广西壮族自治区钦州市市沙埠中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区钦州市市沙埠中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由复数除法计算出，再由共轭复数定义求出。【详解】，∴。故选：B。【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。属于基础题。2.等腰三角形中，边中线上任意一点，则的值为A.

B.

C.5

D.参考答案：A略3.在平面直角坐标系xOy中，直线与圆相交于A、B两点，则弦AB的长等于

。参考答案：4.已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项式A.

B.

C.

D.参考答案：B5.下列说法正确的是

（）

A.“”是“在上为增函数”的充要条件B.命题“使得”的否定是：“”C.“”是“”的必要不充分条件D.命题p：“”，则p是真命题参考答案：A6.设U=R，集合，则下列结论正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.函数y＝ln的图像为参考答案：A略8.离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D9.下边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以所得余数，输入的，分别为495，135，则输出的（

）A．0

B．5

C．45

D．90参考答案：C

考点：程序框图．算法案例．10.若函数的图像经过点，则函数的图像经过点

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}中，a3=7，前3项和S3=21，则数列{an}的公比为_________．参考答案：1或

12.核算某项税率，需用公式K=（1﹣7x）n（n∈N*）．现已知K的展开式中各项的二项式系数之和是64，用四舍五入的方法计算当x=时K的值．若精确到0.001，其千分位上的数字应是

．参考答案：4【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式系数和公式2n，列出方程求出n，利用二项式定理将二项式展开求出近似值．【解答】解：由2n=64，得n=6．于是y≈C60+C61?+C62=1﹣0.18+0.0135≈0.834．故答案为：4【点评】本题考查二项式系数和公式是2n；利用二项式定理的展开式求二项式的近似值．13.某渔船要对下月是否出海做出决策，如出海后遇到好天气，可得收益6000元，如出海后天气变坏将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费，据气象部门的预测下月好天的概率为0．6，天气变坏的概率为0．4，则该渔船应选择_____________（填“出海”或“不出海”）．参考答案：出海14.若正数满足，则的最小值为____________．参考答案：3略15.口袋中有个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．则取球次数的数学期望为

．参考答案：16.设m，n是任意正整数，定义.对于任意的正整数k，t，设，，则

．参考答案：15∵，∴∵∴故答案为15.

17.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为

．参考答案：－1或2试题分析：约束条件所表示的可行域为如图所示的三角形区域，又因为目标函数中的含义为直线在y轴上的截距，当目标函数取得最大值时，直线在y轴上的截距取得最大值，又取得最大值的最优解不唯一，所以直线与直线或平行，所以或．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC＜2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若直线PA与平面EAC所成角的正弦值为，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间向量及应用．【分析】（1）由题意可得AC⊥PC，再由勾股定理可得AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，进而可判平面EAC平面PBC；（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，分别可得平面PAC和EAC的法向量，待定系数可得a值，由向量的夹角公式可得答案．【解答】解：（1）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC?平面EAC，∴平面EAC平面PBC；（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），∴=（1，1，0），=（0，0，a）（a＞0），=（，﹣，），=（1，1，﹣a），设=（x，y，z）为平面PAC的法向量，则，可取=（1，﹣1，0）同理平面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），依题意，设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，解得a=1，或a=2（舍去，此时不满足PC＜2），∴=（1，﹣1，﹣2），∴|cos＜，＞|==∴平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，涉及平面与平面垂直的判定，属中档题．19.在数列中，，当时，其前项和满足．（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，求数列的前n项和． （3）是否存在自然数m，使得对任意，都有成立？若存在求出m的最

大值；若不存在，请说明理由。参考答案：解：（1）当时，，∴，∴，∴，即数列为等差数列，，∴，∴当时，，（2）=，

（3） 而是单增数列，其最小值为因此即存在自然数，使得对任意n∈N*，都有成立，且的最大值为9.

略20.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足三点的圆与直线相切.（I）求椭圆C的方程；（II）过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P（m，0），求实数m的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）连接，因为，，所以，即，则，.

………………3分的外接圆圆心为，半径………4分由已知圆心到直线的距离为，所以，解得，所以，，所求椭圆方程为.

………………6分

（Ⅱ）因为，设直线的方程为：，.联立方程组：，消去得.……7分则，，的中点为.

………………8分当时，为长轴，中点为原点，则.

………………9分当时，垂直平分线方程令，所以

因为，所以，可得，

…………12分综上可得，实数的取值范围是

………………13分略21.如图，在平行四边形ABCD中，，.现沿对角线BD将折起，使点A到达点P.点M、N分别在PC、PD上，且A、B、M、N四点共面.（1）求证：；（2）若平面PBD⊥平面BCD，平面BMN与平面BCD夹角为30°，求PC与平面BMN所成角的正弦值.参考答案：(1)见证明；(2)【分析】(1)本题首先可以设，通过题意即可得出长，然后根据余弦定理即可计算出的长并根据勾股定理判断出，最后根据线面平行的相关性质即可得出并证得；(2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出与平面所成角的正弦值。【详解】（1）不妨设，则，在中，根据余弦定理可得，计算得，因为，所以.因为，且、、、四点共面，所以平面.又平面平面，所以.而，故.（2）因为平面平面，且，所以平面，，因为，所以平面，，因为，平面与平面夹角为，所以，从而在中，易知为的中点，如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则由，得，令，得.设与平面所成角为，则。【点睛】本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。22.（本小题满分14分）已知函数，其中且（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.参考答案：(I)f(x)的定义域为.其导数………1分①当时,,函数在上是增函数;…………2分②当时,在