第四讲矢量分析与场论

第四讲矢量分析与场论第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期五积分与微分形式的麦克斯韦方程积分形式微分形式积分形式的麦氏方程反映场在局部区域的平均性质，而微分形式的麦氏方程反映场在空间每一点性质。是什么？·是什么？是什么？第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期五1.矢量分析初步第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期五概念：标量、矢量与场标量：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如温度T、电荷密度。矢量：要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度v、电场强度E。场：如果在空间域上，每一点都存在一确定的物理量A，我们就说：场域上存在由场量A构成的场。如果A是标量，我们就说场域上存在一标量场；如果A是矢量，则说明场域上存在一矢量场。场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间同一点上同时允许存在多种场，或者一种场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。你能列举多少标量、矢量、场？第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量表示及其加法运算矢量可表示成：模单位矢量矢量加法（按四边形法则进行）第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量的点乘和叉乘A·B=B·AAB=-BA第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期五场量的空间位置表示空间位置：（位矢）模直角坐标系中单位矢量之间的关系：场矢量：第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期五A·B与AB计算第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期五算符

是一个矢量。

与一般的矢量不同，它有微分运算功能。

作用于一标量场(x,y,z)可得到一个矢量算符:第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期五算符作用于一矢量场，如果是叉积运算，得到一个新的矢量场作用于一矢量场A(x,y,z)，如果是点乘运算得到一标量场第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期五2.场论初步第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期五等值面、方向导数与梯度梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期五梯度grad=的表达式第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期五标量场梯度的物理意义矢量总之：位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期五充分描述了场空间变化特征标量场的梯度充分描述了标量场在空间变化的特征:

场中任一点（x,y,z）沿任一方向的变化率（即方向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数）的方向就是梯度的方向，最大变化率（即最大方向导数）就是梯度的大小。在任一方向l0

的投影（·l0）就是该方向的变化率（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述标量场随空间变化特性非常好的一个物理量。经过梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量场的通量通量的定义：场矢量A沿有向曲面S的曲面积分。第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量场通量的物理意义如定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则A·ds=Ands；若把A理解为流体的流速，则Ands就表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。对于闭曲面S，取其外侧为正，则表示A从S流出的通量表示？>0时，<0时，=0时，表示有净流量流出，存在流体源表示有净流量流入，存在流体负源表示没有净流量流出，无净流体源第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期五散度divA=·A取一立方体单元，体积为V＝xyz,考虑x方向分量第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期五散度divA第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期五散度定理第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期五拉普拉斯算符2场量梯度的散度拉氏算符2·第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量场A沿有向闭合曲线l的环量矢量场A在闭合线上的线积分定义为A沿l的环量第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期五旋度CurlA环量面密度A沿正l方向的环量与面积S在M点处保持以n为法线方向条件下，以任意方式推向M点时，其极限为：这称为矢量场A在M点处沿n方向的环量面密度，它是一个与方向有关的量。第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期五旋度CurlA的定义与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当n方向与CurlA方向一致时，得到最大环量在密度。第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期五旋度CurlA的计算CBAyz0Dlyz矢量场旋度在一个面积元上的计算第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期五旋度CurlA的计算(1)当矩形ABCD0时，即y,z0,这时Ay，Az近似为常数，则：因此第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期五旋度CurlA的计算(2)同理：第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期五斯托克斯定理有限面积S分解成面元Sn（0），由旋度定义，则有：左边为：右边为：相邻面元交界线上的线积分相互抵消第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量场的分类第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量场的分类(1)第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期五亥姆霍兹定理一个矢量场的性质由激发场的源来确定源有两类：散度源（通量源）旋度源（涡旋源）Q:若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？A:能！这就是亥姆霍兹定理如果在体积V内的矢量场A的散度和旋度已知，在V的边界S上A的值也已知，则在V内任一点A的值能唯一确定。（证明略去）据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个无源场之和。第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期五产生场的源(r,t)、J(r,t)怎么表示？产生场的源(r,t)、J(r,t)或其对应复量(r)、J(r)的表示 体电荷密度 v(r) C/m3

面电荷密度 s(r) C/m2

线电荷密度 l(r) C/m

点电荷 Q C

体电流密度 Jv(r)=v·v A/m2

面电流密度 Js(r)=s·v A/m

线电流密度 Jl(r)=l·v A

半导体中 Jc=ve

v=v

eE=eE（电子导电）

Jc=vh

v=v

hE=hE（空穴导电）BYBY:第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期五矢量运算的几个恒等关系由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算恒等关系：第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期五例题1-9证明：直角坐标系下(A)(·A)-2A解：第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期五例题1-10第三十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期五例题1-10(1)第三十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期五小结、复习复习要点算符既是矢量，又有微分运算功能。作用于一标量场可得到一矢量场。作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场·A，如果进行一矢积运算可得到一矢量A。标量场的梯度grad是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向

grad=矢量场A的散度divA反映矢量场的通量体密度，是