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文档简介

简谐震动简正坐标第一页，共十一页，编辑于2023年，星期五物理背景和固体物理中解决问题的思路：原子的振动——晶格振动在晶体中形成了各种模式的波——简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密顿量之和——这些谐振子的能量量子，称为声子——晶格振动的总体可看作是声子的系综

——用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式——这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的第二页，共十一页，编辑于2023年，星期五§3.1简谐近似和简正坐标

简谐近似——将原子在平衡位置的振动看成简谐振动

（线性近似），并且只考虑最近邻原子之间的相互作用研究对象——由N个质量为m的原子组成的晶体偏离平衡位置的位移矢量原子的瞬时位置：第n个原子的平衡位置（格点位置）3个方向上的分量原子位移宗量第三页，共十一页，编辑于2023年，星期五N个原子的位移矢量N个原子体系的势能函数:（用标量表示）。在平衡位置按泰勒级数展开取平衡位置——不计高阶项系统的势能函数第四页，共十一页，编辑于2023年，星期五系统的哈密顿量系统的势能函数系统的动能函数第五页，共十一页，编辑于2023年，星期五引入简正坐标（

原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来假设存在线性变换（实际上是存在！）系统的哈密顿量：拉格朗日函数：正则动量：第六页，共十一页，编辑于2023年，星期五系统的哈密顿量正则方程——3N个独立的方程简正坐标方程解简正振动——晶体中所有原子参与振动，振动频率相同

振动模——简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动正则动量第七页，共十一页，编辑于2023年，星期五只考察某一个振动模可以看出：1.固体中的原子是一个具有相互作用的多粒子复杂系统，通过引入简正坐标，而将系统简化为3N个相互独立的震动模式。2.之所以能有采取“简谐近似”，或者说之所以“简谐近似”有

效，是因为晶体中原子实际是在平衡位置附近做微小的振动，使得能够进行这种线性的近似！这种“脱耦”的方法在具有相互作用的多粒子体系中十分的常用（处理低激发态时的常用方法）第八页，共十一页，编辑于2023年，星期五正则动量算符系统薛定谔方程相关量子理论第九页，共十一页，编辑于2023年，星期五任意一个简正坐标——谐振子方程能量本征值本征态函数—厄密多项式第十页，共十一页，编辑于2023年，星期五系统能量本征值系统本征态函

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