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文档简介

第第页高中数学竞赛的标准教材

一、基础知识

1．指数函数及其性质：形如=a*(a0,a1)的.函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为〔0，+∞〕，当0a1时，=a*是减函数，当a1时，=a*为增函数，它的图象恒过定点〔0，1〕。

2．分数指数幂：。

3．对数函数及其性质：形如=lga*(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为〔0，+∞〕，值域为R，图象过定点〔1，0〕。当0a1，=lga*为减函数，当a1时，=lga*为增函数。

4．对数的性质〔M0,N0〕；

1〕a*=M*=lgnt;aM(a0,a1)；

2〕lgnt;ant;(MN)=lgnt;aM+lgnt;aN；

3〕lgnt;a〔〕=lgnt;aM-lgnt;aN；4〕lgnt;aMn=nlgnt;aM；，

5〕lgnt;a=lgnt;aM；6〕algnt;aM=M;7)lgnt;ab=(a,b,c0,a,c1).

5.函数=*+〔a0〕的单调递增区间是和，单调递减区间为和。〔请读者自己用定义证明〕

6．连续函数的性质：假设ab,f(*)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，那么f(*)=0在〔a,b〕上至少有一个实根。

二、方法与例题

1．构造函数解题。

例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+10.

【证明】设f(*)=(b+c)*+bc+1(*∈(-1,1))，那么f(*)是关于*的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0〔由于-1a1〕.

由于f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，

所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.

例2〔柯西不等式〕假设a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，那么〔〕〔〕≥()2，等号当且仅当存在R，使ant;i=,i=1,2,…,n时成立。

【证明】令f(*)=〔〕*2-2()*+=,

由于0，且对任意*∈R,f(*)≥0，

所以△=4()-4〔〕()≤0.

开展得〔〕()≥()2。

等号成立等价于f(*)=0有实根，即存在，使ant;i=,i=1,2,…,n。

例3设*,∈R+,*+=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值。

【解】u==*+≥*++2

=*++2.

令*=t，那么0t=*≤,设f(t)=t+,0t≤

由于0c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上单调递减。

所以f(t)in=f()=+，所以u≥++2.

当*==时，等号成立.所以u的最小值为++2.

2．指数和对数的运算技巧。

例4设p,q∈R+且满意lg9p=lg12q=lg16(p+q)，求的值。

【解】令lg9p=lg12q=lg16(p+q)=t，那么p=9t,q=12t,p+q=16t，

所以9t+12t=16

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