等差数列及前和

等差数列及前和第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。等差数列定义第2项起同一个常数第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五4、数列-3，-2，-1，1，2，3；练一练公差是3不是

公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.注意3、数列1,1,1,1,1；

公差是02、数列6，4，2，0，-2，-4；公差是-2判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出公差1、数列4，7，10，13，16，….第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五如果一个数列是等差数列，它的公差是d，那么…，…，由此可知，等差数列的通项公式为当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五由此得到：（通项公式）分析2：根据等差数列的定义：第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

结论：若一个等差数列，它的首项为，公差是d，那么这个数列的通项公式是：a1、d、n、an中知三求一第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五在等差数列｛an｝中，1）已知a1=2,d=3,n=10,求an解：a10=a1+9d=2+9×3=292）已知a1=3,an=21,d=2,求n解：21=3+(n-1)×2n=103）已知a1=12,a6=27,求d解：a6=a1+5d,即27=12+5dd=34）已知d=-1/3,a7=8,求a1解：a7=a1+6d8=a1+6×(-1/3)∴a1=10练一练第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

例1.

1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？

2）-401是不是等差数列-5,-9,-13······的项？如果是，是第几项？解：1）由题意得，a1=8,d=-3

2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d∴n=100∴-401是这个数列的第100项。∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49-401=-5+(n-1)×(-4)第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五=

即得第二通项公式

∴d=知识延伸：第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意，a5=a1+4da12=a1+11d解之得a1=-2d=3若让求a7，怎样求？即10=a1+4d31=a1+11d第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

1.在等差数列｛an｝中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=0

2.在等差数列｛an｝中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3,a1+3d=7∴a6=a1+5d=1+5×2=11a8=a1+7d=1+7×2=15∴a1=1,d=2巩固练习第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五基础自测1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(

)A．12

B．13

C．14

D．15【答案】B第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(

)A．40 B．42C．43 D．45【答案】B【解析】等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝13，∴2a1＋3d＝13.∴d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝(

)A．9 B．10C．11 D．12【答案】B【解析】由a1＝1，a3＋a5＝14，得公差d＝2，又由n＋n(n－1)＝100得n＝10.第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五4．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝

.第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【答案】4第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

A–a=b-A即例如5如果a，A，b组成了一个等差数列，那么A

叫做a与b的等差中项

等差中项第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…12345678910123456789100●●●●●●●第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五等差数列的图象2（2）数列：7，4，1，-2，…12345678910123456789100●●●●第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…12345678910123456789100●●●●●●●●●●第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五

1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，

a6=a1+5d＞0a7=a1+6d＜0

2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d＜0a11=30+10d≥0∵d∈Z∴d=-4∴-23/5＜d＜-23/6∴-3≤d＜-30/11即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11应用延伸第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五1．(2010重庆卷·文)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(

)A．5

B．6

C．8

D．10【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.在等差数列{an}中，2a5＝a1＋a9＝10，∴a5＝5.故选择A.第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五2．(2009高考山东卷·文)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝

.【答案】13【解析】设公差为d，则由a5＝a2＋6知d＝2，故a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五3．(2011湖南卷·理)设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝

.【答案】25第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五性质3：等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列．即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．

第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五例2设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【分析】解决此类问题有两条思路：一是利用前n项和公式，可以用配方法求最值，也可以用顶点坐标求最值；二是依据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d>0时，一定为递增数列，当d<0时，一定为递减数列，所以当a1>0且d<0时，无穷等差数列的前n项和才有最大值，而最大值是将所有非负项求和；当a1<0且d>0时，无穷等差数列的前n项和才有最小值，其最小值是将所有非正项求和．第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期五第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期五【点评】本题给出了有关数列中最值问题的三种解答思路，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系．第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期五1．(2011江西卷·文)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝(

)A．18

B．20

C．22

D．24【答案】B【解析】因为S10＝S11，所以a11＝0.又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20.故选择B.第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期五2．(2011天津卷·文)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10＝

.【答案】110第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期五3．(2010辽宁卷·文)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝

.【答案】15第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期五4．(2009高考海南卷·理)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m＝

.【答案】10第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期五5．(2011安徽卷·理)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为

.【答案】15【解析】由于三边长构成公差为4的等差数列，故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.由一个内角为120°知其必是最长边x＋4所对的角．由余弦定理得(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0(舍去)或x＝10.∴S△ABC＝×(10－4)×10×sin120°＝15.第三十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期五6.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1