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文档简介
专题09圆周运动常考模型
目录
题型一圆周运动中的运动学分析................................................................14
题型二水平面内的圆周运动....................................................................15
类型1圆锥摆模型.........................................................................16
类型2生活中的圆周运动...................................................................18
题型三竖直面内的圆周运动....................................................................19
题型四圆周运动中的临界极值问题..............................................................19
类型1水平面内圆周运动的临界问题........................................................19
类型2竖直面内的圆周运动的临界问题.....................................................21
类型3斜面上圆周运动的临界问题.........................................................23
题型五竖直面内圆周运动与图像结合问题24
题型一圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1.对公式丫=。厂的理解
当口一定时,u与r成正比.
当^一定时,口与「成反比.
2
2.对如=3=。2厂的理解
在V—定时,On与r成反比;在<0一定时,"n与r成正比.
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动:如图甲、乙所示,皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,即町=如
0A@X^)B
甲乙(2)摩擦传动和齿轮传动:如图甲、乙所示,两轮边缘接触,接触
点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等,即“=也
甲乙(3)同轴转动:如图所示,绕同一转轴转动的物体,角速度相同,如=
COB,由U=5知丫与r成正比.
【例11游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图7所示,一小孩坐在旋转
木马上,绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动,圆周运动的半径为3.0m,小孩旋转5周用时1min,则下
列说法正确的是()
•X/
Li7T
L,A.小孩做圆周运动的角速度为5rad/s
B.小孩做圆周运动的线速度为2jrm/s
C.小孩在1min内通过的路程为157tm
D.小孩做圆周运动的向心加速度为自m*
【例2】(2022•河北衡水中学模拟)穿梭于大街小巷的共享单车解决了人们出行的“最后一公里”问题。单车的
传动装置如图所示,链轮的齿数为38,飞轮的齿数为16,后轮直径为660mm。已知齿轮的齿数比等于半
径比,若小明以5m/s匀速骑行,则脚踩踏板的角速度约为()
踏板飞轮A.3.2rad/sB.6.4rad/s
C.12.6rad/sD.18.0rad/s
【例3】(2022•资阳诊断)如图所示,水平放置的两个用相同材料制成的轮P和。靠摩擦传动,两轮的半径R:r
=2:1.当主动轮Q匀速转动时,在。轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上,此时Q轮转动
的角速度为助,木块的向心加速度为勾,若改变转速,把小木块放在尸轮边缘也恰能静止,此时0轮转动
题型二水平面内的圆周运动
【解题指导】1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力
的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置.
(2)分析物体的受力情况,所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
3.几种典型运动模型
运动模型向心力的来源图示运动模型向心力的来源图示
飞机水平转
圆锥摆
弯->
mgmg
*
火车转弯飞车走壁
wmg、------'
\
\
fng
、
、、
汽车在...
水平路FL水平转台
X,汽车
//
面转弯/E
4方法技巧:求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
几何分析目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析目的是通过力的合成与分解,表示出物体做圆周运动时,外界所提供的向心力
类型1圆锥摆模型
1.如图所示,向心力尸向=〃琢tan。=,±="?疗厂,且r=Lsin。,解得v=2gLtan6sin0,co—
LeosQ'
2.稳定状态下,6角越大,对应的角速度。和线速度v就越大,小球受到的拉力尸=命
和运动所需向心力也越大.
【例1】(2022•辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、。均在水平面内做圆锥摆运动.如图甲所示,
其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长);如图乙所示,小球C、力在不同水平面
内做圆锥摆运动,但是连接C、。的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接。球的绳较长),则下列说法错误的
是()
甲乙A.小球A、B角速度相等
B.小球A、B线速度大小相同
C.小球C、。向心加速度大小相同
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【例2】(2022•安徽合肥一中段考)如图所示,一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端固定在金属块。
上,。放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上,小球在某一水平面内做匀速圆周运动,现使小球在一个更高的
水平面上做匀速圆周运动,而金属块。始终静止在桌面上的同一位置,则改变高度后与原来相比较,下面
的判断中正确的是)
细线所受的拉力不变
B.小球产运动的线速度变大
C.小球尸运动的周期不变
D.。受到桌面的静摩擦力变小
【例31.如图所示,质量相等的甲、乙两个小球,在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动,甲在
乙的上方.则()
A.球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B.球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C.球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D.球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力【例4】如图所示,质量均为〃?的〃、匕两小球用不可伸
长的等长轻质绳子悬挂起来,使小球a在竖直平面内来回摆动,小球6在水平面内做匀速圆周运动,连接
小球6的绳子与竖直方向的夹角和小球。摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为仇重力加速度为g,则
下列说法正确的是()
A.a、b两小球都是所受合外力充当向心力
B.a、人两小球圆周运动的半径之比为tanJ
C.6小球受到的绳子拉力为你
D.a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为筮
类型2生活中的圆周运动
【例2】(2022•哈尔滨师大附中期中)在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低.如图所示,在某路段汽
车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是做半径为R的在水平面内的圆周
运动.如图,设内外路面高度差为小路基的水平宽度为",路面的宽度为L已知重力加速度为g.要使车轮
与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零,则汽车转弯时的车速应等于()
【例2】(2022•河南洛阳名校联考)在室内自行车比赛中,运动员以速度u在倾角为。的赛道上做匀速圆周运
动.已知运动员的质量为〃?,做圆周运动的半径为R,重力加速度为g,则下列说法正确的是
的作用
B.运动员受到的合力大小为,点,做圆周运动的向心力大小也是〃点
C.运动员做圆周运动的角速度为此D.如果运动员减速,运动员将做离心运动
(2022•山东大学附中质检)如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A、B两物块叠放在一起,随圆盘一起做
匀速圆周运动,则下列说法正确的是()
B.B的向心力是A的向心力的2倍
C.盘对8的摩擦力是B对4的摩擦力的2倍
D.若8先滑动,则B与A之间的动摩擦因数网小于盘与B之间的动摩擦因数期
题型三竖直面内的圆周运动
如图所示为凹形桥模型.当汽车通过凹形桥的最低点时,向心力尸向
概述V2
—Fti—mg—m-
Wmg规律桥对车的支持力Fn=mg+my>mg,汽车处于超重状态
凹形桥
如图所示为拱形桥模型.当汽车通过拱形桥的最高点时,向心力下向
概述v2
=,监一尺=呜7
7,2
mg桥对车的支持力FN—rng—nr^<mg,汽车处于失重状态.若v—y[gr,
规律
拱形桥
则FN=O,汽车将脱离桥面做平抛运动
【例1】(2022•山东省实验中学高三月考)如图所示,地球可以看成一个巨大的拱形桥,桥面半径R=6400km,
地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G=800N,在汽车的速度可以达到需要的任意值,且汽车不离开地面的
前提下,下列分析正确的是()
祗(餐区A.汽车的速度越大,则汽车对地面的压力也越大
B.不论汽车的行驶速度如何,驾驶员对座椅的压力大小都等于800N
C.不论汽车的行驶速度如何,驾驶员对座椅的压力大小都小于他自身的重力
D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面的压力为零,则此时驾驶员会有超重的感觉
【例2】(2021•大庆中学期中)如图所示,两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面,一个小球先后在
与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始下滑,通过轨道最低点时(
A.A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力
B.A球对轨道的压力等于8球对轨道的压力
C.A球的角速度小于B球的角速度
D.A球的向心加速度小于B球的向心加速度
题型四圆周运动中的临界极值问题
类型1水平面内圆周运动的临界问题
三种临界情况
(I)接触与脱离的临界条件:两物体相接触或脱离,临界条件是弹力尸N=0.
(2)相对滑动的临界条件:两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对滑动的临界条件是
静摩擦力达到最大值.
(3)绳子断裂与松弛的临界条件:绳子所能承受的张力是有限度的,绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于
它所能承受的最大张力,绳子松弛的临界条件是R=0.
【例1】(多选)(2022•西安八校联考)如图所示,两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上,两者用
长为乙的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍,A放在距离转轴L处,整个装置能
绕通过转盘中心的转轴002转动,开始时,绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止开始转动,使角速度
缓慢增大,以下说法正确的是)
5bAB
n——n
.
A.当co>时,A、8相对于转盘会滑动
B.当<o>,绳子一定有弹力
C.3在<(D<范围内增大时,8所受摩擦力变大
D.。在范围内增大时,A所受摩擦力一直变大
【例2】.(2022•湖南怀化联考)质量为m的小球由轻绳”和6分别系于一轻质细杆的B点和A点,如图所示,
绳。与水平方向成。角,绳6在水平方向且长为/,当轻杆绕轴AB以角速度3匀速转动时,小球在水平面
内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是)
A.4绳的张力可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.当角速度/臀,6绳将出现弹力
D.若人绳突然被剪断,则a绳的弹力一定发生变化
【例3】(多选)(2022•湖北省高考模拟)如图所示,竖直杆A8在A、8两点通过光滑较链连接两等长轻杆AC
和BC,AC和BC与竖直方向的夹角均为仇轻杆长均为乙,在C处固定一质量为”的小球,重力加速度为
g,在装置绕竖直杆AB转动的角速度。从0开始逐渐增大过程中,下列说法正确的是()
A
c\
、B
A.当”=0时,AC杆和8c杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC杆对球的作用力先增大后减小
C.一定时间后,AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D.当。=也磊时,BC杆对球的作用力为0
【例4】(多选)如图所示,三角形为一光滑锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为。=37。.一根长为/=1m
的细线一端系在锥体顶端,另一端系着一可视为质点的小球,小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动,
重力加速度g=10m/s2,sin37o=0.6,不计空气阻力,则()
工3A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力C.当”0=/rad/s时;小球对锥体的压力刚好为零
D.当°=24rad/s时,小球受重力、支持力和拉力作用
[例5](2022•河北廊坊市摸底汝口图所示,暗室中一水平转台上,距离转轴00,长为L的位置嵌入一物块(可
视为质点)。在常亮光源照射下从上往下看,转台逆时针匀速转动,如果用频闪光源照射转台,发现物块做
顺时针匀速转动。已知物块质量为m,频闪光源闪光频率为N,观察到物块做顺时针圆周运动的周期为T,
当地重力加速度的大小为g。求:
O'
CJ、*D
0(1)水平转台的最小转速”;
(2)转台以最小转速转动时给物块的作用力大小。
类型2竖直面内的圆周运动的临界问题
1.两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑)轻杆模型(最高点有支撑)
实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的球与杆连接、球在光滑管道中运动等
“过山车”等©
图示
卜--、、,--4仔弹
尸弹,卜
受力尸弹
mg机gmgmgmg
示意
00o1。0
图
F弹向下或等二F零尸弹向下、等于零或向上
力学V2V2
mg+Z7弹mg±F弟=〃斥
方程
尸弹=0
0=0
临界Omi,
即F向=0
特征
F弹=吗
即vmin=y/gR
(1)最高点,若。力迎k,F弹+〃%=加元,(1)当。=0时、F弹=mg,F弹背离圆心
讨论v2
(2)当时,mg—F婵=〃%,尸弹背
分析绳或轨道对球产生弹力F含
⑵若v<yfgR离圆心并随。的增大而减小
(3)当0=/无时,尸弹=0
,则不能到达最高点,即到达最高点前v2
(4)当/还时,mg+尸弹=〃r后,F弹指向
小球己经脱离了圆轨道
圆心并随V的增大而增大
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程;
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两处速度关系:
(3)注意:求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛顿第三定律求出压力.
【例1】如图所示,一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道,小球先进入圆轨道1,再进入圆轨
道2,圆轨道1的半径为R,圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍,小球的质量为m,若小球恰好能通过轨道
2的最局点B,则小球在轨道1上经过其最高点4时对轨道的压力大小为(重力加速度为g)()
B.3mgC.4mgD.5mg
【例2】(2022•山东枣庄八中月考)如图,轻杆长2/,中点装在水平轴。上,两端分别固定着小球A和bA
球质量为相,8球质量为2重力加速度为g,两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动.
—'J
'电(1)若A球在最高点时,杆的A端恰好不受力,求此时8球的速度大小;
(2)若2球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度,求此时。轴的受力大小、方向:
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中,能否出现。轴不受力的情况?若不能,请说明理由;若能,求出此时A、
8球的速度大小.
【例3】(2022•山西吕梁模拟汝口图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为上
小球半径为r,则下列说法正确的是()
小球通过最高点时的最小速度Vmin=、g(R+r)B.小球通过最高点时的最小速
度vmin=0
C.小球在水平线他以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线"以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
【例4】(2022•贵州安顺市网上调研)如图所示,质量为〃?=1.0kg的小球绕。点在竖直平面内沿半径r=0.2
m的圆弧运动.小球运动到最低点时,细线刚好达到所能承受的最大拉力被拉断,小球水平飞出.已知细
线能承受的最大拉力为小球重力的3倍,。点离水平地面的高度〃=1.0m,取重力加速度g=10m/s2.
(2)若细线断裂的瞬间,小球同时受到水平向左的恒力F的作用,最终小球恰好落在地面上的A点(A点在O
点的正下方),求恒力产的大小.
类型3斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时,设斜面的倾角为仇重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等,解决此类
问题时,可以按以下操作,把问题简化.
【例1】(多选)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面
的固定对称轴以恒定角速度”转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止,物体与
盘面间的动摩擦因数为坐,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面的夹角为30。,g取10m/s2,则
以下说法中正确的是()
I、、S\
…-理产小物体随圆盘做匀速圆周运动时,一定始终受到三个力的作用
B.小物体随圆盘以不同的角速度。做匀速圆周运动时,。越大时,小物体在最高点处受到的摩擦力一定越
大
C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D.”的最大值是1.0rad/s
【例2】.(2022•沈阳东北育才中学模拟汝口图所示,在倾角0=30。的光滑斜面上,长为L的细线一端固定,
另一端连接质量为机的小球,小球在斜面上做圆周运动,4、8分别是圆弧的最高点和最低点,若小球在4、
B点做圆周运动的最小速度分别为%、V8,重力加速度为g,则(
A.w=0B.巾=y[gL
C.VB=%10gLD.VB—y[3gL
【例3】.(2022•河南开封模拟)如图所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,能绕水平固定轴调
节其与水平面所成的倾角.板上一根长为/=0.60m的轻细绳,它的一端系住一质量为〃?的小球P,另一端
固定在板上的。点.当平板的倾角固定为a时,先将轻绳平行于水平轴MN拉直,然后给小球一沿着平板
并与轻绳垂直的初速度W=3.0m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角a的值应在什么范围内?(重力
加速度g取I0m/s2)
题型五竖直面内圆周运动与图像结合问题
[例1]如图甲,小球用不可伸长的轻绳连接绕定点。在竖直面内做圆周运动,小球经过最高点的速度大
小为v,此时绳子拉力大小为广r,拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示,图像中的数据”和力以及重
力加速度g都为己知量,以下说法正确的是()
A.数据。与小球的质量有关
B.数据b与小球的质量无关
C.比值£只与小球的质量有关,与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
【例2】如图所示,一轻杆一端固定在。点,另一端固定一小球,在竖直平面内做半径为R的圆周运动。
小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为尺,小球在最高点的速度大小为v,尺一v2图像如图所示。
下列说法正确的是()°b''
R
A.当地的重力加速度大小为了
B.小球的质量为??
C./=c时,杆对小球弹力方向向上
D.若S=2b,则杆对小球弹力大小为2a
【例3】(多选)(2022•湖北重点中学模拟)如图甲所示,小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上,绕圆心。点
做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时,圆环与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,
其Rv2图象如图乙所示,g取10m/s2,则()
v2/(m/s)2
A.小球的质量为4kg
B.固定圆环的半径R为0.8m
C.小球在最高点的速度为4m/s时,小球受圆环的弹力大小为20N,方向向上
D.若小球恰好做圆周运动,则其承受的最大弹力为100N
【题后感悟】
1.清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律,列出正确的物理方程。
2.对一次函数要非常熟练,会用会画。
3.熟练地将数学和物理结合起来,用图像法来解决物理问题。
【数理思想与模型建构】
1.数理思想是基于物理现象的数学模型,利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。
2.模型建构
(1)轻绳模型:①心^^时绳子的弹力F—irr^—mg,方向竖直向下
②丫=病时绳子的弹力为零,是安全通过最高点的临界条件
(2)轻杆模型
①丫>4还时轻杆对物体的弹力F—nr^—mg,方向竖直向下
②丫=病时轻杆对物体的弹力为零,是物体所受弹力方向变化的临界速度。③我时轻杆对物体的弹力
FN=mg—nr^,方向竖直向上。
【思维建构】
1.根据物理现象列出物理方程。如例1:用+,咫=产。
2.根据物理方程整理成函数关系。如例1:Fr=%2fg。
3.将物理方程与一次函数相对应。如例1:Fj=^-mg^&y=kx+b.
4.根据函数思想对应物理图像分析求解。
专题09圆周运动常考模型
目录
题型一圆周运动中的运动学分析................................................................14
题型二水平面内的圆周运动....................................................................15
类型1圆锥摆模型.........................................................................16
类型2生活中的圆周运动...................................................................18
题型三竖直面内的圆周运动....................................................................19
题型四圆周运动中的临界极值问题..............................................................19
类型1水平面内圆周运动的临界问题........................................................19
类型2竖直面内的圆周运动的临界问题.....................................................21
类型3斜面上圆周运动的临界问题.........................................................23
题型五竖直面内圆周运动与图像结合问题24
题型一圆周运动中的运动学分析
【解题指导】1.对公式丫=。厂的理解
当口一定时,u与r成正比.
当^一定时,口与「成反比.
2
2.对如=3=。2厂的理解
在V—定时,On与r成反比;在<0一定时,"n与r成正比.
3.常见的传动方式及特点
(1)皮带传动:如图甲、乙所示,皮带与两轮之间无相对滑动时,两轮边缘线速度大小相等,即町=如
0A@X^)B
甲乙(2)摩擦传动和齿轮传动:如图甲、乙所示,两轮边缘接触,接触
点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等,即“=也
甲乙(3)同轴转动:如图所示,绕同一转轴转动的物体,角速度相同,如=
COB,由U=5知丫与r成正比.
【例11游乐场的旋转木马是小朋友们非常喜欢的游玩项目。如图7所示,一小孩坐在旋转
木马上,绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动,圆周运动的半径为3.0m,小孩旋转5周用时1min,则下
列说法正确的是()
Li7T
"一,A.小孩做圆周运动的角速度为§rad/s
B.小孩做圆周运动的线速度为2jim/s
C.小孩在1min内通过的路程为157tm
D.小孩做圆周运动的向心加速度为令2m*
【答案】D
【解析】小孩做圆周运动的周期7=(=12s,则角速度为S=空=rad/s,A错误;线速
度为v=tj^=2向s,B错误;在1min内通过的路程5=〃-2兀厂=30兀m,C错误;向心加速度为4尸(02,.=狐
m/s2,D正确。
【例2】(2022•河北衡水中学模拟)穿梭于大街小巷的共享单车解决了人们出行的“最后一公里”问题。单车的
传动装置如图所示,链轮的齿数为38,飞轮的齿数为16,后轮直径为660mm。已知齿轮的齿数比等于半
径比,若小明以5m/s匀速骑行,则脚踩踏板的角速度约为()
踏板H轮A.3.2rad/sB,6.4rad/s
C.12.6rad/sD.18.0rad/s
【答案】B
【解析】飞轮和后轮角速度如相等,链轮和飞轮的边缘线速度u相等,链轮和踏板角速度g相等,可得
6.4rad/s,故B正确,A、C>D错误。
N2K
【例3】(2022•资阳诊断)如图所示,水平放置的两个用相同材料制成的轮P和。靠摩擦传动,两轮的半径R:r
=2:I.当主动轮。匀速转动时,在。轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在。轮边缘上,此时。轮转动
的角速度为助,木块的向心加速度为为,若改变转速,把小木块放在P轮边缘也恰能静止,此时。轮转动
的角速度为①2,木块的向心加速度为。2,贝|J(
A.=
692
D-
。22
【答案1C
【解析】:根据题述,0=3%联立解得在小木块放在尸轮边缘也恰能静止,〃g=,R=
2赤由频=3〃联立解得震=当,选项A、B错误;叫=〃a所艰”选项C正确,D错误•
题型二水平面内的圆周运动
【解题指导】1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力
的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置.
(2)分析物体的受力情况,所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
3.几种典型运动模型
运动模型向心力的来源图示运动模型向心力的来源图示
飞机水平转丁
圆锥摆
弯lz
mgmg
I
火车转弯飞车走壁w
mg、
\
\\
mg
汽车在..
水平路水平转台
//汽车
面转弯✓/
«*E
4方法技巧:求解圆周运动问题必须进行的三类分析,
几何分析目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析目的是通过力的合成与分解,表示出物体做圆周运动时:外界所提供的向心力
类型1圆锥摆模型
I.如图所示,向心力/向二团8妗!!9=irr^=marr,且r=£sin土解得v=ylgLtan0sin0,庐
2.稳定状态下,9角越大,对应的角速度"和线速度v就越大,小球受到的拉力尸=言器
和运动所需向心力也越大.
【例1】(2022•辽宁六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、力均在水平面内做圆锥摆运动.如图甲所示,
其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长);如图乙所示,小球C、力在不同水平面
内做圆锥摆运动,但是连接C、。的绳与竖直方向之间的夹角相同(连接。球的绳较长),则下列说法错误的
A.小球A、B角速度相等
B.小球4、B线速度大小相同
C.小球C、。向心加速度大小相同
D.小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【答案】B
【解析】对题图甲4、B分析:设绳与竖直方向的夹角为仇小球的质量为,“,小球A、8到悬点。的竖
直距离为/?,则,”gtan,=2©n仇解得。=^^=\自,所以小球A、8的角速度相等,线速度大小
不相同,故A正确,B错误;对题图乙C、力分析:设绳与竖直方向的夹角为仇小球的质量为,小绳长为
L,绳上拉力为后,则有,"gtanF?cos得a=gtan。,下丁=点),所以小球C、£>向心加速度
大小相同,小球C、。受到绳的拉力大小也相同,故C、D正确.【例2】(2022•安徽合肥一中段考)如图所
示,一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端固定在金属块。上,。放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面
匕小球在某一水平面内做匀速圆周运动,现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动,而金属块Q
始终静止在桌面上的同一位置,则改变高度后与原来相比较,下面的判断中正确的是()
Q
A.细线所受的拉力不变
B.小球P运动的线速度变大
C.小球产运动的周期不变
D.。受到桌面的静摩擦力变小
【答案】B
【解析】设细线与竖直方向的夹角为以细线的拉力大小为F,细线的长度为A,P球做匀速圆周运动时,
由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图
f----------"n
✓/
✓✓
✓✓
\r
mg则有:F=晨/mglan。=加8%sin仇"?gtan:=..§;口夕'得线速度-=dgLlanJsin仇角速
度3=\/最7,使小球改到一个更高的水平面上做匀速圆周运动时'J增大,cos,减小,sin0、tan。增
大,则得到细线拉力尸增大,角速度3增大,线速度v增大,根据公式丁=§可得周期减小,故B正确,
CO
A、C错误;对。球,由平衡条件得知,。受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小,故静摩擦力增大,D
错误.
【例3].如图所示,质量相等的甲、乙两个小球,在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动,甲在
乙的上方.则()
可球甲的角速度一定大于球乙的角速度
VA.
B.球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C.球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期D.球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】B
【解析】对小球受力分析,小球受到重力和支持力,它们的合力提供向心力,设支持力与竖直方向夹角
为仇根据牛顿第二定律有/ngtan8=m^=mRa>2,解得v=y/gRtan9,球甲的轨迹半径大,
则球甲的角速度一定小于球乙的角速度,球甲的线速度一定大于球乙的线速度,故A错误,B正确;根据T
W,因为球中的角速度一定小于球乙的角速度,则球中的运动周期一定大于球乙的运动周期,故C错误;
因为支持力心=舞,结合牛顿第三定律,球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力,故D错误.
【例4】如图所示,质量均为〃?的〃、6两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来,使小球。在竖直平面
内来回摆动,小球b在水平面内做匀速圆周运动,连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳
子偏离竖直方向的最大夹角都为仇重力加速度为g,则下列说法正确的是()
B.〃、。两小球圆周运动的半径之比为tan夕
C.6小球受到的绳子拉力为磊
D.。小球运动到最高点时受到的绳子拉力为普
【答案】C
【解析】小球“速度变化,只有在最低点时所受合外力充当向心力,而小球8做匀速圆周运动,所受合
外力充当向心力,故A错误;由几何关系可知,〃、人两小球圆周运动的半径之比为总》,故B错误;根据
矢量三角形可得与cos6=mg,即凡故C正确;。小球到达最高点时速度为零,将重力正交分解有
Fa=mgcos0,故D错误.
类型2生活中的圆周运动
【例2】(2022•哈尔滨师大附中期中)在高速公路的拐弯处,通常路面都是外高内低.如图所示,在某路段汽
车向左拐弯,司机左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是做半径为R的在水平面内的圆周
运动.如图,设内外路面高度差为〃,路基的水平宽度为小路面的宽度为L已知重力加速度为g.要使车轮
与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零,则汽车转弯时的车速应等于()
mg根据牛顿第二定律,得rnglan8=忐又由数学知识得到tan8=%联立解得产
故B选项正确.
【例2】(2022•河南洛阳名校联考)在室内自行车比赛中,运动员以速度v在倾角为。的赛道上做匀速圆周运
动.已知运动员的质量为机,做圆周运动的半径为凡重力加速度为g,则下列说法正确的是
)
将运动员和自行车看作一个整体,整体受重力、支持力、摩擦力和向心力
B.运动员受到的合力大小为〃做圆周运动的向心力大小也是,“I
C.运动员做圆周运动的角速度为vR
D.如果运动员减速,运动员将做离心运动
【答案】:B
【解析】:向心力是整体所受力的合力,选项A错误;做匀速圆周运动的物体,合力提供向心力,选项B正
确;运动员做圆周运动的角速度为。=会选项C错误;只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运动
的向心力时,运动员才做离心运动,选项D错误.(2022•山东大学附中质检)如图所示,粗糙水平圆盘上,
质量相等的A、8两物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动,则下列说法正确的是
)
物块A、8的运动属于匀变速曲线运动
B.B的向心力是A的向心力的2倍
C.盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B先滑动,则B与A之间的动摩擦因数〃八小于盘与B之间的动摩擦因数〃8
【答案1C
【解析】:A、8做匀速圆周运动,加速度方向不断变化,属于非匀变速曲线运动,选项A错误;根据耳=
mr(^,因为两物块的角速度大小相等,转动半径相等,质量相等,则向心力相等,选项B错误;对A、B
整体分析,力=2卯r/,对A分析,有:力=,“疗,知盘对B的摩擦力是8对A的摩擦力的2倍,选项C正
确.对A、B整体分析,HB-2mg=2nircol,解得/罩,对A分析,fiAmg—mra>l,解得“A=邛,
若8先滑动,可知B先达到临界角速度,可知8的临界角速度较小,即选项D错误.
题型三竖直面内的圆周运动
如图所示为凹形桥模型.当汽车通过凹形桥的最低点时,
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