2023年中考数学高频考点提升练习：反比例函数的综合题

2023年中考数学高频考点提升练习一反比例函数的综合题

一'单选题

1.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a/))有两个实数根，且其中一个根是另一个根的

2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论：

①方程x2+2x-8=0是倍根方程；

②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；

③若关于x的方程ax2-6ax+c=0(a/0)是倍根方程，则抛物线y=ax2-6ax+c与x轴的公共点的

坐标是(2,0)和(4,0)；

④若点(m,n)在反比例函数y=1的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.

上述结论中正确的有()

A.①②B.③④C.②③D.②④

2.如图，一次函数y=gx+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点C在反比例函数

y=1(x<0)的图象上.若是等腰直角三角形，则下列k的值错误的是()

A.-28B.-21C.-14D.一手

3.如图，平行于x轴的直线与函数丫=勺(ki>0,x>0),y告(k2>0,x>0)的图像分别交于

A,B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点.若aABC的面积为4,则ki-k2的值为

()

A.8B.-8C.4D.-4

4.如图，在X轴正半轴上依次截取。&==人243=…=/n-l&=1>过点、人2、

%.....An分别作X轴的垂线，与反比例函数y=1（x>0）交于点Pi、P2、P3、…、Pn，

连接P$2、P2P3、…Pn-lPn，过点「2、「3....Pn分别向PM、P2A2....Pn-l^n-l

作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（）.

5.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）

6.如图，过y轴上任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-g和y=£的图象交于A点

和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC,BC,则4ABC的面积为（)

7.如图，在第一象限的点A既在双曲线y=茎上，又在直线y=2x-2上，且直线y=2x-2

与x轴相交于点B,C(O,b)、D(0,b+2)，当四边形ABCD周长取得最小值时，b=()

AO,-2)

mb)/

8.如图，矩形O/8C的顶点4、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点M是边8c上一动点(不与8、

C重合).过点M的双曲线y=K(x>0)交AB于前N,连接OM、ON.下列结论：

JX

①△OCM与△O/N的面积相等；②矩形OABC的面积为2k；③线段BM与BN的长度始终相等;

④若8例=CW,贝I」有ZN=8N.其中一定正确的是()

〃\

A.①④B.①②C.②④D.①③④

二、填空题

9.如图，菱形ABCD中，乙4BC=120。，顶点A,C在双曲线、=勺(向〉0)上，顶点B,D在

双曲线'=§(@<0)上，且BD经过点O.若前+七=2,则菱形ABCD面积的最小值

是.

10.如图，点A,B,C在反比例函数y=-1的图象上，且直线AB经过原点，点C在第二象限上,

连接AC并延长交x轴于点D,连接BD,若ABOD的面积为12,AC=kCD,则够=.

11.如图，反比例函数话的图象经过点(-1,-2e)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结

AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,顶点C在第四象限，AC与x

轴交于点D,当符迎时，则点C的坐标为

12.已知一次函数y=kx-5k+6(kH0)的图象过定点M.

①请写出点M的坐标

②若一次函数y=kx-5k+6(/c*0)的图象与反比例函数y=^(%>0)的图象相交于点A(p,

q).当一次函数y的值随x的值增大而增大时，p的取值范围是.

13.已知点A(a,b)在双曲线尸1±,若a、b都是正整数，则图象经过B(a,0)、C(0,b)两

点的一次函数的解析式(也称关系式)为.

14.如图，已知双曲线y=1(k>0)经过RtZ\OZ6的斜边08的中点。，与直角边相交于点C.当

三、综合题

15.如图，一次函数丫=kx+6的图象交反比例函数y=£的图象于4(2,-4),B(a,—1)两点.

(1)求反比例函数与一次函数解析式.

(2)连接040B,求AQ4B的面积.

(3)根据图象直接回答：当》为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

16.已知一次函数yi=3x-3的图象与反比例函数丫2=*的图象交于点A(a,3),B(-1,b).

(1)求a,b的值和反比例函数的表达式.

(2)设点P(h,yi),Q(h,y2)分别是两函数图象上的点.

①试直接写出当yi>y2时h的取值范围；

②若y2-yi=3,试求h的值.

17.八年级下册，我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系，学会了

运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式.例如：一次函数y=3x+2与x轴交点的

横坐标是方程3x+2=0的解;一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0

的解集.

(1)【类比解决】

利用图像解下列方程或不等式.

I.如图①，方程ax2+bx+c—m=0的解为：

H.如图②，不等式kx+b<|的解为.

(2)【拓展探究】

已知函数yl=|60—x|,y2=|120-x|.

I.利用分类思想，可将函数yl=|60-x|先转化为力需鼠需金需，然后分别画出yl=60-x

的图像x<60的部分和yl=x-60的图像x>60的部分，就可以得到函数yl=|60-x|的图像，如图③所

示.请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120-x|的图像.

II.已知min{m,n}=m(m<n),例如：min{l,—2}=-2.若y=min{yl,y2}的图像为W,请计

算图像W与坐标轴围成图形的总面积.

(3)【实际应用】

有一条长为600米的步行道OA,A是垃圾投放点wl,若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直

角坐标系，设B(x,0),现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2(t,0),点B与wl的距离为dl=|600

一x|,点B与w2的距离为d2=|x—1|,d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离，即：d=min{dl,

d2}.若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.问：

垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利？

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，顶点C,D在第一

象限内，正比例函数yi=3x的图象经过点D,反比例函数为=1(%>0)的图象经过点D,且与边BC

交于点E,连接0E,已知AB=3.

(1)点D的坐标是；

(2)求tan/EOB的值；

(3)观察图象，请直接写出满足yz>3的x的取值范围；

(4)连接DE,在x轴上取一点P,使SADPE=亮过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q,请直

接写出线段PQ的长.

19.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=?的图像交于第二、

四象限力、B两点，过点4作/D_Lx轴于点D,AD=4,4。=5,且点B的坐标为(珥一

2).

(1)求一次函数与反比例函数的解析式.

(2)E是y轴上一点，且A40E是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标.

20.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n20)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”.例

如，点弓，4)是函数y=%图像的反阶方点”；点(2,1)是函数y=［图像的“2阶方点”.

⑴在①(一2,-1)；@(-1,-1)；③(L1)三点中，是反比例函数y=］图像的“1阶方

点”的有(填序号)；

(2)若y关于x的一次函数y=ax-3a+l图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

(3)若y关于x的二次函数y=—(x—n)2—2n+l图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的

取值范围.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】4V3

10.【答案】1

11.【答案】(2,WI)

12.【答案】(5,6)；1<p<5

13.【答案】y=-5x+5或y=-x+1

14.【答案】2

15.【答案】(1)解：把A(2,-4)的坐标代入y=/得：m=-8,

.•.反比例函数的解析式是y=-I；

把B(a,-1)的坐标代入y=—&得：-1=—3

解得：a=8,

.••B点坐标为(8,-1),

把A(2,-4)、B(8,-1)的坐标代入产kx+b,得：｛北二;

解得：h=4,

。=一5

，一次函数解析式为y=；x-5；

(2)解：设直线AB交x轴于C.

Vy=—5,

.•.当y=0时，x=10,

.,.oc=io,

•••△AOB的面积=4AOC的面积■三角形BOC的面积

11

=^2x10x4-]X10x1=15；

(3)解：由图象知，当0VxV2或x>8时，一次函数的值大于反比例函数的值.

16.【答案】(1)解：•.•一次函数yi=3x-3的图象与反比例函数丁2=崇的图象交于点A(a,3),B

(-1,b),

，3=3a-3,b=-3-3,

Aa=2,b=-6,

/.A(2,3),B(-1,-6),

把A(2,3)代入反比例函数y2=y,则3=号，

♦・m--6,

...反比例函数的表达式是yz=1

(2)解：①点P(h,yi),Q(h,y2)分别是两函数图象上的点.当yAy2时h的取值范围是h>2

或-l<h<0；

②点P(h,yi),Q(h,y2)分别是两函数图象上的点，

♦•yi=3h-3,y2=',

Vyz-yi—3,

-(3h-3)=3,

整理得3h2=6,

*"•h=+ypl.

17.【答案】(1)x=-l或4；x<-l或0<x<3

(2)解：I.如图，

n.看图可知：卬=町一，

，图像W与坐标轴围成图形的总面积=|X60X60+：X60X30=2700；

(3)解:Vd=min{dl,d2}=min{|600—x|,|x—1|},

当di=d2时，600—x=x—t,得x=0.5t+300,

・d_[\x~flx-85t+300

=(|600-x|x>0.5t+300，

・・・d与坐标轴围成的面积，如图所示,

.".S=1t2+1(600-t)2=1t2-300t+90000,

当t=300,S=1X3002-300X300+90000=67500,

由题可知，S<S(300)Bp1t2-300t+90000<67500,

整理得:1t2-300t+22500<0,

|(t-100)(t-300)<0,

解得100<t<300,

垃圾投放点W2建在(100,0)和(300,0)之间比建在中点时更加便利。

18.【答案】(1)(1,3)

(2)解：•.•反比例函数及=[(%〉0)的图象经过点D,

，k=1x3=3

.3

f=歹

VE点的横坐标为1+3=4

AE(4,y),代入得到EB=1

.'tanNEOB=工

UD1O

(3)0<x<1

⑷期

19.【答案】（1）解：4DJLx轴

在RtAOAD中，OD=yJOA2-AD2=V52-42=3

4(一3,4)

点A在函数y=Y的图象上，m=-3x4=-12

则反比例函数解析式为y=~—

zX

S(n,-2)在反比例函数y=-茎的图象上，

nx(-2)=-12,n=6

B(6,-2)

将4(-3,4),B(6,—2)代入y=kx+b得

代入一次函数解析式得：忆/设。

解得M=-1

Ib=2

则一次函数解析式为y=—|x+2

(2)解：当04=4%=5时，得到0Er=2AD=8,即邑(0,8)

当0E3=OE2=AO=5,即E2(0,-5),F3(0,5)；

当AE=0E时，E是线段。4的垂直平分线与y轴的交点，

(此处可用两种方法求点E)

方法一：由2(-3,4)得直线。4的解析式为y=-1x,线段0/中点的坐标为(一|,2)

0A垂直平分线方程为、-2=沁+|),则E(0奇)

方法二：令垂足为F,贝IJ可证A0