空间几何体的表面积和体积

-1-空间几何体的表面积和体积-2--3-知识梳理1.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是

,表面积是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式所有侧面的面积之和

2πrlπrlπ(r1+r2)l-4-知识梳理3.柱、锥、台和球的表面积和体积

Sh4πR2-5-知识梳理1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.长方体的外接球(1)球心:体对角线的交点.-6-考点一考点二考点三学科素养微专题空间几何体的表面积例1(1)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

)

A.20π B.24π C.28π D.32πC-7-考点一考点二考点三学科素养微专题(2)(2017广东、江西、福建十校联考,文7)某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为(

)A-8-考点一考点二考点三学科素养微专题-9-考点一考点二考点三学科素养微专题思考求几何体的表面积的关键是什么?解题心得1.求几何体的表面积,关键在于根据三视图还原几何体,要掌握常见几何体的三视图,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系;有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得几何体的表面积.-10-考点一考点二考点三学科素养微专题对点训练1(2017江西宜春中学3月模拟,文7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

)B-11-考点一考点二考点三学科素养微专题A-12-考点一考点二考点三学科素养微专题解析:(1)由三视图得几何体如图所示.-13-考点一考点二考点三学科素养微专题空间几何体的体积(多考向)考向1

根据几何体的三视图计算体积例2(1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(

)B-14-考点一考点二考点三学科素养微专题(2)(2017河南濮阳一模,文7)某几何体的三视图如图所示,图中四边形都是边长为2的正方形,两条虚线相互垂直,则该几何体的体积是(

)D-15-考点一考点二考点三学科素养微专题思考由三视图求解几何体体积的一般思路是什么?-16-考点一考点二考点三学科素养微专题考向2

求空间几何体的体积

18π-17-考点一考点二考点三学科素养微专题-18-考点一考点二考点三学科素养微专题思考求解几何体体积的一般思路是什么?解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.2.求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量.3.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高.4.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.-19-考点一考点二考点三学科素养微专题对点训练2(1)(2017山东潍坊一模,文8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)D-20-考点一考点二考点三学科素养微专题(2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(

)C-21-考点一考点二考点三学科素养微专题(3)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(

)A-22-考点一考点二考点三学科素养微专题-23-考点一考点二考点三学科素养微专题球及其与球有关的切、接问题

AC-24-考点一考点二考点三学科素养微专题D-25-考点一考点二考点三学科素养微专题解析:(1)由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O',设截面圆O'的半径为r,由正弦定理可得

,解得r=2,设球O的半径为R,∵球心到平面ABC的距离为1,∴由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5,∴球O的表面积S=4πR2=20π,故选A.-26-考点一考点二考点三学科素养微专题-27-考点一考点二考点三学科素养微专题-28-考点一考点二考点三学科素养微专题思考如何求解球的表面积、体积及与球有关的切、接问题中的表面积、体积问题?解题心得1.求解球的表面积、体积问题的关键是求出球的半径,一般方法是依据条件建立关于半径的等式.2.多面体的外接球和内切球问题,其解题关键在于确定球心在多面体中的位置,找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系,结合原有多面体的特性求出球的半径,然后利用球的表面积和体积公式进行正确计算.常见的方法是将多面体还原到正方体或长方体中再去求解.3.球的截面问题,首先需理解两个基本性质:球的任何一个截面都是圆面,球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面.然后利用性质解三角形求出球的半径.-29-考点一考点二考点三学科素养微专题CB-30-考点一考点二考点三学科素养微专题-31-考点一考点二考点三学科素养微专题-32-考点一考点二考点三学科素养微专题1.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面.3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.-33-考点一考点二考点三学科素养微专题1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误.3.易混侧面积与表面积的概念.-34-考点一考点二考点三学科素养微专题高频小考点——简单几何体的内切球与外接球问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键.-35-考点一考点二考点三学科素养微专题一、外接球的问题1.必备知识:(1)简单多面体外接球的球心的结论.结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.(2)构造正方体或长方体确定球心.(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.2.方法技巧:几何体补成正方体或长方体.-36-考点一考点二考点三学科素养微专题二、内切球问题1.必备知识:(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合.2.方法技巧:体积分割是求内切球半径的通用做法.-37-考点一考点二考点三学科素养微专题三、典例剖析典例1(2015全国Ⅱ,文10)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(

)A.36π B.64π C.144π D.256π答案:C解析:由△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,-38-考点一考点二考点三学科素养微专题答案:A解析:设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,-39-考点一考点二考点三学科素养微专题典例3(2016全国Ⅲ,文11)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(

)答案:B解析:由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.-40-考点一考点二考点三学科素养微专题典例4(2017全国Ⅱ,文15)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为______________.答案:14π解析:由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球O的直径2R,即

,所以球O的表面积S=4πR2=14π.-41-考点一考点二考点三学科素养微专题典例5(2017全国Ⅰ,文16)已知三棱锥S

-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S

-ABC的体积为9,则球O的表面积为______________.答案:36π解析:取SC的中点