2021年湖南省衡阳市 县西渡蒸中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021年湖南省衡阳市县西渡蒸中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，若数列的前项和为，且满足，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：①；②；③；④数列中的最大项为；⑤。其中正确命题的个数是（

）A．5

B．4

C．3

D．1参考答案：C3.某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（）A.10 B.9 C.8 D.7参考答案：B【分析】由题，先根据正态分布的公式求得分数在115以上的概率，即可求得人数.【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，∵P（95≤ξ≤105）=0.32，∴P（ξ≥115）=（1-0.64）=0.18，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9故选：B．【点睛】本题考查了正态分布，熟悉正态分布的性质是解题的关键，属于基础题.4.已知α满足，则cos(+α)cos(－α)=A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上一点，，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．参考答案：D设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以

6.“0<m<l”是“关于x的方程有两个异号实数根”的(A)充分不必要条件（B)必要不充分条件(C)充要条件

（D)既不充分也不必要条件参考答案：A7.在中，内角A，B，C的对边分别为，且，则是(

)

A.钝角三角形

B．直角三角形

C.锐角三角形

D.等边三角形参考答案：A略8.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若，则在正方形内随机取一点，该点恰好在正方形内的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D9.执行如图所示的程序框图，则输出s的值等于（）A．1 B． C．0 D．﹣参考答案：A【考点】程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，得出该程序输出的是计算S的值，分析最后一次循环过程，即可得出结论．【解答】解：执行如图所示的程序框图，得：该程序输出的是计算S的值；当k=0时，满足条件，计算S=cos+cos+cos+cos+cos+cos+cos0=1，当k=﹣1时，不满足条件，输出S=1．故选：A．10.函数的定义域是

A．（0，2）

B．[0，2]

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是等比数列，公比，为的前n项和。记，设为数列的最大项，则=_______．参考答案：【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．D3【答案解析】4

解析：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值．【思路点拨】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式．再根据基本不等式得出n012.若函数在定义域内给定区间[a,b]上存在，满足，则称函数是[a,b]上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如是[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．若函数是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数的取值范围是

.参考答案：(0,2).13.在实数集上定义运算

，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是

参考答案：；根据“零元”的定义，，故14.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1+a22=－3，S5=10，则a9的值是

．参考答案：20设公差为，则由题意可得，，解得，，则．15.已知直线与平行，则的值是

.参考答案：16.A.（几何证明选做题）如图若，，与交于点，且，，则

参考答案：717.若函数在区间是减函数，则的取值范围是

.参考答案：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，，图象与轴交于点（异于原点），在处的切线为，图象与轴交于点且在该点处的切线为，并且与平行.(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)已知实数，求函数的最小值；(Ⅲ)令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即，

…2分∴，

………………3分（2）=………4分令，在时，，∴在单调递增，

…………5分图象的对称轴，抛物线开口向上①当即时，

……………6分②当即时，

…………7分③当即时，

……………8分,所以在区间上单调递增

……9分∴时，①当时，有，，得，同理，…10分∴由的单调性知

、从而有，符合题设.

………………11分②当时，，，由的单调性知，∴，与题设不符………………12分③当时，同理可得，得，与题设不符.

……13分∴综合①、②、③得

…14分19.（本小题满分12分）已知函数sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）将函数图像向右平移个单位得到函数的图像，若，且，求的值．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3（Ⅰ）f(x)=cosx（Ⅱ）（Ⅰ）因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝，则．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得g（）=cos（-）=，==cos（-）=【思路点拨】由周期为2π，所以ω＝1，f（x）为偶函数φ＝，求出解析式。由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得化简得结果。20.某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．参考答案：【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，所以，…（2分）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，即=，解得，…（6分）所以（km）．故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，所以∠ADC=60°，所以△DEF的面积为，又，所以，即ab=3．…（12分）在△ADC中，由余弦定理，得，当且仅当时，取“=”．故灌溉水管EF的最短长度为km．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．21.(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间；（2）记函数的图像为曲线.设点是曲线上不同两点.如果在曲线上存在点使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.参考答案：函数在和上单调递增

。。。。。。。。。。。6分综上所述:⑴当时,函数在上单调递增⑵当时,函数在和上单调递增⑶当时,函数在上单调递增；⑷当时,函数在和上单调递增

………….7分

依题意得：.化简可得：，即=.

….11分

设

()，上式化为：,.

令,.因为,显然，所以在22.（本小题满分12分）已知数列满足条件：（Ⅰ）求证：数列为等比数列；网（Ⅱ）令是数列的前项和，证明