2024年山东省单县一中高三数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024年山东省单县一中高三数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（）A． B． C． D．12．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A． B． C． D．4．函数在上的图象大致为（）A． B． C． D．5．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．47．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为()A．5 B．6 C．7 D．98．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．的展开式中的系数是-10，则实数()A．2 B．1 C．-1 D．-210．已知函数，则（）A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称11．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.14．从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______．15．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：（1）对任意的总有；（2）当，，时，总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________.16．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求数列{an}（2）设cn=bnan，求数列18．（12分）已知函数，.（1）若曲线在点处的切线方程为，求，；（2）当时，，求实数的取值范围.19．（12分）在中，内角的对边分别是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．20．（12分）已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C．（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，则是否存在直线m，使得？若存在，求出直线m斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数.（1）若，求证：.（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知函数，.（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.【题目详解】由，则展开式中的系数为，展开式中的系数为，二者的系数之和为，得.故选：B.【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2、D【解题分析】

根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【题目详解】设为中点，是等边三角形，所以，又因为，且，所以平面，则，由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥，设底面等边的重心为，可得，，所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，在中，，即，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，故选：D.【题目点拨】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.3、B【解题分析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【题目详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.【题目点拨】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.4、C【解题分析】

根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.【题目详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；当时，，，排除选项D，故选：C.【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.5、C【解题分析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【题目详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.6、A【解题分析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【题目详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题7、A【解题分析】

由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，从而得出的最大值.【题目详解】因为，则，即整理得，令，设，则，令,则，令，则，故在上单调递增，在上单调递减，则，因为，，由题可知：时，则，所以，所以，当无限接近时，满足条件，所以，所以要使得故当时，可有，故，即，所以：最大值为5.故选：A.【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.8、C【解题分析】

由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．【题目详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得，解得，此时双曲线，则曲线的离心率为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9、C【解题分析】

利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C【题目点拨】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.10、C【解题分析】

依题意可得，即函数图像关于对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；【题目详解】解：由，，所以函数图像关于对称，又，在上不单调.故正确的只有C，故选：C【题目点拨】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.11、A【解题分析】

由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【题目详解】由得：，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：.【题目点拨】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.12、A【解题分析】

设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【题目详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为.故选：A.【题目点拨】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解题分析】

根据伪代码逆向运算求得结果.【题目详解】输入，若，则，不合题意若，则，满足题意本题正确结果：【题目点拨】本题考查算法中的语言，属于基础题.14、【解题分析】

先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果.【题目详解】解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的事件数为9个，即为，，，其中满足的有，，，共有8个，故的概率为.【题目点拨】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.15、【解题分析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：对任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，从而可得.【题目详解】因为是定义在上G函数，所以对任意的总有，则对任意的恒成立，解得，当时，又因为，，时，总有成立，即恒成立，即恒成立，又此时的最小值为，即恒成立，又因为解得.故答案为：【题目点拨】本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.16、【解题分析】

计算出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【题目详解】，所以，所以.故答案为：-8【题目点拨】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）an=（2）Tn【解题分析】

（1）利用an与Sn的递推关系可以an的通项公式；P点代入直线方程得b【题目详解】(1)由an+1=2S两式相减得an+1-a又a2=2S1+1=3，所以a由点P(bn,bn+1则数列{bn(2)因为cn=b则13两式相减得：23所以Tn【题目点拨】用递推关系an=Sn-18、（1）；（2）【解题分析】

(1)对函数求导，运用可求得的值，再由在直线上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，构造函数，对函数求导，讨论和0的大小关系，结合单调性求出最大值即可求得的范围.【题目详解】（1）由题得，因为在点与相切所以，∴（2）由得，令，只需，设（），当时，，在时为增函数，所以，舍；当时，开口向上，对称轴为，，所以在时为增函数，所以，舍；当时，二次函数开口向下，且，所以在时有一个零点，在时，在时，①当即时，在小于零，所以在时为减函数，所以，符合题意；②当即时，在大于零，所以在时为增函数，所以，舍.综上所述：实数的取值范围为【题目点拨】本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，,利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【题目详解】（1）由题意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【题目点拨】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20、（1），抛物线；（2）存在，.【解题分析】

（1）设，易得，化简即得；（2）利用导数几何意义可得，要使，只需.联立直线m与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【题目详解】（1）设，由题意，得，化简得，所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线.（2）不妨设.因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即，又，所以轴.要使，只需.设直线m的方程为，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，设，，则，..故存在直线m，使得，此时直线m的斜率的取值范围为.【题目点拨】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.21、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【解题分析】

（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.【题目详解】（1），，，当时，，当时，，∴，故.（2）由题知，，，①当时，，所以在上单调递