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文档简介
§4.4
几种特殊函数的不定积分一、有理函数的不定积分：1、任意整式h(x)都可分解为若干个一次式和判别式为负的二次式之积.例、x4
+4
=(x4
+4x2
+4)-4x2=(x2
+2)2
-(2x)2=(x2
+2x+2)(x2
-2x+2)nP
(x)Qm
(x)n
<
m.2、称为真分式Q(x)3、任意有理式R(x)可分成整式h(x)与真分式P(x)之和.x4
-
x3
+
x2
+
2x2
+
x
-1例、R(x)==(x2
-2x
+4)
+
-6x
+6x2
+
x
-1(其中p2
-4q
<0,,r
2
-4s
<0)Q(x)则：真分式P(x)=0(
x2
+
px
+
q)l
(
x2
+
rx
+
s)m若Q(
x)
=
b
(
x
-
a)a
(
x
-
b)b4、真分式的性质：+++(
x2
+
px+q)lMlx+Nlx2
+
px+q+
M1x+N1++
++(x-a)aAa(
x-a)2A2A1(x-a)Rm
x+Smx2
+rx+s
(
x2
+rx+s)mR1x+S1+++BbB2(
x
-b
)b(
x
-b
)2B1(
x
-b
)+++
+Q(
x)
P(
x)
=(其中Ai，，Bi；Mi、Ni，，Ri、Si是常数)注1、此称部分分式法：将真分式写成基本分式之和.2、要将Q(x)分解到不能再分为止.3、分法：(1)确定基本分式的个数及形式；
(2)确定常数.4、确定常数：待定系数法；特值法.x2
-5x+6例1、将下列各式写成基本分式之和：1(3)x(x-1)x+1(1)
x+3
=A +
Bx-2
x-3(2)
x
+2
=
A
+(x
-1)2
x-1
(x-1)22A
B
C2
=
+
+x
x-1
(x-1)A
Bx
+C(4)
=
+x(x2
+1)
x x2
+1=
A(x-3)+B(x-2)(x-2)(x-3)B
=
A(x-1)+B(x-1)2=
A(x-3)+B(x-2)(x-2)(x-3)
A(x
-3)
+B(x
-2)
”
x
+3(*)在(*)中分别令x
=2,3得：
B
=6-
A
=5
A
=-5,
B
=6=
A
+
Bx-2
x-3(1)x+3x2
-5x+6=
A(x-1)+B(x-1)2
A(x
-1)
+B
”
x
+2(*)在(*)中分别令x
=1,2得：
A+B
=4B
=3
A
=1,
B
=3B(2)
x
+2
=A +(x
-1)2
x-1
(x-1)2A+2B+2C
=1
A
=1
A
=1,
B
=-1,C
=1A
B
C
A(x-1)2
+Bx(x-1)+Cx=
+
+x
x-1
(x-1)2
=
x(x-1)221(3)x(x-1)
A(x
-1)2
+Bx(x
-1)
+Cx”1(*)在(*)中分别令x
=1,0,2得：
C
=12A+B+C
=2
A
=1,
B
=-1,C
=12A+B-C
=0
A(x2
+1)
+x(Bx+C)
”
x
+1(*)在(*)中分别令x
=0,1,-1得：
A
=1A
Bx
+CA(x2+1)
+x(Bx
+C)x(x2
+1)(4)
x+1
x(x2
+1)
=
x
+
x2
+1
=化为基本分式及整式积分的代数和.5、有理函数R(x)的不定积分：u
+1如：
xudx=
1
xu
+1
+
C(u
„
-1)；adx
=
A(
x
-
a)
(x
-
a)aA d
(
x
-
a)；dxAx
+
Bd(x2
+
px
+
q)x2
+
px
+
q
x2
+
px
+
qdx
=
A1
+
B1
x2
+
px
+
q12p
2dxd(x2
+
px
+
q)+
Bx2
+
px
+
q(x
+
)+
k=
A1
；等.2x
-5x
+6例2、求不定积分：(x
-1)2x(x
-1)22x(x
+1)(1)
x
+3
dx
=
-5
+
6
dxx
-2
x
-3
2dx(2)
x
+2
dx
=
1
3
+
x
-1
(x
-1)
2(3)
1
dx
=
1
-1
1
+
+
dxx
-1
(x
-1)
x(4)
x
+1
dx
=
1+
-x
+1dxx
1+
x2
x-2
x-3=
(
-5
+
6
)dx=-5ln|
x-2|
+6ln|
x-3|
+Cx
-5x+6x+32(1)
dx例2、求不定积分：(x-2)56=ln
|
(x-3)
|
+Cx-2
x-3=-5d(x-2)
+6
d(x-3)
(x-1)x+2
dx2(2)3(x-1)2x-1+
]dx=
[
1=ln|
x-1|
-3(x-1)-1+Cx-1=d
(x-1)
+3
(x
-1)-2
d(x
-1)
x(x-1)1(3)
2
dx]dx1(x-1)2x
x-1=
[1
+
-1
+x-1=ln|
x
|
+(x-1)-1+Cx
x-1=dx
-d(x-1)
-
(x-1)-2
d(x-1)
x(x
+1)x
+1
dx(4)21+x21
-x+1x(
+
)dx=1
x
1
x
1+x2
1+x2-
+
)dx=
(2d
(1+x
)1+x2
dx
1+x2=dx
-
1x
2+
1+x2=ln
|x|
+arctanx
+C二、三角函数有理式的不定积分：A
=
R(sin
x,
cos
x)dx22dt1+t2设t
=tan
x
则：x
=2arctant
dx
=2t
1-t2且sin
x
=
,
cos
x
=1+t2
1+t2万能代换法求A：1+sin
x
+cos
x例3、求不定积分：A
=
dx
=
1
dt
=ln|1+t
|
+C
=
ln
|1+
tan
x
|
+C1+t
22
2t
1-t1+t21+t2A
=1+t21+
+
2
dt2+2t
1
2
dt =22dt1+t2解：令t
=tan
x
则：x
=2arctant
dx
=2t
1-t2且sin
x
=
,
cos
x
=1+t2
1+t2详见：变元积分法中根代换、三角代换、倒代换(1).注：若能用前边所学方法解题则尽量不用本节所讲方法.三、无理函数的不定积分：小结：1、部分分式法求有理函数的不定积分.2、万能代换法求三角函数有理式的不定积分.3、变元代换法求无理函数的不定积分.4、灵活选用所学方法解题.作业4-4：218页(6,8,20,21,24)(1)d
f
(x)dx
=
f
(x)dx(2)dF(x)
=F(x)+C.1、F'(x)=
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