2022-2023学年湖南省益阳市东坪中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年湖南省益阳市东坪中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一元二次不等式的解集为，则的解集为A．

B．C．

D．参考答案：D略2.已知，则f(x)的最小值是A.2

B.3

C.4

D.5

参考答案：D3.已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B?A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B?A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B?A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B?A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B?A，当a=3时，B={1，3}，满足B?A．综上，若B?A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．4.若变量满足约束条件则的最大值为（

）(A)

-3

(B)1

(C)

2

(D)

3参考答案：D5.若函数的导函数在区间上有零点，则在下列区间上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D本题主要考查导数在研究函数中的应用.由题意知,因为函数的导函数在区间上有零点,所以令则,又,所以,令,解得,即函数的单调递增区间为,因为所以与题意相符,故选D.6.六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A．24 B．36 C．16 D．18参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分4步进行分析：①、2名女生在A、B学校个一人，②、A学校除男生甲之外选男生一人，③、B学校在剩余男生中选一人，④、C学校2名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求六名学生被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，只能安排2名女生在A、B学校各一人，有A22=2种安排方法，A学校除男生甲之外选男生一人，有C31=3种安排方法，B学校在剩余男生中选一人，有C31=3种安排方法，C学校选剩余的2名男生，有1种情况，则不同的安排方法有2×3×3×1=18种安排方法；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分析题目中的限制条件，注意受到限制的元素的处理方法．7.函数的定义域为

(A)

(B)

(C)(1,+∞)

(D)参考答案：D8.已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A考点： 交集及其运算．专题： 计算题．分析： 通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解答： 解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选A点评： 本题考查指对函数的定义域和值域，不要弄混．9.若是等差数列的前n项和，且,则(

)A.12

B.18

C.22

D.44参考答案：C略10.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行参考答案：C若c与a，b都不相交，则与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量满足，且与的夹角等于，与的夹角等于，，则

．参考答案：12.一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球?从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=．参考答案：4考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意可得，当取出的3个小球全为白色时，X=5，当取出的小球是2白1黑时，X=4，当取出的小球是1白2黑时X=3，根据等可能事件的概率公式求出概率，进而可求期望值解答：解：由题意可得X可能取值为3，4，5P（X=3）==P（X=4）==P（X=5）==E（X）==4故答案为：4点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望值的求解，解题的关键是随机变量取不同值时所对应的情况要准确求出13._________.参考答案：略14.正项数列的前项和为，且，若，则__________.参考答案：15.设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是．参考答案：[0，2]【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由绝对值三角不等式，可得|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|m﹣1|，再根据|m﹣1|≤1求得m的取值范围．【解答】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，求得0≤m≤2，故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．16.设函数在内可导，且，则在点处的切线方程为____________.参考答案：考点：利用导数研究函数在某点处的切线.【方法点晴】本小题主要考查函数解析式的求法、直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．利用换元法求出函数解析式，先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率即可求出切线的斜率．从而问题解决．17.已知直线过点，则的最小值为_________.参考答案：4由已知，即等号成立当且仅当“”时成立，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，，其中.曲线在处的切线方程为(1)求函数的解析式;（2）当时，求的单调区间；（3）若的图像恒在图像的上方，求的取值范围。参考答案：（1）则又解得所以（2）

则当时，在单调递增；当时，令；，，则，所以在单调递增；在单调递减。综上：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；单调递减区间为。（3）由题意，对一切恒成立，分离参数得，令，则，令，探根：令，则，又，说明函数过点（1，0），且在（0，+∞）上单调递减，其大致图像如图。观察图像即知，当（0，1）时，；当（1，+∞）时，。又易知与同号，所以在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，即，故所求取值范围为.19.（Ⅰ）证明：当x＞1时，2lnx＜x﹣；（Ⅱ）若不等式对任意的正实数t恒成立，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．参考答案：考点：不等式的证明．专题：证明题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，求出导数，判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，运用单调性即可得证；（Ⅱ）由于t＞0，a＞0，故不等式可化为（*）问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，构造函数，求出导数，对a讨论，当0＜a≤2时，当a＞2时，求出单调性，判断不等式是否成立，即可得到；（Ⅲ）要证，即证，由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，取可得不等式成立，变形整理即可得证．解答： （Ⅰ）证明：令函数，定义域是{x∈R|x＞1}，由，可知函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，故当x＞1时，，即．（Ⅱ）解：由于t＞0，a＞0，故不等式可化为…（*）问题转化为（*）式对任意的正实数t恒成立，构造函数，则，（1）当0＜a≤2时，由t＞0，a（a﹣2）≤0，则g'（t）≥0即g（t）在（0，+∞）上单调递增，则g（t）＞g（0）=0，即不等式对任意的正实数t恒成立．（2）当a＞2时，a（a﹣2）＞0因此t∈（0，a（a﹣2）），g'（t）＜0，函数g（t）单调递减；t∈（a（a﹣2），+∞），g'（t）＞0，函数g（t）单调递增，故，由a＞2，即a﹣1＞1，令x=a﹣1＞1，由（Ⅰ）可知，不合题意．综上可得，正实数a的取值范围是（0，2]．（Ⅲ）证明：要证，即证，由（Ⅱ）的结论令a=2，有对t＞0恒成立，取可得不等式成立，综上，不等式成立．点评：本题考查不等式的证明，考查构造法证明不等式，同时考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，以及单调性的运用，考查运算和推理的能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn.

参考答案：解:（Ⅰ）由，得

所以 …………3分由累乘法得到，所以数列的通项公式为………………6分（Ⅱ）由等差数列前n项和公式得：

所以 ………9分数列的前项和

……12分

21.选修4—1：几何证明选讲

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．

（1）求AC的长；（2）求证：BE＝EF．

参考答案：（本小题满分10分）

解：（I），，

…………（2分）

又，

，，

…………（4分）