2023年中考数学一轮复习06二次根式（解析版）（江苏）

考点06二次根式

在命题趋势

二次根式主要包括：二次根式的概念与性质、二次根式的运算以及二次根式的化简求值等，在江苏各

地中考中，二次根式的概念、性质主要以选择题和填空题的形式进行考查；二次根式的运算考查形式较多,

既有选择、填空题，也有计算题题型，二次根式的化简求值主要以解答题为主。

在知识导图

二次根式的概念

二次根式的概念

二次根式有意义的条件

石20(a>o)

心重序考向

一、二次根式的概念与性质;

二、二次根式的运算；

考向一：二次根式的概念与性质

1.二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念：形如石（。之0）的式子叫做二次根式.其中符号叫做二次根号，二次根号下

的数叫做被开方数.被开方数。只能是非负数.即要使二次根式/有意义，则生0.

（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的，二次根式,

叫做最简二次根式.

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.

2.二次根式的性质

(1)(«>0);

(2)(Va)2=a{a>0)-；

a(a>0)

(3)=|tz|=<0(tz=0)；

-a(a<0)

(4)y/ah=y[a-V^(tz>0,/?>0)；

(5)0鼻(aN0,b>0).

ylb

典例引我

].使分式五三1有意义的x的取值范围是（）

X

A.x—3B.x之一3且xwOC.xwOD.x>0

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

X+3..0

【详解】解：由题意可知:

xwO

”..一3且无工0

故选：B.

2.（2022・江苏・射阳县第四中学一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.>/30B.-^^2C.D.

【答案】A

【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概

念进行判断即可.

【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意；

B、712=273.故不是最简二次根式，不符合题意：

C、底=2日故不是最简二次根式，不符合题意：

口、4=故不是最简二次根式，不符合题意：

故选：A.

3.下列计算正确的是（）

A.五乂#,=瓜B.］（-3/=-3C.5夜-3夜=2D.（>/2+1）2=3

【答案】A

【分析】根据二次根式的乘法，二次根式的减法、二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答.

【详解】解：A.五乂6=娓,故符合题意；

B.后=3,故不符合题意：

C.5夜-3/=2近，故不符合题意；

D.（&+1/=3+2也，故不符合题意；

故选：A.

4.若而牙+3-3=0,则方的取值范围是（）

A.h>3B.b<3C.h>3D.bW

【答案】D

【分析】直接利用二次根式的性质求解即可.

【详解】解：：而才+0-3=0,

:小3叫2=|3-4=3-6,

/.3-Z?>0,

解得，bW3,

故选：D

5.下列运算正确的是()

A.五+瓜=提B.-司=1-&

C.1+6义忑=1D.逐x岳=56

【答案】D

【分析】根据二次根式混合运算、二次根式的性质逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.五与"不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B.4"⑸=艮1，故该选项不正确，不符合题意；

C.l+Gx9■=故该选项不正确，不符合题意；

D.石xjl?=5后，故该选项正确，符合题意.

故选：D.

考向二：二次根式的运算

1.二次根式的加减：合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后,

若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式.

2.二次根式的乘除

^=^(a>0,b>0).

乘法法则:yfa-s[h=\fab(a>0,b>0)；除法法则:

3.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有

括号的先算括号内的.

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用.

典例引我

▲-.-A-.一

1.下列计算正确的是()

A.y/3+V6=3B.J(—3)2=-3C-辰g=D.Vi2-73=5/3

【答案】D

【分析】根据二次根式的加、减、乘运算法则和算式平方根的定义逐一计算即可得到答案.

【详解】解：A.6+6计算错误，不符合题意，选项错误；

B.加了=次=3,计算错误，不符合题意，选项错误；

c.后xg=m=i'计算错误，不符合题意，选项错误；

D.历一栏=4^=2反道=+，计算正确，符合题意，选项正确，

故选D.

2.估计（6+夜）xg的值应在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】B

【分析】下根据二次根式的乘法计算，再估算结果的大小，即可求解.

【详解】解：（K+夜卜夜

=巫+2>

,/2<x/6<3，

二4<"+2<5，

.•.（/+及卜拒的值应在4和5之间.

故选：B

3.（2022.宁夏・银川英才学校二模）下列计算正确的是（）

A.乖>+五=#>B.=-6C.次+收=2D.7（-3）2=-3

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的除法，负整数指数靠进行计算即可求解.

【详解】解：A.a与也不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B.故该选项不正确，不符合题意；

C.艮8=C=«=2,故该选项正确，符合题意：

D.&了=3,故该选项不正确，不符合题意.

故选：C.

4.计算：

（1）4^^—y/^x\/3+J12+^3；

（2）（6+1）（石-1卜9+（3&_1『.

【答案】⑴2-夜

⑵17-6四

【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法;

（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法.

【详解】（1）解：4行-"、退+痘+退

=20-3&+26+白

=2-5/2

（2）解：（73+l）（^-l）-V16+（3>/2-l）2

=3-1-4+18-65/2+1

=17-60.

5.计算下列各题

⑴风-病+夜+G

,5

⑵

⑶"叫+(26-1)(2石+1)-(1-2后.

【答案】（1）6

(2)9-75/2

(3)5石-3

【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简，最后利用二次根式的加减运算法则计算

得出答案；

（3）直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算

得出答案.

【详解】（1）解：718-^+72+73

=3啦-4夜+a+G

=V3;

=V16+V25-2x-V2

2

=4+5-7加

=9-7夜：

(3)解：卜-冲(2百-1)(26+1)-(1-2局

=73-1+12-1-1+473-12

=5>/3-3.

由跟踪训练

1.（2022•福建省泉州实验中学三模）在函数），=代工中，自变量x的取值范围是（）

2222

A.x—B.x>—C.x...—D.冗，—

3333

【答案】C

【分析】根据被开方数大于等于0,列式求解即可.

【详解】解：根据题意得：3X+2..0,解得x.L：2.故选：C.

2.（2022・上海.华东师范大学松江实验中学三模）下列式子属于同类二次根式的是（

A.血与2夜B.6与后C.也与庶D.#与近

【答案】A

【分析】根据同类二次根式的概念判断即可.

【详解】解：A、夜与2&是同类二次根式，符合题意;

B、行与26不是同类二次根式，不符合题意；

C、石与5不是同类二次根式，不符合题意：

D、布与2石不是同类二次根式，不符合题意;

故选A.

3.（2022.重庆文德中学校二模）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.瓜B.C.-Jah2D.8

【答案】D

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.而=2近，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B.、口=正，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

V33

C.加=例&,不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

D.相是最简二次根式，故此选项符合题意.

故选：D.

4.（2022•广东番禺中学三模）计算：出+质◎等于（）

A.■一B.-^—y/ahC.D.b\[ab

\a\b-ahb

【答案】A

【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据：次根式的性质化筒即可.

5.（2022.重庆.模拟）估算同-4小；的结果最接近的整数是（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】先化简二次根式得3行，再由声。1.414,即可求出3&。4.242,从而得出答案.

【详解】V50-4f=572-4x—=572-272=35/2,

V22

*/V2«1.414,

3五x4.242，

二估算回-4耳的结果最接近的整数是4.

故选B.

6.（2022•重庆市第一一。中学校一模）下列运算正确的是（）

A.叵+垂，=#>B.2&x百=6&C.次+拒=2D.3>/2-V2=3

【答案】C

【分析】根据二次根式的加减法则即可判断选项A和选项D,根据二次根式的乘法法则即可判断选项B,

根据二次根式的除法法则即可判断选项C.

【详解】解：A.应和6不能合并，故本选项不符合题意；

B.2四x百=2痣，故本选项不符合题意；

C.强+&=J|="=2,故本选项符合题意；

D.3夜-夜=2夜，故本选项不符合题意；

故选：C.

7.（2022•重庆•二模）估计（54-&）x#的值应在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【答案】C

【分析】先根据二次根式的乘法与减法法则求出计算结果，再根据无理数的估算即可得.

【详解】解：（5出-四）x#

=58m-应x#

=56-厄

=573-2>/3

=3丛，

3&=后,25<27<36,

:.岳〈后〈底，即5<旧<6,

5<3G<6，

故选：c.

8.(2022・重庆・西南大学附中三模)某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式

的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(>/5-2)(75+2)=1,(2A/3-72)(2^+^2)=10.通

过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式.小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结

论：

1_3+^/5

甲：

3-亚一4

乙：设有理数”，人满足:=-6-72+4则。+〃=6；

丙：,2022->J2020-J2019

T：已知j43-x-jll-x=4,则/43-x+Jll—x=6;

戊._J_+]+[++]=33-而

：3+65y/3+3y/576+5疗99质+97炳—66

以上结论正确的有()

A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁

【答案】B

【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解.

【详解】解：甲：_L^=三亚=±芭，正确;

3-69-54

乙：设有理数满足：/+,=♦（夜1）+♦（应+l）=（“+,）夜+e_“）=_6尤+4,则4+人=-6,

A/2+1V2—12—12—1

故乙错误；

丙.,1r_=^=j2022+j2021,-F==_J:=J2O2O+J2219

V2022-V2021V2020-V2019

■•^022^-72021>^020-72019,故内正确；

丁：（「43-x-J11-尤）（j43-x+Jll-x）=43-x-ll+x=32,J43-x-Jl1-x=4,

则75r7+VTTG=8,故丁错误；

rV•--------7=H7=------f=H-------7=---------7=+H--------J=----------

3+V35V3+3V57V5+5V799V97+97V99

3-V356-3石7石-5币99质-97回

=-----------4---------------------H---------------------+•••H------------------------------

630702x99x97

]回

-2-2x99

1yn

-2_2x33

=至二巫，故戊正确

66

故选：B.

9.（2022.山东临沂.三模）已知a,。都是实数，b=41^+44^2-2,则/的值为

【答案】4

【分析】直接利用二次根式有意义条件求出“，〃的值代人求解即可.

【详解】解：由题意可得，

l-2a>0,4«-2>0,

解得“=；,

.."=0+0—2=—2,

故答案为4.

10.（2022.四川.峨眉山市教育局二模）函数），=立三中，自变量x的取值范围是—.

X+1

【答案】殊-2且XW-1

【分析】根据“分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于等于0”列出不等式解出x的取值范围.

【详解】解：x+1^0,

x+2>0»

••x2—2

「•xN-2且xw-l

故答案为：x2—2且工工—1.

11.（2022•山东・青岛三十七中二模）计算（g）Tx/48-V12

+^/T

【答案】4

【分析】原式利用负整数指数累，以及二次根式性质计算即可求出值.

【详解】解：原式=2+杵-栏

=2+716-74

=2+4-2

=4.

故答案为：4.

12.（2022•山东济南・二模）如果2、5、〃i是某三角形三边的长，则J（%-3）2+J（〃L7）2等于.

【答案】4

【分析】根据三角形三边的关系得到3<根<7,再根据二次根式的性质得原式=|3|+加-7],然后根据m

的取值范围去绝对值后合并即可.

【详解】解：；2、5、机为三角形三边，

3<<7,

/.==/??-3-(m-7)=m-3-/??4-7=4,

故答案为:4.

2

13.（2022上海华东师范大学松江实验中学三模）计算：V27+-1^-21+(-2)°+

♦・6-1

【答案】5百+2

【分析】先进行二次根式的化简，绝对值运算，零指数幕，负整数指数幕运算，再算加减即可.

【详解】解：^27+-y3--|V3-2|+(-2)°+(^)''

=3A/3+A/3+1-(2-^)+1+2

=38+6+1-2+6+1+2

=5石+2.

14.（2022.上海闵行•二模）计算：3^'+|4—>^|-92~~

【答案】3；

【分析】根据负整数指数累、绝对值的意义、分数指数累以及二次根式化简等知识作答即可.

］

［详解］3-'+|4-^|一9?一

V3-2

G+2

=-+4-V3-V9-

3(6-2)(6+2)

=-+4->/3-3--^^

3-1

='+l-百+6+2

3

=32.

3

15.（2022•山东济南♦模拟）先化简，再求值：（2X+1）2-2（X-1）（X+3）-2,其中X=&.

【答案】2V+5,9

【分析】利用完全平方公式及多项式乘多项法则进行计算，再合并，然后把x的值代入化简后的式子进行

计算即可解答.

【详解】解：原式=4—+4》+1-2（/+2万一3）-2

=4x2+4x+l-2x2-4x+6-2

=2X2+5

当工=点时,

原式=2x（行）+5

=9

16.（2022.宁夏同心思源实验学校三模）先化简，再求值：（〃+—1H-2+J],其中〃=及+1.

Ia+2Jva+2）

【答案】――I»1+>/2

a-\

【分析】先按照分式四则混合运算法则进行化简，再代入求值即可.

【详解】解：+言）

a(a+2)1—।3

a+24+2〃+2a+2

("if：S+])("l)

a+2a+2

S+1J〃+2

a+2+-1)

Q+l

当a=&+1时,

应+1+1

原式=

>/2+1-1

0+2

=1+>/?.■

17.（2022・广东•佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：（x-y）（2x-y）-（x-4-x2,其中

x=72023-1>y=>/2023+1.

【答案】一孙，-2022

【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化筒，然后将工=而百-1，

丫=而宓+1代入，再利用平方差公式进行计算即可.

【详解】解：原式=2/-孙-2号+>2-（/一2个+）>2）--

=2x2-xy-2xy+y2-x2+2xy-y2-x2

=-xy,

当x=J2023-1,y=J2023+1时,

原式=-(12023-1)x(J2023+1)

=-[(>/2023)2-12]

=-(2023-1)

=-2022.

区（2。22•江西吉安二模）先化简，再求值：（2-高卜子了,其中.后一3.

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案.

【详解】解：卜一普f+6x+9

x2-1

2x+2-x+1(x+3)“

x+1(x+l)(x-l)

x+3丫(入”+。(*-1)X-1

-------x---------------5--------

X+1(x+3)x+3

6-3-15-4百

当彳=痒3时,原式=

石-3+3-5

19.（2022.福建省厦门第六中学二模）先化简，再求值：（之二其中〃=6一1.

a-3a-3

【答案】\3，V3

【分析】先把括号内通分再相减，然后因式分解，再把除法运算转化为乘法运算后约分，然后把a的值代

入计算即可.

【详解】解：原式=牝三皿二包。一3

3(^-1)a-3

a-3(a+l)(aT)

3

Va=>/3—1

33

.♦・原式=石石=/=6

O—0Vv*~—y

20.(2022•辽宁营口•二模)先化简，再求值：(工-1+上上―-其中X—(币+>/2)(-^7~V5)—|—21.

x+1x+1

【答案】—r-1,:2

x3

【分析】根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法运算，然后根据完全平方公式以及化简绝

对值求得x的值，代入化简结果求值即可求解.

(x+l)(x—1)+2(1-x)x+1

【详解】解：原式=

X+1ME

(x-l)(x+l-2)

x(x-l)

(1)2

x(l)

x-\

X

vx=（V7+V2）（>/7-V2）-|-2|

=7-2-2

=3;

23-12

•・.原式==亍=<

在真题过关

*

1.（2022•江苏徐州•中考真题）要使得式子VT与有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0,列不等式求解.

【详解】解：根据题意，得

x-2>0,

解得x22.

故选：B.

2.（2022.江苏苏州.中考真题）下列运算正确的是（）

A.J（-7『=-7B.6+]=9C.2a+2b=2abD.2a-3>b=Sab

【答案】B

【分析】通过=判断A选项不正确：C选项中2a、处不是同类项，不能合并；D选项中，单项式

与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幕分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B

选项正确.

【详解】A.日了=屈=7,故A不正确：

23

B.64--=6x—=9,故B1E确；

32

C.2a+2b*2ab,故C不正确；

D.2a・3b=Gab,故D不正确；

故选B.

3.（2022・江苏无锡•中考真题）函数中自变量x的取值范围是（）

A.x>4B.x<4C.x>4D.x<4

【答案】D

【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以4-xNO,可求x的范围.

【详解】解：4-x>0,

解得x<4,

故选：D.

4.（2021•江苏泰州•中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A.显与下）B.&与aC.后与屈D.屈与历

【答案】D

【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断.

【详解】A、&=2&,2应与6不是同类二次根式，故此选项错误；

B、痴=2石，&与2百不是同类二次根式，故此选项错误；

C、石与后不是同类：次根式，故此选项错误；

D、775=573.历=36,56与3G是同类二次根式，故此选项正确.

故选：D.

5.（2021•江苏苏州・中考真题）计算（有了的结果是（）

A.V3B.3C.2>/3D.9

【答案】B

【分析】直接根据二次根式的性质求解即可.

【详解】解：（6『=3,故选B.

6.（2022♦江苏扬州•中考真题）若代数式Q在实数范围内有意义，则x的取值范围是

【答案】%>1

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

【详解】解：二T在实数范围内有意义，

Ax-l>0»

解得X>1.

故答案为：於1.

7.（2022•江苏盐城•中考真题）使代数式/口有意义的x的取值范围是.

【答案】x>l

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使VT万在实数范围内有意义，必须X-1N0,从而

可得答案.

【详解】解：代数式值T有意义，

\x-1?0,

x>1,

故答案为：x>\

8.（2021.江苏南京.中考真题）计算胡-《的结果是________.

【答案】@

2

【分析】分别化简“和JI,再利用法则计算即可.

【详解】解：原式=2&-3&=立；故答案为：旦.

222

9.（2022・江苏宿迁•中考真题）计算：+x/12-4sin6O°.

【答案】2

【分析】先计算负整数指数幕，二次根式的化简，特殊角的三角函数值,再计算乘法，再合并即可.

【详解】解：+V12-4sin60?

=2+25/3-4?—

2

=2+2痒26

=2

10.（2022•江苏泰州•中考真题）计算：

⑴计算：V18-x/3x^.；

（2）按要求填空：

小王计算告•一一二的过程如下：

JC-4x+2

x2-4x+2

2x1

第一步

(x+2)(x-2)x+2

2xX―2Zqff―■i卜一

(x+2)(x-2)-第一步

(x+2)(x-2)

2x—x—2

第三步

(x+2)(x-2)

x-2

第四步

(X+2)(A:-2)

_元—2-----------------------第五步

x+2

小王计算的第一步是（填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第步出现错误,直接写出正

确的计算结果是.

【答案】（1）20

（2）因式分解；三和五；一二

x-2

【分析】（1）先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可;

（2）按照分式的加减运算法则逐步验算即可.

=3&一用半

372--=2>/2

【详解】（1）解：原式3

（2）解：由题意可知:

2x]2x1

第一步

x2-4x+2(x+2)(x-2)x+2

2x2

x---第二步

(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)

2x-x+2

第三步

(x+2)(%-2)

x+2

第四步

(x+2)(x-2)

第五步

x-2

故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为专

故答案为：因式分解，第三步和第五步，一二

x-2

在模拟检测

1.（2022・江苏无锡•一模）函数y=4TT中自变量x的取值范围是（）

A.x>-1B.烂-1C.-1D.x<-1

【答案】A

【分析】根据二次根式的的非负性列不等式计算即可.

【详解】解：根据题意得：x+l>0,

解得应-1.

故自变量x的取值范围是应-1.

故选：A.

2.（2022•江苏无锡•二模）下列计算正确的是（）

A.夜+6=右B.2夜+3忘=5及

C.而下,=4D.2夜x3正=6夜

【答案】B

【分析】根据二次根式的加法与乘法运算法则判断即可.

【详解】A、6不是同类二次根式，不能相加，故计算错误；

B、2血+3夜=50，故计算正确；

C、72x73=76.故计算错误；

D、2应x3&=6（近产=12,故计算错误；

故选:B.

3.（2022•江苏泰州•一模）下列计算正确的是（