2021年湖南省长沙市牌楼中学高三数学理期末试卷含解析

2021年湖南省长沙市牌楼中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C．D．参考答案：B考点：双曲线试题解析：因为，所以，渐近线方程为

故答案为：B2.已知定义域为的函数满足，当时，单调递增，若且，则的值（

）A．恒大于0

B．恒小于0

C．可能等于0

D．可正可负参考答案：B3.已知函数．若存在2个零点，则a取值范围是(

)A．[－1,+∞)

B．[1,+∞)

C．(－∞,－1)

D．(－∞,1)参考答案：A4.已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，

则“”是“

”的（

）A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件参考答案：A由得，即，所以或，即或，所以“”是“

”的充分非必要条件，选A.5.下列有关命题的说法正确的是A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“对任意均有”的否定是：“存在使得”．

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．参考答案：D在D中，若，则有成立，所以原命题为真，所以它的逆否命题也为真，选D.6.在中，，其面积，则向量与向量夹角的取值范围是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略7.在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝，则A等于()A.B.

C.

D.参考答案：A8.将一张边长为6cm的纸片按如图l所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是

参考答案：A【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2：∵图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x，

又正四棱锥的正视图是正三角形，∴正四棱锥的斜高也为x，

由图1得x+=3，解得x=2，即正四棱锥的底面边长为2，

∴四棱锥的高为，∴四棱锥的体积V=×8×=。【思路点拨】设正四棱锥的底面边长为x，根据正四棱锥的正视图是正三角形，可得正四棱锥的斜高也为x，利用图1求得x，再求得四棱锥的高．代入棱锥的体积公式计算．9.已知是三次函数的两个极值点，且,则的取值范围是

（）

A.

B.

C.

D.参考答案：A10.以下四个命题中，其中真命题的个数为（）①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模拟的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1；③若数据x1，x2，x3…，xn的方差为1，则3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为3；④对分类变量x与y的随机变量的观测值k2来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】相关系数．【分析】（1）根据相关指数R2的值的性质进行判断，（2）根据线性相关性与r的关系进行判断，（3）根据方差关系进行判断，（4）根据分类变量x与y的随机变量k2的观察值的关系进行判断．【解答】解：（1）用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故（2）错误；（3）若统计数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则3x1，3x2，3x3…，3xn的方差为9，故（3）错误；（4）对分类变量x与y的随机变量k2的观察值k2来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大．错误；故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知则的值等于．

参考答案：略12.若直角三角形的顶点是A（－1，0）、B（1，0），则直角顶点C（x，y）的轨迹方程为

．参考答案：答案：

13.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是

参考答案：24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．14.已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是．参考答案：（8，0，0）或（2，0，0）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：设出P的坐标，利用PA=5，求解即可．解答：解：设P的坐标是（a，0，0），点A的坐标为（5，2，﹣6），PA=7，∴解得a=8或2∴P点的坐标是：（8，0，0）或（2，0，0）故答案为：（8，0，0）或（2，0，0）点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．15.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆2名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场所的概率为_____。参考答案：【分析】先列举出所有可能的基本事件总数，然后计算志愿者甲和乙被分到同一场所包含的基本事件数，再根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率.【详解】设甲为，乙为，另外两名志愿者为.将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：场馆1场馆212（甲乙一起）3413241423231424133412（甲乙一起）

共种，其中甲乙一起的有种，故概率为.【点睛】本小题主要考查利用列举法求解古典概型概率问题，属于基础题.

16.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．参考答案：78【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．17.在直角三角形中，，，，若，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为、 、

、

、参考答案：B根据三视图作出原几何体（四棱锥）的直观图如下：可计算，故该几何体的最大边长为.19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）是否存在负实数，使得当时，的最小值是4？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；（3）对，如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方（没有公共点），则称函数F（x）在D上被函数G（x）覆盖，若函数在区间上被函数覆盖，求实数的取值范围．（注：e是自然对数的底数，[ln（-x）]′=）参考答案：20.已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，求得函数的最小正周期．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+），故函数的最小正周期为=π．（Ⅱ）对于函数f（x）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．21.已知数列{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，.数列{bn}为等比数列且.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记，其前n项和为Tn，求证：.参考答案：解：（1）设公差为，则由得，解得所以……3设的公比，所以，，…………….6（2）……8，……………11易知随着的增大而增大，所以……………12

22.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型概率人ABC甲pq乙/若甲、乙都选C类车型的概率为．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型ABC补贴金额（万元/辆）345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由相互独立事件同时发生概率乘法公式和概率分布列性质列出方程组能求出p，q．（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙选择不同车型的概率．（Ⅲ）由题意X的可能取值为7，8