2022年辽宁省沈阳市沈朝第一高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022年辽宁省沈阳市沈朝第一高级中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，又K是一个常数。已知当K<0或K>4时，只有一个实根；当0<K<4时，有三个相异实根，现给出下列命题：A．和有一个相同的实根B．和有一个相同的实根C．的任一实根大于的任一实根D．的任一实根小于的任一实根。其中错误的命题的个数是（）

A．4

B.3

C.2

D.1

参考答案：知识点：函数的极值B12D解析：由题意可知函数的示意图如图，则函数f(x)的极大值为4，极小值为0，所以当f(a)=4或f(a)=0时对应的f′（a）=0,则A,B正确.f（x）+3=0的实根小于f（x）－1=0的实根，所以C不正确；f（x）+5=0的实根小于f（x）－2=0的实根，所以D正确．故选D【思路点拨】因为函数是一元三次函数，所以是双峰函数，根据题目给出的函数在不同范围内实根的情况，画出函数f（x）的简图，然后借助于图象，逐一分析四个命题即可得到正确答案.2.△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是(

)A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A略3.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A.是偶函数

B.是奇函数

C.

是奇函数

D.是奇函数参考答案：C设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C.4.设函数在其定义域上的取值恒不为，且时，恒有．若且成等差数列，则与的大小关系为（

）

A．

B．

C．

D．不确定参考答案：C略5.已知为的导函数，则的图像是（

）参考答案：A6.已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立（）A．ac（a﹣c）＞0 B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ab＞ac参考答案：C或D．【考点】不等式的基本性质．【分析】c＜a＜b，且ac＜0，可得c＜0＜a＜b．利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵c＜a＜b，且ac＜0，∴c＜0＜a＜b．∴ab＞0＞ac．cb2＜ab2，故选：C或D．7.已知函数f（x）=cos2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，）C．（0，] D．（0，]∪[，]参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos2+sinωx﹣=cosωx+sinωx=sin（ωx+），可得T=≥π，0＜ω≤2，f（x）在区间（π，2π）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得ω∈（0，]∪[，）．故选：B．8.若函数〔e是自然对数的底数)，则此函数在点（）处的切线的倾斜角为（）A.

B.0

C.钝角

D.锐角参考答案：C9.等边三角形ABC的边长为1，，，，那么等于（

）A．3

B．-3

C．

D．参考答案：D．试题分析：由平面向量的数量积的定义知，．故应选D．考点：平面向量的数量积．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案．【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：由正方体的性质得为直角三角形，为正三角形故选：C【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（

）参考答案：B略12.已知P,A,B,C是以O为球心的球面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球的表面积等于______________________。参考答案：答案：

13.阅读右图的程序框图，若输入m=4，n=6，则输出a=

。参考答案：12略14.如果执行右面的流程图，那么输出的

．参考答案：1000015.设点为的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则

.参考答案：6略16.不等式的解集为

．参考答案：17.已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.定义：从一个数列{an}中抽取若干项（不少于三项）按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差（等比）的子数列叫做{an}的等差（等比）子列．（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列{a3n}是数列{an}的等差子列；（2）设等差数列{an}的各项均为整数，公差d≠0，a5=6，若数列a3，a5，a是数列{an}的等比子列，求n1的值；（3）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1，若数列{an}存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，求得an，进而得到a3n，运用等差数列的定义，即可得证；（2）求得公比q=，运用等比数列的中项的性质，可得a=6?，再由等差数列的通项公式，可得n1=5+，讨论d的取值，可得所求值；（3）设数列{a}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，可得|d|=|a1|?|q|?|q﹣1|，讨论|q|＞1，|q|＜1，运用不等式的性质，可得矛盾，进而得到q=﹣1．【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，上式对n=1也成立．则an=2n﹣1．故a3n=2?3n﹣1=6n﹣1，当n≥2时，a3（n+1）﹣a3n=6，故数列{a3n}是数列{an}的等差子列；（2）a3=a5﹣2d=6﹣2d，公比q==，数列a3，a5，a是数列{an}的等比子列，可得a=6?，又a=a5+（n1﹣5）d=6+（n1﹣5）d，则6?=6+（n1﹣5）d，即有n1=5+，由d为非零整数，n1为正整数，可得d=1，n1=8或d=2，n1=11或d=﹣3，n1=6，所以n1的值为6，8，11；（3）公比q的所有取值为﹣1．理由：设数列{a}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，a=a1q，a=a1q，有|a﹣a|=|a1|?|q|?|q﹣1|．当|q|＞1时，|q﹣1|≥|q|﹣1，所以|d|=|a﹣a|≥|a1|?|q|?（|q|﹣1）．取nk＞1+log|q|，所以|a﹣a|＞|d|，即|d|＞|d|，矛盾；当|q|＜1时，|d|=|a1|?|q|?|q﹣1|≤|a1|?|q|?（|q|+1）＜2|a1|?|q|，取nk＞1+log|q|，所以|a﹣a|＜|d|，即|d|＜|d|，矛盾．所以|q|=1，又q≠1，可得q=﹣1．【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查推理分析能力，属于难题和易错题．19.已知，设函数（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的最值并指出此时相应的x的值．参考答案：解：（1）

∴的最小正周期为

由得的单调增区间为

（2）由（1）知又当

略20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知，CD＝4，。（Ⅰ）若，求证：CE⊥平面PDE；

（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A-PDE的侧面积．参考答案：考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）在Rt△DAE中，，，

∴

又AB＝CD＝4，∴BE＝3．

在Rt△EBC中，，∴，∴．

又，∴，即CE⊥DE．

∵PD⊥底面ABCD，CE底面ABCD，

∴PD⊥CE．

∴CE⊥平面PDE．

（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD平面PDE，

∴平面PDE⊥平面ABCD．

如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，

∴AF就是点A到平面PDE的距离，即．

在Rt△DAE中，由AD·AE＝AF·DE，得

，解得AE＝2．

∴，

，

∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，

∵PA平面PAD，∴BA⊥PA．

在Rt△PAE中，AE＝2，，

∴．

∴三棱锥A-PDE的侧面积．

21.如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．22.（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC的中点，AB=3，AC=AA1=4，BC=5．（1）求证：AB⊥A1C；（2）求证：A1B∥平面ADC1；（3）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）在△ABC中，由已知结合勾股定理可得AB⊥AC．再由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，可得AB⊥AA1，然后由线面垂直的判定可得AB⊥平面AA1C，进一步得到AB⊥A1C；（2）设A1C与AC1交于E点，连接ED．由三角形中位线定理可得A1B∥ED，由线面平行的判定可得A1B∥平面ADC1；（3）求出△ABC的面积，直接由棱柱的体积公式求解．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB