2022年黑龙江省伊春市宜春万载第一职业技术高级中学高二数学文月考试题含解析

2022年黑龙江省伊春市宜春万载第一职业技术高级中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：由条件概率公式计算即可.详解：，，，则.故选：A.2.下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：常规题型．分析：根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．解答：解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A点评：此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解．考查学生的空间想象能力．3.已知复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，则的值是（）A．2+π B．2+ C．π D．4+4π参考答案：C【考点】定积分．【分析】首先复数为实数，得到a，然后利用定积分的几何意义求值．【解答】解：因为复数z=a+（a﹣2）i（a∈R，i是虚数单位）为实数，所以a=2，所以===π；故选：C4.已知命题R，R，给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题 ④命题“”是假命题,

其中正确的是(

)A.②④

B.②③

C.③④

D.①②③参考答案：B5.（5分）命题“x0∈R，使得x2﹣x＞0”的否定是（）A．x∈R，x2﹣x＞0B．x∈R，x2﹣x≤0C．x0R，使得x2﹣x＜0D．x0R，使得x2﹣x≤0参考答案：B∵命题“x0∈R，使得x2﹣x＞0”是特称命题．∴否定命题为：x∈R，x2﹣x≤0．故选B．6.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（

）A.6

B.7

C.9

D.10参考答案：C略7.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 A．3项

B．4项

C．5项

D．6项参考答案：B略8.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M到y轴的距离是参考答案：D略9.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（

）A.3

B.－2

C.1 D.参考答案：A略10.已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%。某校高一年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次成绩在范围内的学生大约有 A.997

B.972

C.954

D.683人参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m2﹣2tm+2恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：[，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】将问题转化为m2﹣2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．【解答】解：f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的极小值即最小值是f（1）=1；（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以m2﹣2tm+2≤f（x）min=f（1）=1即m2﹣2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，所以，解得t≥，故答案为：[，+∞）．12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为，则双曲线C的离心率为

．参考答案：13.已知抛物线的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，当时，的面积为__________．参考答案：2【分析】过点作，由抛物线定义得，从而根据线段长度关系可得，得到；在中利用正弦定理可求得，进而可知四边形为正方形，得到三角形边长，从而求得面积.【详解】过点作，垂足为，如图所示：由抛物线的定义可知：

为等腰直角三角形，即：在中，由正弦定理得：

，又四边形为正方形，则的面积：本题正确结果：【点睛】本题考查与抛物线有关的三角形面积的求解问题，涉及到抛物线定义、正弦定理等知识的应用，属于常规题型.14.命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是

．参考答案：?x∈R，sinx＞1

【考点】命题的否定．【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时?对应?，≤对应＞．【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“?x∈R，sinx≤1”的否定是：?x∈R，sinx＞1．故答案为：?x∈R，sinx＞1．15.已知函数

参考答案：216.等差数列{an}中，，，则当Sn取最大值时，n的值为__________．参考答案：417.与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是

．参考答案：3x+y+2=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1）则由题意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，故切点为（﹣1，1），代入切线方程y=﹣3x+m可得m=﹣2，故设所求的直线方程为3x+y+2=0．故答案为：3x+y+2=0．【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，函数在某点的导数的几何意义，求出切点的坐标是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，4），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px．（p＞0）．把点P（1，4）代入抛物线方程解得p即可得出；（2）由直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，可得k1+k2=0，化简可得y1+y2=﹣8．再利用直线AB的斜率kAB=即可得出．【解答】解：（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2=2px，（p＞0）．把点（1，4），代入抛物线方程可得：16=2p，则p=8，∴抛物线的方程为：y2=16x；（2）∵直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k1+k2=+=+=+=0，化简可得y1+y2=﹣8，直线AB的斜率kAB====﹣，直线AB的斜率﹣．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.在平面直角坐标系中，的两个顶点的坐标分别为，三个内角满足.（1）若顶点的轨迹为，求曲线的方程；（2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点（其中在的右侧），求四边形面积的最大值.参考答案：解：（1）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理.∵，∴.∵

∴

即.由椭圆定义知，B点轨迹是以C，A为焦点，长半轴长为2，半焦距为，短半轴长为，中心在原点的椭圆（除去左、右顶点）.∴B点的轨迹方程为.（2）易知直线的斜率存在，设，，，即，因为,设点到直线的距离为，则，，，由，，，，.而，，易知，，，时取到，.20.（本题满分12分）如图，已知正四棱柱ABCD-的底面边长为3，侧棱长为4，连结，过A作

,垂足为F，且AF的延长线交于E.

（1）求证：平面AEC；（2）求二面角B-AE-C的的余弦值。参考答案：证明：根据题意，建立空间直角坐标系如图所示，则A(3，0，0),B(3，3，0),C(0，3，0),,（1），

（2）由（1）知，，是平面AEC的一个法向量。又是平面ABE的一个法向量.即二面角B-AE-C的余弦值为21.已知数列{an}的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有2+＜＜2+成立，且a2=4．（1）求a1，a3的值；（2）猜想数列{an}的通项公式，并给出证明．参考答案：考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用已知条件，通过n=1，直接求a1，n=2，求解a3的值；（2）通过数列的前3项，猜想数列{an}的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤证明猜想即可．解答： 解：（1）因为，a2=4当n=1时，由，即有，解得．因为a1为正整数，故a1=1．

…当n=2时，由，解得8＜a3＜10，所以a3=9．

…（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：…下面用数学归纳法证明．1°当n=1，2，3时，由（1）知均成立．…2°假设n=k（k≥3）成立，则，由条件得，所以，…所以

…因为k≥3，，，又，所以．即n=k+1时，也成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，．

…点评：本题考查递推数列的应用，数学归纳法的应用，考查分析问题解决问题的能力．22.如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．（Ⅰ）证明：DQ∥平面CPM；（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小为，求∠BDC的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB的中点E，则EQ∥PC，从而EQ∥平面CPM，由中位线定理得DE∥PM，从而DE∥平面CPM，进而平面DEQ∥平面CPM，由此能证明DQ∥平面CPM．（Ⅱ）法1：推导出AD⊥CM，BD⊥CM，从而CM⊥平面ABD，进而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，由此能求出∠BDC的正切值．法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠BDC的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）取AB的中点E，则，所以EQ∥PC．又EQ?平面CPM，所以EQ∥平面CPM．…又PM是△BDE的中位线，所以DE∥PM，从而DE∥平面CPM．…所以平面DEQ∥平面CPM，…故DQ∥平面CPM．…解：（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，故CM