2023年高考数学三轮冲刺演练06导数大题基础练（解析版）

【一专三练】专题06导数大题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2022秋•浙江绍兴•高三校考阶段练习)己知函数=-4x+4.

⑴求函数f(x)在x=3处的切线方程；

(2)求函数f(x)在［0,3］上的最大值与最小值.

2.(2022秋•山西晋中•高三校考阶段练习)己知函数/(x)=Hn_r+gx2-(a+l)xm£R且

«*0).

⑴当。<0时，求函数“力的极值;

⑵当a>0时，求函数”力零点的个数.

3.(2022秋•河北•高三校联考阶段练习)设/(X)为函数/(x)的导函数，已知

f(x)=x+f'(0)cos2x+a(aGR),且/(x)的图像经过点(0,2).

⑴求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程；

(2)求函数"X)在［0,句上的单调区间.

4.(2022秋•湖北襄阳•高三校考阶段练习)己知函数/(x)=X3-ox)aeR,且

/'⑴=1.求：

⑴。的值及曲线y=〃x)在点处的切线方程；

(2)函数/(力在区间［0,2］上的最大值.

5.(2022秋•广东揭阳•高三统考阶段练习)己知函数/(x)=；Y-21nx-x

(1)求函数f(x)在x=l处的切线方程；

(2)求函数/⑺在［1,4］上的最小值.

6.(2022•浙江•高三专题练习)设函数/(x)=ar—2—lnx(aeR).

⑴若f(x)在点(ej(e))处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值；

(2)求/(x)的单调区间.

7.(2022秋•江苏镇江•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=gx2-2alnx+(a-2)x.

(1)当a=T时,求函数Ax)的单调区间;

(2)是否存在实数。，使函数g(x)=/(x)-奴在(0,+co)上单调递增？若存在，求出。的

取值范围；若不存在，请说明理由.

8.(2022秋•江苏苏州•高三统考期中)给定函数/(x)=(x+l)e'.

(1)判断函数f(x)的单调性，并求出/(X)的极值；

(2)画出函数f(x)的大致图象；

(3)求出方程〃x)=a(aeR)的解的个数

9.(2022秋•江苏淮安•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=(x-2)e、a.

(1)求函数〃x)的单调区间；

⑵若/(x)No恒成立，求”的取值范围.

10.(2022秋•江苏•高三校联考阶段练习)已知函数"x)=cosx-x2.

⑴设g(x)=r(x),求g(x)在区间;，兀上的最值；

⑵讨论“X)的零点个数.

11.(2022秋•黑龙江大庆•高三铁人中学校考开学考试)己知函数/(X)=丁-+3"+C

在x=O处取得极大值1.

⑴求函数y=〃x)的图象在x=-i处的切线方程；

⑵求过点(L-1)与曲线y=“X)相切的直线方程.

12.(2022秋•安徽安庆•高三校考阶段练习)己知函数/(x)=(x+l)e",(k为常数，&*0).

⑴当％=1时，求函数/(x)的极值；

⑵若函数/(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数上的取值范围.

13.(2022秋•安徽•高三校联考阶段练习)己知函数/(x)=ln上+(a-*)x-Y.

aa

⑴若a<0,讨论八x)的单调性;

2

⑵若Vxe(0,+oo)J(x)<are*+(a----l)x-x2,求实数。的取值范围.

a

14.(2022秋•重庆江北•高三校考阶段练习)设函数“力=^+依2+反，“X)在x=l处

的切线方程为y=4x-3.

(1)求实数a,b的值;

(2)求函数f(x)在上的单调区间和最值.

15.(2022秋•辽宁葫芦岛•高三校联考阶段练习)已知函数/(力=加-12/+1.

(1)讨论/(X)的单调性；

⑵当。=1时，求“X)在［-1,1］上的最大值与最小值.

16.(2022秋•河北衡水•高三河北深州市中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=--xi+x2+3x+1.

(1)求/(X)的单调区间及极值；

⑵求“X)在区间［0,6］上的最值.

17.(2022秋•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习)已知函数/(x)=ax2-(a+2)x+\nx.

(1)若尸⑴=0,求。的值；

(2)若求证：当xe［l,e］时，f(x)W0,其中e为自然对数的底数.

18.(2022秋•福建莆田•高三莆田第二十五中学校考期中)已知函数

/(x)=x-sinx-cosx.

⑴求曲线y=/(x)在x=0处的切线方程；

⑵当xw［0,2初时,求函数Ax)的最值.

19.(2022秋•山东蒲泽•高三统考期末)设函数./.(耳=/+8/匚

⑴求曲线y=〃x)在点弓"(/)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

⑵求函数〃x)在区间［0,句上的最大值和最小值.

20.(2022秋•江苏常州•高三校考阶段练习)已知函数/仁)=依+/?+85》3/?€1<),若

“X)在点(oj(o))处的切线方程为y=gx+2.

⑴求f(x)的解析式；

⑵求函数f(x)在［0,20上的极值.

21.(2022秋•山东济宁•高三校考阶段练习)已知/(x)=x+(,且/(2)=1

X

(1)求实数Z的值；

(2)判断此函数的奇偶性并证明；

(3)判断此函数在(0，+8)的单调性(无需证明).

22.(2022秋•山东临沂•高三统考期中)已知函数/(x)=ae*+6sinx-2x,曲线y=/(x)

在点(0J(0))处的切线为y=L

⑴求a,b;

(2)求，(x)的最小值.

23.(2022秋•山东•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=e'g-(x+l).

⑴求函数y=/(x)在点处的切线方程:

(2)证明：函数y=/(X)在(-1,0］上有且仅有一个零点.

24.(2022秋•湖北•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=o?+7/.

(1)讨论f(x)的单调性.

(2)当4=1时，试问曲线y习'(X)是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求

切点的横坐标；若不存在，请说明理由.

25.(2022秋•湖北省直辖县级单位•高三校考阶段练习)已知函数/(X)=X3-X2-X+I.

(1)求y=f(x)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间与极值.

26.(2022秋•湖南常德•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=l-orcosx(aHO).

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程；

7T

(2)求函数/(x)在0,—的最小值.

27.(2022秋•湖南衡阳•高三校考期中)设函数/.(x)=odnx+b,"0.

(1)若曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=2x+l,求4,6；

(2)求函数f(x)的单调区间.

28.(2022秋广东佛山•高三顺德一中校考阶段练习)已知函数/(力=四*(》-2)(亦0).

(1)求的单调区间；

(2)当a=—1时，求函数gab/aHv-zx的极值.

29.(2022秋•广东梅州•高三大埔县虎山中学校考阶段练习)已知函数/(x)=lnx-红

x+\

(1)判断函数/(x)的零点个数；

4+〃

(2)设g(x)=/Q)——-+2(67GR),若玉，々是函数g(x)的两个极值点，求实数。

X+1

的取值范围.

30.(2023秋•辽宁•高三校联考期末)已知函数

/（x）=sinx—ln（x+l）,g（x）=cosx—x—（兀—x+l）ln（兀-x+l）+兀+l.证明：

⑴存在唯一工0€6,兀），使/⑷=0；

⑵存在唯一Xi］。,?，使g（%）=0且对（1）中的%,有/+占〈兀.

（参考数据：兀=3.14,ln2=0.693）

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

【一专三练】专题06导数大题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2022秋•浙江绍兴高三校考阶段练习)已知函数f(x)=；xJ4x+4.

⑴求函数〃x)在x=3处的切线方程；

⑵求函数〃x)在［0,3］上的最大值与最小值.

【答案】⑴-4

4

(2)最大值为4，最小值为-§

【分析】(1)根据导函数在x=3的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.

(2)根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由〃X)=$3-4X+4得/。)=%2-4.，/13)=5又〃3)=1,所以函数

/(x)在x=3处的切线方程为:y-l=5(x—3),即y=5x—14

(2)由»)=7-4,令71'(x)=f-4X),解得》<一2或r>2

令/'(x)=x2_4<0,解得-2a<2,所以〃x)在(0,2)匕单调递减，在(2,3)上单调递增.

所以当x=2时,“力最小，且最小值为f(2)=―：,,/(O)=4.43)=1,

故最大值为.f(0)=4

2.(2022秋•山西晋中•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=Hnx+gx2-g+i)x(4£R且

。#0).

⑴当”<0时，求函数的极值；

(2)当。>0时，求函数f(x)零点的个数.

【答案】(1)有极小值-无极大值

(2)零点个数为1

【分析】(1)求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值;

2923_年蔓天数樊重点专题三轮冲刺演练

(2)利用函数的导数，通过对参数”分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数.

【详解】(1)解：由题意得：

令1f(x)=O,得x=l或x="(舍去)，

当0<x<l时，r(x)<0,函数单调递减；

当了>1时，函数单调递增；

所以函数,“X)有极小值=无极大值.

(2)由(1)得广(x)=/二1)!上").因为a>0,

①若0<a<l,当0<x<a时，,%x)>0,函数单调递增；

当avx<l时，r(x)<0,函数单调递减；

当x>l时，/")>0,函数单调递增；

所以/(x)有极大值〃a)=aln“+ga2-(a+i)a=a[]na-；a-l]<0,

极小值f(l)=-a—；<0,又f(2a+2)=Hn(2a+2)>0,

所以函数f(x)有1个零点.

②若a=l,则((力=三丫..0,所以函数“可单调递增，

此时"1)=一5<0，/(24+2)=痴(2。+2)>0,所以函数“X)有1个零点.

③若。>1,当0<x<l时，用x)>0,函数单调递增；

当l<x<a时，r(x)<0,函数单调递减；

当x>a时，/^x)>0,函数单调递增；

所以“X)有极大值八l)=-a-g<0,显然极小值〃。)<0，

乂〃2a+2)=aln(2a+2)>0,所以函数/(x)有1个零点.

综上所述，当。>0时，函数f(x)的零点个数为1.

3.(2022秋•河北•高三校联考阶段练习)设/'(X)为函数f(x)的导函数，已知

f(x)=x+f'(0)cos2x+a(aeR),且f(x)的图像经过点(0,2).

⑴求曲线)，=八M在点(0,7(0))处的切线方程；

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

（2）求函数/（x）在［0,网上的单调区间.

【答案】（i）x-y+2=o

（2）单调递增区间为°，自卜口（||，£兀571

；单调递减区间为

【分析】（1）求导，计算/'（0）得到切线斜率，点斜式求切线方程.

（2）求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.

（1）

f(x)=x+/'(0)cos2x+a(aGR),则f\x)=1-2/,(0)sin2x,得f'(0)=1.

由题意f(0)=2,可得曲线y=f(x)在点(0J(0))处的切线方程为y—2=x,即

x-y+2=Q.

(2)

由已知得f(0)=/'(0)+a=2.

又由(1)知/(0)=1,所以”=1.

故/(x)=x+cos2x+1.

f'（x）=l-2sin2x,xe［0,n］,

由广（x）＞0,得04x＜3,或善兀；由尸（x）＜0,得崔.

故/5）在［0,泪上的单调递增区间为卜，卷）和（号，无］;单调递减区间为（A，号）

4.（2022秋•湖北襄阳•高三校考阶段练习）已知函数/（x）=/一以2,aeR）且

r（i）=i.求：

⑴。的值及曲线y=/（x）在点（ij（i））处的切线方程;

⑵函数/（X）在区间［0,2］上的最大值.

【答案】（I）y=x-1

⑵4

【分析】（1）先求导，求出参数。，然后根据点斜式写出直线方程.

（2）先求导，然后根据导数研究函数的最值.

【详解】（1）Qf（x^^-ax2

（X）=3X2-2OV

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

-f(1)=3—2a=：l,解得：a=l

故〃x)=d—/，/⑴=。

曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的斜率为k=l,切线方程y-/⑴=k(x-l)

即y=x-i

(2)由(1)可知：/(x)=x3-x2,/(X)=3X2-2X

令/(力=3/—2x=0,解得占=0,%=；

故当xe［0,.时，f'(x)<0,所以〃x)单调递减；

当xeg,2］时，/(x)>0,所以“X)单调递增；

“X)区间［0,2］内，当x=2时取最大值，最大值为/⑵=4

5.(2022秋•广东揭阳•高三统考阶段练习)已知函数/(x)=；d-21nx-x

(1)求函数,f(x)在x=l处的切线方程；

(2)求函数Ax)在［1,4］上的最小值.

【答案】⑴4x+2y-3=0；(2)/«„.„=-2In2.

【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)求导分析f(x)的单调性，再求区间内的最小值即可

【详解】(1)=21nl—1=—g

二切点为f'(x)=x~~［

.-./(I)=1-2-1=-2

，切线方程为：y+；=-2(x—1)

故函数”力在x=1处的切线方程4x+2y—3=0

(2)f\x)=x---1=(X-2)(%+1)(x>0)

XX

令r（“）=o

."=2或％=—1（舍）

X[152）2（2,4]

小)——0+

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

最小值

fM递减递增

-21n2

•,•/Wmin=/(2)=-21n2

6.(2022•浙江•高三专题练习)设函数/(x)=or-2-lnx(aeR).

⑴若〃x)在点(ej(e))处的切线为x-ey+b=O,求a,b的值；

⑵求/(x)的单调区间.

?

【答案】(1)。=—，b=-2e：

e

(2)答案见解析.

【分析】(1)已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的

导数值为切线斜率.

(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0,求解析，即可得到答案.

【详解】(1)/(力=依一2-m山7€/?)的定义域为(0,+8),r(x)=a-1,

因为/(x)在点(eJ⑻)处的切线为x-ey+6=0,

所以r(e)=a—』=L所以a=2；所以“e)=-l

eee

把点代入x_ey+6=0得：b=-2t.

9

即a,b的值为：a=—,b=—2e.

e

(2)由(I)知：/'(x)=a—J=^l(x>0).

①当a40时，_f(x)<0在(O,+8)上恒成立，所以〃x)在(O，+8)单调递减；

②当a>0时，令/'(x)=O,解得：x=~.

列表得:

1

X/

r(x)-0+

y=/(x)单调递减极小值单调递增

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

所以，a>o时，“X)的递减区间为单增区间为(：，+8).

综上所述：当“40时，〃x)在(。，+8)单调递减；

当a>0时，/(X)的递减区间为(0，：),单增区间为(J+8)

【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处

的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.

7.(2022秋•江苏镇江•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=gV-2alnx+(a-2)x.

(1)当。=一1时、求函数/(x)的单调区间；

(2)是否存在实数。，使函数g(x)=/(x)-办在(0,+8)上单调递增？若存在，求出a的

取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(I)增区间为(0,1),(2,—),减区间为(1,2)；(2)存在，ae1-8,.

【分析】(1)将a=T代入，求出函数的定义域以及导函数，利用导数与函数的单调性

之间的即可求解.

(2)由题意可得g'(x)=/'(x)-a=x-2-220恒成立，分离参数可得a41(x-1)?-[

x22

恒成立，令S(X)=g(X-l)2-；,利用导数求出姒力的最小值即可求解.

【详解】解：(1)当a=T时，

八1O

/(x)=-x2+21nx-3x(x>0),

贝f'(x)=x+--3=7一版+2=(Dd)

XXX

当0<x<l或x>2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当l<x<2时，/'(x)<0,f(x)单调递减.

・••/(x)的单调递增区间为(0,D,(2,+oo),单调递减区间为(1,2).

(2)假设存在实数a,使g(x)=/(x)-ar在(0,+8)上是增函数，

则g'(x)=/'(x)-a=x—«-220恒成立，

X

即厂―“20在(0,位)上恒成立，

X

.•“2-2》-24之0在(。，+8)上恒成立，

a4如2-2x)=；(x-1)2一；恒成立.

1,|

22

2923一年葛天数奖重点专题三轮冲刺演练

工€(0,+8)的最小值为-^.

,当44-；时，g'(X)NO恒成立.

又当“=-〈时，g，(x)=Ul,

2x

当且仅当％=1时，g'(x)=O.

故当ae(-00,一；时，

g(X)=/。)-6在(0,+00)上单调递增.

8.(2022秋•江苏苏州•高三统考期中)给定函数/(x)=(x+l)e”.

(1)判断函数f(x)的单调性，并求出/(X)的极值；

(2)画出函数的大致图象；

(3)求出方程f(x)=a(aeR)的解的个数

【答案】⑴单调递增区间为(-2,+«>)；单调递减区间为(-―2)，极小值，〃-2)=-1；

e

(2)答案见详解；(3)当a<-g■时，解为0个：当•=或时，解为1个；当

—^<。<0时，解为2个

【分析】(1)求出导函数/'(X)，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.

(2)由函数的单调性、极值即可作出图象.

(3)利用数形结合法即可求解.

【详解】(1)由〃x)=(x+l)e*,定义域为R

f'[x)=ex+(x+l)eA=(x+2)ev,

令/qx)>0,即x>-2,

令r(x)=0,即x=-2,

令/'(x)<0,即x<—2,

所以函数的单调递增区间为(-2,+8)；

单调递减区间为(3,-2),x=-2为极小值点，

所以函数的极小值为-2)=-4.

(2)函数Ax)的大致图象，如图所示:

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

(3)方程解的个数等价于y=于y=a的交点个数.

作出/(X)与y=a的图象，

当“=或a20时，方程/(X)=a(aeR)的解为1个；

当^<a<0时，，方程/(x)=a(aeR)的解为2个；

e-

9.(2022秋•江苏淮安•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=(x-2)e，+a.

(1)求函数，(x)的单调区间；

⑵若/(x)2O恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)函数“X)单调递减区间为单调递增区间为(1,钟):

(2)[e,+8).

【分析】(1)求导根据导函数正负得到单调区间；

(2)由题可知/(劝丽》0,进而可得-e+aNO,即得.

(1)

f(x)=(x-2)er+a,

/'(x)=(x-l)e\

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

令/(》)=0,解得：x=i,

所以xe(9,l),/'(x)<0,函数f(x)在(-00,1)上单调递减，XG(1,+OO),/,(X)>0,函数

/(x)在(1,—)上单调递增，

即函数“X)单调递减区间为(7』)，单调递增区间为(I,”)；

(2)

由题可知f(x)而“》0,

由(1)可知，当x=l时，函数有最小值/⑴=Y+a,

/.-e+«>0,BP>e,

故a的取值范围为6+e).

10.(2022秋•江苏•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=cosx-x2.

⑴设g(x)=/'(x)，求g(x)在区间:，兀上的最值；

⑵讨论f(x)的零点个数.

【答案】(1)最大值为-二-也，最小值为-2兀

22

(2)/(x)在R上有两个零点

【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在［0,+8)上的单调性，并用

零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解.

【详解】(1)因为g(x)=./(x)=-2x-sinx,/(x)=-2-cosir<0,

所以g(x)在区间:，兀上单调递减，

所以当x=：时，g(x)取最大值｛：)=4_冬

当x=i时,g(x)取最小值g(兀)=-2兀.

(2)先讨论“X)在［0,+向上的零点个数，

由(1)可知，广(司在(0,也)上递减，r(x)<r(o)=o,

所以/(X)在(0,+8)上递减，因为/(0)=1>0,/(斗一目<0,

2923一年葛天数奖重点专题三轮冲刺演练

所以“X)在[0,+8)上有唯一零点，

又因为/(-x)=cos(-x)-(-x)2=co&r-x2=/(x),

所以/(X)是偶函数，所以/(X)在R上有两个零点.

11.(2022秋•黑龙江大庆•高三铁人中学校考开学考试)已知函数/(x)=V-+3法+c

在x=0处取得极大值1.

⑴求函数y=/(x)的图象在X=-1处的切线方程；

(2)求过点(1,-1)与曲线y=“X)相切的直线方程.

【答案】(l)"-y+6=0

(2)3x+.y-2=0

【分析】(1)根据题意结合导数与极值的关系求8C,再根据导数的几何意义求切线方

程；(2)先设切点坐标，根据导数的儿何意义求切线方程，根据题意列式求解与,进而

可得结果.

【详解】(1)f(x)=x3-3x2+3hx+c,则/(x)=3f-6x+3b,

|7'(0)=36=0仿=()

由题意可得,解得〈,,

/⑼=C=1[c=l

BP/(X)=X3-3X2+1,//(X)=3X2-6X,

令附x)>。，解得x>2或x<0,

故/(x)在(T),0),(2,E)上单调递增，在(0,2)上单调递减，则/(%)在x=0处取得极大

值1,

即b=0,c=l符合题意.

•.•/(-l)=-3，r(-l)=9.则切点坐标为(-1,-3),切线斜率A=9,

函数y=/(x)的图象在尸一1处的切线方程为y+3=9(x+l),即9x-y+6=0.

(2)由(1)可得：/(X)=X3-3X2+1,/,(X)=3X2-6X,

设切点坐标为(x°，X-3^+1),切线斜率&=3年-6x。，

则切线方程为N-(片-3x；+1)=(3片-6x0)(x-x0),

•••切线过点。,-1),则一1-(芯一3片+1)=(3石一6引(17°),整理得优一1)3=0,即%=1,

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

,切线方程为y+l=—3(X—1),即3x+y-2=().

12.(2022秋•安徽安庆•高三校考阶段练习)已知函数/(X)=(x+1)*,(k为常数，%*0).

(1)当％=1时,求函数/(x)的极值；

(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数人的取值范围.

【答案】⑴极小值无极大值；

e-

⑵一;,0卜(0,+8).

【分析】(1)利用导数判断了(X)的单调性，根据单调性即可求得函数极值；

(2)根据/'。)20在区间(0,1)上恒成立，列出不等式，求解即可；

【详解】(1)当％=1时，函数/(x)=(x+l)e\f\x)=(x+2)ex,

令ra)=o,解得尸―2.

令八x)>0,解得X>-2,.•.函数/(x)在区间(-2,+8)上单调递增;

令((x)<0,解得x<-2,.•・函数/(x)在区间(-8,-2)上单调递减.

.•.当广一2时，函数/㈤取得极小值，/(一2)=-5，无极大值.

e

(2)由题可得尸(x)=(依+k+l)e",因为函数f(x)在区间(0』)匕是单调增函数,

所以f\x)20在区间(0,1)上恒成立，但是f(x)不恒等于0.

g(x)=fcr+&+120在区间(0,1)上恒成立，但是不恒等于0.

[e(0)>01

，m>0,即及+12°且2&+1Z0,解得上2—

因此实数%的取值范围是一；,0)u(0,+8).

Or9

13.(2022秋•安徽•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=lnM+(a-*)x-f.

aa

(1)若〃<0,讨论/(x)的单调性；

2

⑵若Vxe(0,+oo)J(x)<are'+(a----l)x-x2,求实数。的取值范围.

a

【答案】(l)f(x)在(―e)上单调递增，在弓,0)上单调递减

(2)IE,+8

2923在高考数嬖重点专题三轮迎刺演练

【分析】（1）先求导，利用导数可得单调性；（2）由题意整理得InA2voxe'-ln（办e'）,令

QT

2

t=axex(t>0),则In<r-ln/,令g（f）=~lnf,利用导数研究最值，可得实数。的取

a2

值范围.

7

【详解】（I）因为火0,由亍Y〉0,得力<0,即八外的定义域为（­，（））.

7v9

因为fM=In—+（4一一）x一X2,

aa

所以122(^--)(^+-)

以''(X)=L+Q_2_2X=---------2-----

xax

因为x<0,a<0,x+~!~<0,

a

所以当工£18,1时，f（x）>0,

当天£仁,0）时，f（x）<0,

所以当〃<0时，/（X）在（-84）上单调递增，在右，。）上单调递减.

2

（2）当xe（0,+8）时，6/>0,/（x）<OXQX+{a----l）x-x2,

2

B[J\n-<axtx-x,所以In—<axo.x-\n(axQx).

a

2

令，=axex(t>0),贝ijIn——In，，

1t-\

令gQ)=f-hu,则g，⑺=1一：=7,

所以当rw(0,l)时,g'Q)<0,当，6当+oo)时,g'Q)>0,

所以g（。在（0,1）上单调递减，在（1,一）上单调递增,

所以Vf>0,g«)2g⑴=1,

2

即>0,axex-ln(orev)>1,所以In—<1,

所以2<e,乂a>0,所以a>P,

aVe

所以实数。的取值范围是

14.（2022秋•重庆江北•高三校考阶段练习）设函数/（x）=f+c£+bx,f（x）在x=l处

的切线方程为y=4x-3.

⑴求实数4，人的值；

（2）求函数f（x）在上的单调区间和最值.

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

【答案】⑴"；

(2)单调递增区间为,单调递减区间为-1,1Y最大值为1,最小值为

【分析】(1)由题意先求f(x)的导函数，利用导数的几何意义和切点的性质，建立

的方程求解即可.

(2)求f(x)的导函数，确定函数的单调性，即可求函数在上的最值.

(1)

因为f(x)=d+62+版,所以/'(x)=3x2+2or+Z>,

r(l)=2a+%+3=4

又f(x)的图象在X=1处的切线方程为y=4x-3,所以<

/(l)=l+a+Z>=4-3

a=1,

解得

b=-\.

(2)

由(1)可知，/(x)=3x2+2x-l=(3x-l)(x+l)»

则当xeT，\时，r(x)<0;当时，.盟x)>0,

故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为T,；)

又止1)=1,〃1)=1吗=一(,

所以/(X)在［-1,1］上的最大值为1,最小值为

15.(2022秋•辽宁葫芦岛•高三校联考阶段练习)已知函数/("=加-12/+1.

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)当。=1时，求/(X)在［-1,1］上的最大值与最小值.

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

⑵最大值为1，最小值为-12.

【分析】(1)对参数”分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可;

(2)根据(1)中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.

【详解】(1)因为/'(x)=3"2-24%=3%(以一8).

2923一年葛天数奖重点专题三轮冲刺演练

当4=0时・，”X)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减；

当”>0时，若/,(x)<0：若xe(-8,0)u(g,+oo［,/<x)>0,

所以/(x)在(0,J)上单调递减，在(y,0),(g,+8)上单调递增；

当a<0时，若无｛-<»，5卜(0,+8),/,(x)<0：若xe(g,0),>0.

所以/(x)在(,o)上单调递增，在,8,£|,(0,+8)上单调递减；

综上所述：当4=0时，/(X)在(y,0)上单调递增，在(0,田)上单调递减；

当4>0时、f(x)在(o,5)上单调递减，在(-8,0),信,+8)上单调递增；

当a<0时，“X)在(g,o)上单调递增，在,双目，(0，y)上单调递减.

(2)当a=l时，由(1)知，/(力在(0』上单调递减，在［一1,0)上单调递增，

所以f。)在［T,1］上的最大值为/(0)=1.

因为〃T)=—12,/(1)=-10,所以f(x)在上的最小值为T2.

综上所述：/(x)的最大值为1,最小值为-12.

16.(2022秋•河北衡水•高三河北深州市中学校考阶段练习)已知函数

/(%)=--^X3+X2+3X+1.

(1)求/(x)的单调区间及极值；

⑵求“X)在区间［0,6］上的最值.

【答案】(1)单调增区间为［-1,3］,单调减区间为(3,-1)和(3,抬)；极小值-：；极大

值10

(2)最大值为10;最小值为-17

【分析】(1)求出函数的导函数，得到尸(x),/(x)的变化表，即可得到函数的单调区

间与极值；

(2)由(1)可得在区间［0,6］上的单调性，求出区间端点值，即可得到函数的最

值；

【详解】(1)解：函数“X)的定义域为R,r(x)=-^+2x+3=-(x-3)(x+l).

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

令/'(x)=O,得户-1或x=3.

当x变化时，/'（x）,/（x）的变化情况如表所示.

XS，T）-1(T3)3(3,网

—0+0—

_2

“X)

单调递减-3单调递增10单调递减

故“X）的单调增区间为［-1,3］,单调减区间为（3,-1）和（3,+8）.

当x=-l时，“X）有极小值=当x=3时，“X）有极大值"3）=10.

⑵解:由（1）可知，“X）在［0,3］上单调递增，在［3,6］上单调递减,所以"x）在［0,6］

上的最大值为"3）=10.

又"0）=1，46）=77,〃6）<〃0）,所以“X）在区间［0,6］上的最小值为/（6）=-17.

17.（2022秋•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习）已知函数/（x）=一5+2）x+lnx.

（1）若（⑴=0,求”的值；

（2）若“21,求证：当xe［l,e］时，f'（x）N0,其中e为自然对数的底数.

【答案】（1）1;（2）证明见解析.

【分析】（1）求出/'（力,根据题意可得2a-（a+2）+l=0,解方程即可求出结果；

（2）求出（（x）,根据不等式的性质即可证出结论.

【详解】（1）因为/（）=0,/'（刈=2以一（。+2）+^,

所以2。一（。+2）+1=0,解得〃=］.

（2）函数f（x）=ax2_（a+2）x+lnx的定义域是（0,+8）,

/r（x）=2«X-（6Z+2）+—,

所以f（x\=2加一（，+2）x+l=（2--1）（依-1）,

XX

当白之1,xc［l,e］时，2x—1>0,ar-l>0,

可得r（x”o.

2923一军高天数樊重点专题三轮冲刺演练

18.(2022秋•福建莆田•高三莆田第二十五中学校考期中)已知函数

/(x)=x—sinx—cosx.

(1)求曲线y=/(x)在x=o处的切线方程；

(2)当X€［0,2K］时，求函数f(x)的最值.

【答案】(I)y=-1

3

⑵f(X)max=/兀+1，=-1

【分析】(1)求导，利用导数即可求解斜率，根据点斜式即可求解切线方程，

(2)利用导数确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由〃x)=x-sinx-co&r,得洋(x)=l-8sx+sinx,

所以，〃0)=TJ'(0)=0.

所以曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为y+l=0,即y=-l.

(2)令/'(x)=l+&sin(x-：)>0,贝因此

--+2lat<x--<—+2lat=>2lat<x<—+2lat,keZ,

4442

由于xe［0,27t］,故xe(0，T兀)，

故函数y=在„兀)上递增，在［式,2兀)上递减，

故/(乩"=|兀+1，fWmin=min{/⑼,〃2兀)}=-1

19.(2022秋•山东荷泽•高三统考期末)设函数f(x)=x2+cos2x.

⑴求曲线y=〃x)在点e"(?)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

⑵求函数f(x)在区间［0,句上的最大值和最小值.

【答案】(1)Q

32

(2)最大值为/+i，最小值为1

【分析】⑴求得/'(x)=2x—sin2x,得到八9=肛八9=!，利用直线的点斜式方

万2

程，求得切线方程为y进而求得三角形的面积；

(2)由/'(x)=2x—sin2x,得至［—(%)=2(1-cos2x)N0,结合#(0)=0,得到/(x)在

2923一年葛天数奖重点专题三轮冲刺演练

［o,句上单调递增，进而求得函数的最值.

(1)

解:由题意，函数

2

则/'(x)=2x-2sinxcosx=2x-sin2x,可得/'弓)=乃jg)=~~，

所以曲线y=/(x)在点弓jg))处的切线方程为

即y=;rx-手，可得直线y=ix-句在x轴，y轴上的截距分别为?，,

.23

所以所求三角形的面积为，xexL=工.

24432

(2)

解：由/,(x)=2x-2sinxcosx=2x-sin2x,

yiijf\x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)>0,所以函数.f'(x)为增函数，

乂因为/(0)=0,所以当xe［0,句时，r(x)>0,

所以函数〃x)在［0,可上单调递增，

所以函数〃x)在区间［0,句匕的最大值为/⑺=病+1,最小值为"0)=1.

即函数f(x)在区间［0,句上的最大值为"+1,最小值为1.

20.(2022秋•江苏常州•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=ax+b+cosMa力eR),若

〃x)在点(0"(0))处的切线方程为y=gx+2.

⑴求的解析式；

⑵求函数〃x)在［0,2可上的极值.

【答案】(l)/(x)=；x+l+cosx

⑵极大值1+上+且，极小值1+亚-3

122122

【分析】(I)根据导数与切线方程的关系列式计算即可：

(2)求出函数的单调区间，根据单调区间确定函数在区间内的极值.

【详解】(1)因为/(工)=亦+6+85%3,1区),所以r(x)=a-sinx,

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

/(0)=z?+cos0=fe+l=2

所以”;

由题意得〈h=l；

f(0)=a-sinO=a=—

故/(X)的解析式为/(x)=gx+l+cosx

(2)由(1)得f(x)=gx+l+cosx,=--sinx,

因为xe[0,2对，当时，尸(同2°，函数f(x)单调递增,

6

当时，r(x)<o,函数〃x)单调递减，

66

当学4x42兀时，r(x)>0,函数〃x)单调递增，

6

故当时，函数取得极大值/1闺=9>1+3季=1+1+冬

故当x=,时•，函数取得极小值/(y)=^xy+1+cosy=1+7f-y-

21.(2022秋•山东济宁•高三校考阶段练习)已知/(x)=x+&,且/(2)=1

X

(1)求实数k的值；

(2)判断此函数的奇偶性并证明；

⑶判断此函数在(0，+8)的单调性(无需证明).

【答案】(1)左=一2

(2)奇函数，证明见解析

(3)单调递增

【分析】(I)由/(2)=1解出A即可；

(2)利用奇偶性的定义判断证明即可：

(3)由导数法判断即可.

(1)

由/(2)=2+4=1,解得&=一2

(2)

〃x)为奇函数.

2

证明：由(1)得f(x)=x-一，则%£(-00,0)50,+°°),

X

22

f{-x)=-x----=—(X——)=-/(%),.•./(X)为奇函数

-XX

2023一年高天数樊重点专题三轮冲刺演练

(3)

2

r(x)=i+4>o,：.f(x)在(0,+«))上单调递增

X

22.(2022秋•山东临沂•高三统考期中)已知函数/(x)=ae*+6sinx-2x,曲线y=f(x)

在点(OJ(O))处的切线为y=L

⑴求4%；

(2)求/(x)的最小值.

[a=1

【答案】⑴一

[0=1

(2)1

【分析】(1)求得〃x)的导数，结合切点，可得。力的方程组，即可得a,b的值；

(2)求出f(x)的解析式，求得导数，令导数为0,求得极值点，讨论当x<0和x>0时

区间的单调性，可得最值.

【详解】(1)解：由己知：r(x)=ae'+Aosx-2

:曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为尸1

f/(0)=l,①=1,

即2=。，

.••尸

[b=\,

(2)由(1)知，/,(x)=ev+co&r-2,

当x<0时

,/ex<1,cosx<1

•••r(x)<o

•••/(x)单调递减.

当x>0时，令g(x)=r(x),则g，(x)=e，一sinr

VeA>l>sinir<l

g'(x)>。，

•••/(力单调递增

2023一年高天数樊重点专题三轮冲