第十五章分析动力学基础

第十五章分析动力学基础第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期五■

引言■动力学普遍方程■讨论■拉格朗日方程第15章分析动力学基础第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期五＊拓宽研究领域矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学■引言经典动力学发展的两个方面：＊寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学建立分析力学的新体系。该体系组成之一即拉格朗日力学牛顿运动定律由单个自由质点

受约束质点和质点系。欧拉将牛顿运动定律刚体和理想流。第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期五■动力学普遍方程★动力学普遍方程★应用举例

第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期五考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有主动力约束力惯性力令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为★

动力学普遍方程利用理想约束条件得到——动力学普遍方程（达朗贝尔－拉格朗日方程）任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称达朗贝尔－拉格朗日原理(d'Alembert–Lagrangeprinciple)。第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期五动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程★

动力学普遍方程适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有有势力（或无势力）的系统。动力学普遍方程：适用于具有理想约束或双面约束的系统；第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期五＊达朗贝尔－拉格朗日方程主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。＊应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。★应用举例＊由于达朗贝尔－拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。＊应用达朗贝尔－拉格朗日方程时，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期五例题1BACllllO1x1y1离心调速器已知：m1－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；－O1y1轴的旋转角速度。求：－的关系。★应用举例第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期五CllllO1xyAB

解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标q=1、分析运动、确定惯性力球A、B绕

y轴等速转动；重锤静止不动。球A、B的惯性力为FIBFIAm1

gm1

gm2

g2、给系统有一虚位移

。A、B、C

三处的虚位移分别为rA、rB、rCrBrArC3、应用达朗贝尔－拉格朗日方程第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期五CllllO1xyABm1

gm1

gm2

grBrArC

根据几何关系，有FIBFIA第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期五例题2xOyC2D质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar。C1ACB★应用举例第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期五xOyC2DC1ACB解：1、分析运动三棱柱作平动，加速度为a1。a1圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae=a1；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。aear22、施加惯性力m1gm2gFI1FI2eFI2rMI23、确定虚位移xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2x考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期五xOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2x4、应用达朗贝尔－拉格朗日方程求解联立方程，得：第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期五■拉格朗日方程★拉格朗日关系式★

拉格朗日方程★拉格朗日方程的有势力形式★拉格朗日方程的应用第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期五考察由n个质点组成的系统，系统具有s个理想的、且为完整的约束，系统的广义坐标数为N=3n-s。第i个质点的位矢为★拉格朗日关系式第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期五对任意一个广义坐标qa求偏导数如果将位矢对任意一个广义坐标qa求偏导数，再对时间求导数，则得到★拉格朗日关系式比较上两式：＝——第二个拉格朗日关系式位矢ri对qj的偏导数与位矢ri对时间t的全导数运算可以互换(微分记号互换)第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期五由达朗贝尔－拉格朗日方程★拉格朗日关系式广义主动力FQj广义惯性力FIj第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期五广义主动力FQj广义惯性力FIj引入动能函数——达朗贝尔－拉格朗日方程的广义坐标形式对于只具有完整约束的系统，由于qj

的独立性，qj

(j=1,2,…,N)得到此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程[Lagrangeequation(ofthesecondkind)]。第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期五如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力★拉格朗日方程的有势力形式引入拉格朗日函数L＝T－V得到主动力为有势力的拉格朗日方程第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期五对于只具有完整约束、自由度为N的系统，可以得到由N个拉格朗日方程组成的方程组。应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：○

首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。○

其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。○按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。○将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。★拉格朗日方程的应用第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期五例题3xOxl0AB质量为m、长度为l的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动。A端的小圆轮与刚度系数为k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为l0。求：系统的运动微分方程Ck★拉格朗日方程的应用第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期五xOxl0ABCk

解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x,),x坐标的原点取在弹簧原长的下方。3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为AB杆的动能速度vC的确定第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期五xOxl0ABCk系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O点为共同的势能零点：拉格朗日函数4、应用拉格朗日方程运动微分方程第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期五第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期五BAk例题4Or0均质杆OA，重量为W，长度为l绕O作定轴转动。重量同为W的滑块B套在OA杆上，可在OB杆上滑动。刚度系数为k、不计质量的弹簧，两端分别与A、B相连。弹簧未变形时，OB＝r0。

求：系统的运动微分方程(摩擦忽略不计)★拉格朗日方程的应用第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期五BAkr0B'ArO

解：1、系统的约束为完整约束，且主动力有势。2、系统的自由度N＝2。取广义坐标q=(r,

)。3、确定系统的动能和势能：WFWF零势能取弹簧原长及水平线。应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期五例题5★拉格朗日方程的应用图示系统中，物块A与球B看成两个质点，质量分别为,用质量不计的长为l的杆相连。水平面光滑，求系统的运动微分方程。第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期五解：系统受理想约束，主动力(重力)有势。系统有二自由度，选为广义坐标。代入拉氏方程系统运动微分方程第二十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期五适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有有势力（或无势力）的系统。动力学普遍方程：适用于具有理想约束或双面约束的系统；■讨论※第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。第二十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期五※

第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。基本形式主动力有势形式主动力包含有势力和非有势力形式(j=1,2,…,N)(j=1,2,…,N)(j=