出计算结果,再根据无理数的估算即可得.
【详解】解:(5出-四)x#
=58m-应x#
=56-厄
=573-2>/3
=3丛,
3&=后,25<27<36,
:.岳〈后〈底,即5<旧<6,
5<3G<6,
故选:c.
8.(2022・重庆・西南大学附中三模)某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现:有时候两个含有二次根式
的代数式相乘,积不含有二次根式,例如,(>/5-2)(75+2)=1,(2A/3-72)(2^+^2)=10.通
过查阅相关资料发现,这样的两个代数式互为有理化因式.小组成员利用有理化因式,分别得到了一个结
论:
1_3+^/5
甲:
3-亚一4
乙:设有理数”,人满足:=-6-72+4则。+〃=6;
丙:,2022->J2020-J2019
T:已知j43-x-jll-x=4,则/43-x+Jll—x=6;
戊._J_+]+[++]=33-而
:3+65y/3+3y/576+5疗99质+97炳—66
以上结论正确的有()
A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁
【答案】B
【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解.
【详解】解:甲:_L^=三亚=±芭,正确;
3-69-54
乙:设有理数满足:/+,=♦(夜1)+♦(应+l)=(“+,)夜+e_“)=_6尤+4,则4+人=-6,
A/2+1V2—12—12—1
故乙错误;
丙.,1r_=^=j2022+j2021,-F==_J:=J2O2O+J2219
V2022-V2021V2020-V2019
■•^022^-72021>^020-72019,故内正确;
丁:(「43-x-J11-尤)(j43-x+Jll-x)=43-x-ll+x=32,J43-x-Jl1-x=4,
则75r7+VTTG=8,故丁错误;
rV•--------7=H7=------f=H-------7=---------7=+H--------J=----------
3+V35V3+3V57V5+5V799V97+97V99
3-V356-3石7石-5币99质-97回
=-----------4---------------------H---------------------+•••H------------------------------
630702x99x97
]回
-2-2x99
1yn
-2_2x33
=至二巫,故戊正确
66
故选:B.
9.(2022.山东临沂.三模)已知a,。都是实数,b=41^+44^2-2,则/的值为
【答案】4
【分析】直接利用二次根式有意义条件求出“,〃的值代人求解即可.
【详解】解:由题意可得,
l-2a>0,4«-2>0,
解得“=;,
.."=0+0—2=—2,
故答案为4.
10.(2022.四川.峨眉山市教育局二模)函数),=立三中,自变量x的取值范围是—.
X+1
【答案】殊-2且XW-1
【分析】根据“分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于等于0”列出不等式解出x的取值范围.
【详解】解:x+1^0,
x+2>0»
••x2—2
「•xN-2且xw-l
故答案为:x2—2且工工—1.
11.(2022•山东・青岛三十七中二模)计算(g)Tx/48-V12
+^/T
【答案】4
【分析】原式利用负整数指数累,以及二次根式性质计算即可求出值.
【详解】解:原式=2+杵-栏
=2+716-74
=2+4-2
=4.
故答案为:4.
12.(2022•山东济南・二模)如果2、5、〃i是某三角形三边的长,则J(%-3)2+J(〃L7)2等于.
【答案】4
【分析】根据三角形三边的关系得到3<根<7,再根据二次根式的性质得原式=|3|+加-7],然后根据m
的取值范围去绝对值后合并即可.
【详解】解:;2、5、机为三角形三边,
3<<7,
/.==/??-3-(m-7)=m-3-/??4-7=4,
故答案为:4.
2
13.(2022上海华东师范大学松江实验中学三模)计算:V27+-1^-21+(-2)°+
♦・6-1
【答案】5百+2
【分析】先进行二次根式的化简,绝对值运算,零指数幕,负整数指数幕运算,再算加减即可.
【详解】解:^27+-y3--|V3-2|+(-2)°+(^)''
=3A/3+A/3+1-(2-^)+1+2
=38+6+1-2+6+1+2
=5石+2.
14.(2022.上海闵行•二模)计算:3^'+|4—>^|-92~~
【答案】3;
【分析】根据负整数指数累、绝对值的意义、分数指数累以及二次根式化简等知识作答即可.
]
[详解]3-'+|4-^|一9?一
V3-2
G+2
=-+4-V3-V9-
3(6-2)(6+2)
=-+4->/3-3--^^
3-1
='+l-百+6+2
3
=32.
3
15.(2022•山东济南♦模拟)先化简,再求值:(2X+1)2-2(X-1)(X+3)-2,其中X=&.
【答案】2V+5,9
【分析】利用完全平方公式及多项式乘多项法则进行计算,再合并,然后把x的值代入化简后的式子进行
计算即可解答.
【详解】解:原式=4—+4》+1-2(/+2万一3)-2
=4x2+4x+l-2x2-4x+6-2
=2X2+5
当工=点时,
原式=2x(行)+5
=9
16.(2022.宁夏同心思源实验学校三模)先化简,再求值:(〃+—1H-2+J],其中〃=及+1.
Ia+2Jva+2)
【答案】――I»1+>/2
a-\
【分析】先按照分式四则混合运算法则进行化简,再代入求值即可.
【详解】解:+言)
a(a+2)1—।3
a+24+2〃+2a+2
("if:S+])("l)
a+2a+2
S+1J〃+2
a+2+-1)
Q+l
当a=&+1时,
应+1+1
原式=
>/2+1-1
0+2
=1+>/?.■
17.(2022・广东•佛山市南海外国语学校三模)先化简,再求值:(x-y)(2x-y)-(x-4-x2,其中
x=72023-1>y=>/2023+1.
【答案】一孙,-2022
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化筒,然后将工=而百-1,
丫=而宓+1代入,再利用平方差公式进行计算即可.
【详解】解:原式=2/-孙-2号+>2-(/一2个+)>2)--
=2x2-xy-2xy+y2-x2+2xy-y2-x2
=-xy,
当x=J2023-1,y=J2023+1时,
原式=-(12023-1)x(J2023+1)
=-[(>/2023)2-12]
=-(2023-1)
=-2022.
区(2。22•江西吉安二模)先化简,再求值:(2-高卜子了,其中.后一3.
【分析】直接将括号里面通分运算,再利用分式的混合运算法则计算得出答案.
【详解】解:卜一普f+6x+9
x2-1
2x+2-x+1(x+3)“
x+1(x+l)(x-l)
x+3丫(入”+。(*-1)X-1
-------x---------------5--------
X+1(x+3)x+3
6-3-15-4百
当彳=痒3时,原式=
石-3+3-5
19.(2022.福建省厦门第六中学二模)先化简,再求值:(之二其中〃=6一1.
a-3a-3
【答案】\3,V3
【分析】先把括号内通分再相减,然后因式分解,再把除法运算转化为乘法运算后约分,然后把a的值代
入计算即可.
【详解】解:原式=牝三皿二包。一3
3(^-1)a-3
a-3(a+l)(aT)
3
Va=>/3—1
33
.♦・原式=石石=/=6
O—0Vv*~—y
20.(2022•辽宁营口•二模)先化简,再求值:(工-1+上上―-其中X—(币+>/2)(-^7~V5)—|—21.
x+1x+1
【答案】—r-1,:2
x3
【分析】根据分式的加减计算括号内的,同时将除法转化为乘法运算,然后根据完全平方公式以及化简绝
对值求得x的值,代入化简结果求值即可求解.
(x+l)(x—1)+2(1-x)x+1
【详解】解:原式=
X+1ME
(x-l)(x+l-2)
x(x-l)
(1)2
x(l)
x-\
X
vx=(V7+V2)(>/7-V2)-|-2|
=7-2-2
=3;
23-12
•・.原式==亍=<
在真题过关
*
1.(2022•江苏徐州•中考真题)要使得式子VT与有意义,则x的取值范围是()
A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义,被开方数大于等于0,列不等式求解.
【详解】解:根据题意,得
x-2>0,
解得x22.
故选:B.
2.(2022.江苏苏州.中考真题)下列运算正确的是()
A.J(-7『=-7B.6+]=9C.2a+2b=2abD.2a-3>b=Sab
【答案】B
【分析】通过=判断A选项不正确:C选项中2a、处不是同类项,不能合并;D选项中,单项式
与单项式法则:把单项式的系数、相同字母的幕分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式;B
选项正确.
【详解】A.日了=屈=7,故A不正确:
23
B.64--=6x—=9,故B1E确;
32
C.2a+2b*2ab,故C不正确;
D.2a・3b=Gab,故D不正确;
故选B.
3.(2022・江苏无锡•中考真题)函数中自变量x的取值范围是()
A.x>4B.x<4C.x>4D.x<4
【答案】D
【分析】因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以4-xNO,可求x的范围.
【详解】解:4-x>0,
解得x<4,
故选:D.
4.(2021•江苏泰州•中考真题)下列各组二次根式中,化简后是同类二次根式的是()
A.显与下)B.&与aC.后与屈D.屈与历
【答案】D
【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断.
【详解】A、&=2&,2应与6不是同类二次根式,故此选项错误;
B、痴=2石,&与2百不是同类二次根式,故此选项错误;
C、石与后不是同类:次根式,故此选项错误;
D、775=573.历=36,56与3G是同类二次根式,故此选项正确.
故选:D.
5.(2021•江苏苏州・中考真题)计算(有了的结果是()
A.V3B.3C.2>/3D.9
【答案】B
【分析】直接根据二次根式的性质求解即可.
【详解】解:(6『=3,故选B.
6.(2022♦江苏扬州•中考真题)若代数式Q在实数范围内有意义,则x的取值范围是
【答案】%>1
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可.
【详解】解:二T在实数范围内有意义,
Ax-l>0»
解得X>1.
故答案为:於1.
7.(2022•江苏盐城•中考真题)使代数式/口有意义的x的取值范围是.
【答案】x>l
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使VT万在实数范围内有意义,必须X-1N0,从而
可得答案.
【详解】解:代数式值T有意义,
\x-1?0,
x>1,
故答案为:x>\
8.(2021.江苏南京.中考真题)计算胡-《的结果是________.
【答案】@
2
【分析】分别化简“和JI,再利用法则计算即可.
【详解】解:原式=2&-3&=立;故答案为:旦.
222
9.(2022・江苏宿迁•中考真题)计算:+x/12-4sin6O°.
【答案】2
【分析】先计算负整数指数幕,二次根式的化简,特殊角的三角函数值,再计算乘法,再合并即可.
【详解】解:+V12-4sin60?
=2+25/3-4?—
2
=2+2痒26
=2
10.(2022•江苏泰州•中考真题)计算:
⑴计算:V18-x/3x^.;
(2)按要求填空:
小王计算告•一一二的过程如下:
JC-4x+2
x2-4x+2
2x1
第一步
(x+2)(x-2)x+2
2xX―2Zqff―■i卜一
(x+2)(x-2)-第一步
(x+2)(x-2)
2x—x—2
第三步
(x+2)(x-2)
x-2
第四步
(X+2)(A:-2)
_元—2-----------------------第五步
x+2
小王计算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”),计算过程的第步出现错误,直接写出正
确的计算结果是.
【答案】(1)20
(2)因式分解;三和五;一二
x-2
【分析】(1)先化成最简二次根式,然后根据二次根式的四则运算法则求解即可;
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
=3&一用半
372--=2>/2
【详解】(1)解:原式3
(2)解:由题意可知:
2x]2x1
第一步
x2-4x+2(x+2)(x-2)x+2
2x2
x---第二步
(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)
2x-x+2
第三步
(x+2)(%-2)
x+2
第四步
(x+2)(x-2)
第五步
x-2
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误;最终正确的计算结果为专
故答案为:因式分解,第三步和第五步,一二
x-2
在模拟检测
1.(2022・江苏无锡•一模)函数y=4TT中自变量x的取值范围是()
A.x>-1B.烂-1C.-1D.x<-1
【答案】A
【分析】根据二次根式的的非负性列不等式计算即可.
【详解】解:根据题意得:x+l>0,
解得应-1.
故自变量x的取值范围是应-1.
故选:A.
2.(2022•江苏无锡•二模)下列计算正确的是()
A.夜+6=右B.2夜+3忘=5及
C.而下,=4D.2夜x3正=6夜
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法与乘法运算法则判断即可.
【详解】A、6不是同类二次根式,不能相加,故计算错误;
B、2血+3夜=50,故计算正确;
C、72x73=76.故计算错误;
D、2应x3&=6(近产=12,故计算错误;
故选:B.
3.(2022•江苏泰州•一模)下列计算正确的是(
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