重庆市彭水县第一中学2024学年高三数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

重庆市彭水县第一中学2024学年高三数学第一学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，集合，，则（）A． B．C． D．2．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．4．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．55．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④6．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为()A． B． C． D．18．设集合则（）A． B． C． D．9．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则11．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A． B． C．3 D．212．设向量，满足，，，则的取值范围是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．14．设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________.15．已知等差数列的前项和为，且，则______.16．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足（），数列的前项和，（），且，．（1）求数列的通项公式：（2）求数列的通项公式．（3）设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的均有．18．（12分）已知函数.（1）若函数，求的极值；（2）证明：.（参考数据：）19．（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；（Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求的最小值；（2）证明：.（3）设方程的实根为.令若存在，，，使得，证明：.21．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.22．（10分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【题目详解】,，∴．故选C．【题目点拨】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.2、B【解题分析】

转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【题目详解】由，可知．设，则，所以函数在上单调递增，所以．所以．故的取值范围是．故选：B【题目点拨】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.3、B【解题分析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【题目详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【题目点拨】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．4、C【解题分析】

由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．5、C【解题分析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【题目详解】解：①：、也可能相交或异面，故①错②：因为，，所以或，因为，所以，故②对③：或，故③错④：如图因为，，在内过点作直线的垂线，则直线，又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则又，所以因为，，所以，所以，故④对.故选：C【题目点拨】考查线面平行或垂直的判断，基础题.6、A【解题分析】

先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值.【题目详解】解法一：由，所以，由条件可得，对任意的，所以是等差数列，，要使最小，由解得，则.解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值.故选：A【题目点拨】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.7、C【解题分析】试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则，可得：，当且仅当时取等号，故选C．考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．8、C【解题分析】

直接求交集得到答案.【题目详解】集合，则.故选：.【题目点拨】本题考查了交集运算，属于简单题.9、B【解题分析】

根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【题目详解】设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.10、C【解题分析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【题目详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．11、C【解题分析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【题目详解】作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．故选：C．【题目点拨】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．12、B【解题分析】

由模长公式求解即可.【题目详解】，当时取等号，所以本题答案为B.【题目点拨】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、20,21【解题分析】

由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【题目详解】解:由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时,,.当时,,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为:20,21【题目点拨】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.14、.【解题分析】

配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解.【题目详解】，顶点为因为函数的值域是，令，可得或.又因为函数图象的对称轴为，且，所以的取值范围为.故答案为:.【题目点拨】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.15、【解题分析】

根据等差数列的性质求得，结合等差数列前项和公式求得的值.【题目详解】因为为等差数列，所以，解得，所以.故答案为：【题目点拨】本小题考查等差数列的性质，前项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.16、1【解题分析】

求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．【题目详解】设，由题意，∴，，，即，∴，．故答案为：1．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（）．（2），．（3）【解题分析】

（1）依题意先求出,然后根据,求出的通项公式为,再检验的情况即可;（2）由递推公式,得,结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;（3）通过（1）、（2）可得,所以,,,,．记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.【题目详解】解：（1）因为数列满足（）①；②当时,．检验当时,成立.所以,数列的通项公式为（）．（2）由,得,①所以,．②由①②,得,,即,,③所以,,．④由③④,得,,因为,所以,上式同除以,得,,即,所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,故,．（3）因为．所以,,,,．记,当时,．所以,当时,数列为单调递减,当时,．从而,当时,．因此,．所以,对任意的,．综上,．【题目点拨】本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.18、（1）见解析；（1）见证明【解题分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（1）问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．【题目详解】（1），，当，，当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（1）要证f（x）+1＜ex﹣x1．即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1，故只需证明当x＞0时，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝1ln1，∵F′（x）递增，故x∈（0，1ln1]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，x∈（1ln1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，且k′（1ln1）＝5﹣8ln1＜0，k′（0）＝1＞0，k′（1）＝e1﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈（0，1ln1），∃x1∈（1ln1，1），使得k′（x1）＝k′（x1）＝0，故0＜x＜x1或x＞x1时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x1时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x1），由k′（x1）＝0，得＝4x1﹣1，k（x1）＝﹣1+x1﹣1＝﹣（x1﹣1）（1x1﹣1），∵x1∈（1ln1，1），∴k（x1）＞0，故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．【题目点拨】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题．19、（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）【解题分析】试题分析：（1），分，讨论，当时，对，，当时，解得，在上是减函数，在上是增函数。所以，当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（2）原命题为假命题，则逆否命题为真命题。即不等式在区间内有解。设，所以，设，则，且是增函数，所以。所以分和k>1讨论。试题解析：（Ⅰ）因为，所以，当时，对，，所以在是减函数，此时函数不存在极值，所以函数没有极值点；当时，，令，解得，若，则，所以在上是减函数，若，则，所以在上是增函数，当时，取得极小值为，函数有且仅有一个极小值点，所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.（Ⅱ）命题“，”是假命题，则“，”是真命题，即不等式在区间内有解.若，则设，所以，设，则，且是增函数，所以当时，，所以在上是增函数，，即，所以在上是增函数，所以，即在上恒成立.当时，因为在是增函数，因为，，所以在上存在唯一零点，当时，，在上单调递减，从而，即，所以在上单调递减，所以当时，，即.所以不等式在区间内有解综上所述，实数的取值范围为.20、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解题分析】

（1）由题意可得，，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；（2）不等式转化为，令，，利用导数得单调性即可得到答案；（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，，再利用导数研究单调性可得在上单调递增，即，即，即可得到结论.【题目详解】（1），即，化简可得.令，，因为，所以，.所以，在上单调递减，.所以的最小值为.（2）要证，即.两边同除以可得.设，则.在上，，所以在上单调递减.在上，，所以在上单调递增，所以.设，因为在上是减函数，所以.所以，即.（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证，由可知，即要证.当时，，，因而在上单调递增.当时，，，因而在上单调递减.因为，所以，要证.即要证.记，.因为，所以，则..设，，当时，.时，，故.且，故，因为，所以.因此，即在上单调递增.所以，即.故得证.【题目点拨】本题考查函数的单调性、最值、函