第四章 影响线

第四章影响线1第一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五本章讨论：静定结构的影响线。主要内容有：

1、影响线的概念、影响线与内力图的区别；2、静力法作静定结构的影响线，影响函数的意义；3、机动法作静定结构的影响线的原理、步骤(概念要清楚、作影响线要快速)；4、影响线的应用：两个方面(1)确定固定荷载下结构的各种量值(内力、反力)；(2)确定移动荷载的最不利位置。

5、了解简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩。2第二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五前面各章讨论的荷载都是固定荷载，荷载作用点的位置是固定不变的。但是有些结构要承受移动荷载，荷载作用点在结构上是移动的。本章着重讨论结构在移动荷载作用下的内力计算问题。这个问题具有结构内力随荷载的移动而变化的特点，为此需要研究内力的变化范围和变化规律。§4-1影响线的基本概念3第三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五设计时必须以内力的最大值作为设计依据，为此需要确定荷载的最不利位置，即使结构某个内力或支座反力达到最大值的荷载位置。即：1、主要讨论移动荷载下静定结构的内力变化(变化范围、变化规律)和内力计算问题。2、确定荷载的最不利位置(使结构某个内力或支座反力达到最大值的荷载位置)。4第四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五一、移动荷载荷载可以按照不同的方法进行分类，下面给出按特征进行分类的结果：移动荷载荷载按作用时间恒载(固定)活载可动荷载(占任意位置)简例：工业厂房中，吊车梁受吊车轮压的作用。5第五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五FPFPdlABFRAFRB

计算简图：当吊车移动时，各轮压的大小、方向及轮压间距d不变。吊车右移时：支座反力FRA、FRB

和梁上各截面的内力(M、FQ)随荷载的移动而发生变化。

当梁上有两组荷载移动时，梁的受力情况将更复杂。6第六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五

移动荷载：荷载的大小、方向一定，但荷载位置连续变化的荷载。

移动荷载有时也是连续的，如桥梁上通过的人群和履带车辆等。但是通常是一组互相平行且间距不变的竖向荷载（吊车轮压对吊车梁而言是移动荷载、汽车、火车轮压对桥梁来说也是移动荷载）。

汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大

7第七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。

FP1FP2FP3FP4a1a3a2ba4q在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M、FQ

、FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。8第八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五二、问题的提出结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：1、对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc）当给定的移动荷载在什么位置时得到最大值？即：(1)结构的位移、反力和内力最大值是多少？(2)最大值发生在哪个截面上？(3)荷载(轮压)移动到何位置时上述情况发生？

该问题是求移动荷载的最不利位置问题。9第九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五2、对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个移动荷载FP=110第十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五在结构上移动时结构内力和位移的变化规律。现讨论下图所示简支梁，当单个荷载FP=1在梁上移动时，支座A的反力FRA的变化规律。

FP=1xBAlFRA11第十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数称为FRA的影响系数，用表示，即：上式是反力影响系数与移动荷载位置参数x之间的函数关系，该函数图形就称为反力

FRA的影响线。xyFRA影响线1y(无量纲)12第十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，影响系数的大小。若梁上作用有固定荷载，则根据叠加原理，A支座的反力FRA为：BFP1AFP2xyy1y2FRA影响线113第十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五二、影响线定义

当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时，表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线，称为该量值Z的影响线。量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座反力。影响系数是Z与FP的比例系数，即：14第十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五与Z的量纲不同，它们相差荷载FP的量纲。如FRB的量纲是[力]，则的量纲是[力]/[力]，即无量纲。1、影响线竖标(纵坐标)的含义某量值Z的影响线上任一点的纵坐标表示荷载FP=1作用于此点时该量值的大小（影响系数）。2、影响线的作用(1)求得某量值的最大值；(2)确定该量值的最不利荷载位置。15第十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五3、绘制影响线的规定(1)反力向上为正；(2)弯矩以梁的下侧受拉为正；(3)剪力以使截面所在段顺时针转动为正。(4)正值画在基线(梁轴线)上侧，负值画在下侧。16第十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五§4-2静力法作影响线作影响线的方法有两种：静力法;机动法。本节讨论：静力法静力法：以荷载作用位置x为变量，利用静力平衡方程写出影响函数，作出影响线。17第十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五梁弯矩M的正负号：剪力FQ的正负号：一、内力和支座反力的正负号轴力FN的正负号：竖向反力通常以向上为正，向下为负。18第十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五二、简支梁的影响线FP=1xBAlabC

静力法作影响线：用静力平衡方程求出的函数关系，然后画出函数图形就求得了的影响线。19第十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五1.支座反力影响线FRA影响线1FRB影响线120第二十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五2.弯矩和剪力影响线当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：bBCFP=1xBAlabC分析上式：21第二十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五当FP=1在CB段，取AC段作隔离体：aCA分析上式：FP=1xBAlabC22第二十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五截面C弯矩和剪力影响线如下图示。abMC影响线

FQC影响线

llal23第二十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五由以上可知：

1、作MC的影响线时

①可按的影响线作MC的影响线，

的影响线扩大b倍，的影响线扩大a倍，按x的范围选取。②弯矩MC的影响系数的量纲是[长度]。

abMC影响线

24第二十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五

2、作的影响线时：①可用的影响线画出QC影响线；②AC、BC段上

的影响线互相平行；③影响系数为无量纲量；④的影响系数在作用在C点时无意义（突变正到负）。FQC影响线

llal25第二十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五下面讨论影响线与内力图的区别。xFP=1ACablBDACablBFP=1D影响线

FQC影响线

MC影响线

ydFQC图

内力图

ydMC图26第二十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五1）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位置；内力图中，x是梁截面位置。2）纵坐标y：影响线图中，y是当FP=1在该位置时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的内力值。3）荷载位置：求影响线时，FP=1是移动荷载；内力图中，荷载位置固定。即：MC的影响线：是指定截面C的弯矩MC随FP=1的位置参数x而变化的规律曲线。27第二十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五弯矩图MC：表示的是当FP作用在C点时，不同截面弯矩的分布规律(截面随x而变化)。且作图规定不同：M图画在受拉侧；影响线是在规定使梁下侧受拉时为正，画在梁的上侧，当影响系数的值为负时，画在梁的下侧。MC影响线

ydydMC图28第二十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五竖标的含义：在MC的影响线中：yD

—当FP=1作用在D点时，C截面弯矩MC的影响值。在弯矩图M中：yD

—当FP固定作用在C点时，在D截面产生的弯矩MD的值。下面分析FQC影响线：看其特点。MC影响线

ydydMC图29第二十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五ACBFP=1FQC左=b/lFQC右=-a/l在FQC影响线图中，竖标是当FP=1作用于C截面时，FQC左的值；竖标则是FQC右的值，如下图所示。FQC影响线

llal30第三十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五三、伸臂梁的影响线

作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影响线，然后延伸至悬臂段。1.支座反力影响线作FRA及FRB的影响线如右图示。lFRA影响线

lFRB影响线xFP=1ACablBddED31第三十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五当FP=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)：2.C截面弯矩及剪力影响线

当FP=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：bBCdEa)dADaCb)32第三十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五MC影响线FQC影响线MC及FQC影响线如下图示：3.作FQA右及A左截面内力影响线

先作FQA右影响线。33第三十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五FQA右影响线如下图示。当FP=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)：当FP=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)：A右dDb)lBdEa)A右34第三十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五容易求得FQA左及MA左影响线见下图。小结：伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是简支段图形的延伸。d1MA左影响线FQA左影响线FQA右影响线l伸臂段上某截面内力影响线只在截面到梁端有影响，其余部分上无影响。35第三十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五如图简支梁AB，荷载FP=1在上部纵梁上移动，纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。[作用在纵梁上的荷载通过横梁形成主梁上的荷载（结点荷载）]。求主梁AB某截面内力Z的影响线。四、结点荷载作用下梁的影响线FP=1ACDKxB纵梁横梁主梁36第三十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五由下面的证明可以得出结论：在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加以证明。证明：1）在直接移动荷载作用下，MK的影响线已经画出。当FP=1在截面C或D时，可得（见图a)）MK影响线（直接荷载）AKBa)ydycCD37第三十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五2）在结点荷载作用下，当移动荷载FP=1作用在C﹑D截面之间时，根据叠加原理可得（图b)：dCDKFP=1b)可见，是的一次函数，也是x的一次函数。所以，MK影响线在结点C、D之间是一直线。反力反力38第三十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五MK影响线（结点荷载）ACKDBycydc)结点荷载作用下

MK影响线如下图c)所示：在结点荷载作用下，

FQK影响线如下图所示：FQK影响线ACKDB39第三十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五作结点荷载下影响线的步骤为：1）作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影响线，并确定与各结点对应的竖标。2）确定与各结点对应的竖标，在两结点之间连以直线，就得到结点荷载作用下的影响线。

结论：在结点荷载作用下，主梁中任一截面的内力影响线在相邻两结点间为一直线，且结点处影响线竖标与直接荷载下完全相同。在结点荷载作用下，主梁在相邻结点之间没有外力，因此各截面的剪力都相等，称为结间剪力。40第四十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-2-1

作图示梁在结点荷载作用下的影响线。FP=1ACDxFEd/2d/22d/3ddddd解：d/2d/23d/4MC影响线d/21/3FQC影响线1/31/31/21/241第四十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五5d/6d/35d/12MD影响线FQD影响线1/61/35/62/3FP=1ACDxFEd/2d/22d/3ddddd42第四十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五ME影响线2d/3FQF左影响线1/31/32/31/31/32/3FQF右影响线1/3FP=1ACDxFEd/2d/22d/3dddddF点左侧结间剪力F点右侧结间剪力43第四十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五五、静定平面桁架影响线平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载FP=1通过纵梁﹑横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受结点荷载的情况一样。因此，桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线。求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载FP=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出杆件的轴力即可。44第四十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-2-2

作图示桁架FN1﹑FN2的影响线。FP=1AEFFP=121BCD5dIIh解：1）支座反力FRA﹑FRB的影响线与跨度为5d的简支梁相同。45第四十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五2)

求FN1的影响线（上承）当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：ABCD2d/h3d/h0.9d/hd/hFN1影响线（上承）6d/5h相应简支梁F截面的弯矩。46第四十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五求FN1的影响线（下承）当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：ABEF6d/5hFN1影响线（下承）2d/h3d/h相应简支梁F截面的弯矩。47第四十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五3)

求FN2的影响线（上承）当FP=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：当FP=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：——相应简支梁节间CD的剪力。hd/248第四十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五ABCDFN2影响线(上承)hd/2求FN2的影响线（下承）当FP=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：49第四十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五当FP=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：——相应简支梁节间EF的剪力。ABEFFN2影响线（下承）hd/250第五十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五§4-3机动法作影响线

机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。机动法的优点：

①不需经过计算就能快速绘出影响线的轮廓；②

用来校核静力法作出的影响线。

对于某些问题，用机动法处理特别方便(例如，在确定荷载最不利位置时，往往只需知道影响线的轮廓，而无需求出其数值)。51第五十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解十分简捷。现以下图所示伸臂梁AB的支座反力FRB的影响线为例进行说明。FP=1xl/4l/4lAB实施过程：撤去与FRB相应的约束，代之以反力Z=FRB，使体系成为机构；然后给体系以虚位移Z

；列出虚功方程，获得影响函数；得出影响线。52第五十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五具体步骤：1、撤去与相应的约束，代之以反力，原结构变成具有一个自由度的机构。

2、令该机构产生刚体位移，使与Z方向一致，虚位移图如上图所示；3、列虚功方程：FP=1xAB影响线的轮廓53第五十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五上式中，恒为正；与FP同向为正，反向为负。乘积的正负号由的正负号调整。可见，在图中，令，并将图反号，就求得Z的影响线，并且能确定影响线的正负号(基线以上为正，以下为负)及竖标大小。4、由上式可得:令得到是x的函数是常量，与x无关54第五十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五AB1FRB影响线AB1FRA影响线同理可得FRA的影响线：55第五十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-3-1用机动法求图示伸臂梁MC及FQC的影响线。FP=1ABC2ddddx解：1、作MC的影响线将C截面变为铰接，暴露出弯矩；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与同向，就得到图，见下页图。

56第五十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五虚功方程为:

ABC57第五十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五令则上式表明，在图中，令并反号，就可求得MC影响线。MC影响线2、作FQC的影响线

将C截面改为滑动连结，暴露出剪力；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方向与相同，就得到图，见下页图。58第五十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五虚功方程为:

令则两条线保持平行ABC59第五十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五上式表明，在图中，令并反号，就可求得FQC影响线。FQC影响线CAB（机构图）60第六十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例5-3-2

用机动法作图示静定多跨梁的影响线。xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/2FRA影响线ABD解：1、作FRA的影响线61第六十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五ACDBMB影响线AB是静定部分，无刚体变形2、作MB的影响线xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/262第六十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五FQB左影响线DACB特别注意虚位移图虚位移图B点两侧平行3、作FQB左的影响线xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/263第六十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五xFP=1ABCDl/2l/2l/2l/2FQB右影响线ADBC虚位移图B点两侧平行4、作FQB右的影响线影响线B点两侧平行64第六十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五在书中例4-3中，注意：①比较基本部分和附属部分上内力和反力影响线分布的区别。②求作FQB左和FQB右的影响线时，B点左右切口两侧的梁轴必须保持平行。

(a)HAKBxFP=11mCEFDG3m1m3m1m2m2m1mP图Z

=1HABCEFDGFQB左影响线E11/43/43/23/4HABCEFDG65第六十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五(a)HAKBxFP=11mCEFDG3m1m3m1m2m2m1mP图Z

=1HABCEFDGFQB右的影响线1121HABCEFDG66第六十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五影响线的应用包含两个方面：1、求固定荷载下梁上某个截面的内力和梁的支反力；2、确定移动荷载下某量值的最不利荷载位置，从而求出该量值。§4-4影响线的应用67第六十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五一、求各种固定荷载作用下的影响荷载分为：集中荷载、分布荷载。大家知道：作影响线时，用的是单位荷载。根据叠加原理，可利用影响线求其他荷载作用下产生的总影响。若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠加原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小。68第六十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五如下图示梁截面C弯矩MC的影响线已求出，求固定荷载作用下MC的值。0.253m1mA1m1mB0.750.75MC影响线C下面我们看看在不同类型的固定荷载作用下，如何求结构的内力69第六十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五一组集中荷载：均布荷载：CBqC0.5m2m20kN15kN10kNMC影响线3m1mA1m1mB0.250.750.375C解释70第七十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五(1)集中荷载设有一组集中荷载FP1、FP2、FP3，加于简支梁，位置已知，如图a所示。(a)ablCFP1FP2FP3求：C点的剪力FQC解：①作出FQC的影响线，方法不限；y2y3y1FQC影响线②求出FPi(i＝1、2、3)对应的影响线的竖标值；③利用叠加原理计算得:71第七十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五推广：当有一组集中荷载FP1、FP2、…FPn

作用于结构时，结构某量值Z的影响线在各荷载作用点的竖距值为y1、y2、…yn，则有：(2)分布荷载作用图示简支梁AB段上作用有分布荷载q。求C点的剪力FQC。(a)ablCABqxdx72第七十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五QC影响线dABy(a)ablCABqxdx式中，是影响线图形在受载段AB上的面积。

注意：在受载段影响线的图形有正负号部分时，是i的代数和。即：是q分布范围内的影响线与基线所包围的总面积。73第七十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五(3)集中荷载和均布荷载同时作用在集中荷载和均布荷载同时作用下，结构某量值Z的计算公式为：(4)举例图示结构，求QC、MC的值。CFP=20kNAB1.2m1.2m1.2m1.2m1.2mq=10kN74第七十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五0.60.4y1=0.40.20.2FQC的影响线12+-y1=0.960.720.481.44MC的影响线21+CFP=20kNAB1.2m1.2m1.2m1.2m1.2mq=10kN75第七十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五二、求荷载的最不利位置定义：使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不利荷载位置。1、单个移动荷载作用时CFP0BAk当单个集中荷载在伸臂梁上移动时，求荷载的最不利位置。76第七十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五ymaxymin+-某量值Z的影响线针对k点截面某个量值，求其最不利荷载位置。FP0在k点：Zmax=FP0ymax

FP0在C点：Zmin=FP0yminCFP0BAk由图可知：最不利荷载位置为k处和C处。即：把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得Zmax或Zmin。77第七十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五2、可任意布置的均布荷载C

特点：均布荷载可以是任意位置、任意分布长度(范围)。注意：只对弯矩MC适用，对其他量值不一定是荷载的最不利位置。①求MCmax的荷载位置②求MCmin的荷载位置qq布满影响线的正号部分qqq布满影响线的负号部分－+MC的影响线－78第七十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五对于剪力FQC影响线，将集中力FP放在截面C，见右图，就得到：ABb/la/lFQC影响线C对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分别放在截面C和E，就得到：ADBymaxyminMC影响线CE79第七十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五可任意布置的均布活荷载

可任意布置的均布活荷载通常指人群荷载。在影响线正号部分布满均布活载，可以求得Zmax；在影响线负号部分布满均布活载，可以求得Zmin。q求(MC)

max求(MC)

minqqω1ω3ω2ADBMC影响线CE80第八十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五3、一组移动集中荷载(平行移动荷载)荷载特点：各集中力的大小、方向及相互间的距离均保持不变，作为整体在结构上移动。根据影响线的性质，要确定结构某量值的最不利荷载位置，其原则是：(1)数值大、排列密的集中力放在影响线竖标较大的部位；(2)在最不利荷载位置，必有一个集中荷载作用在影响线的某个顶点上。81第八十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五下面先分别讨论多边形影响线和三角形影响线。为确定最不利荷载位置，通常分两步：1）求出使Z达到极值(Z极大、Z极小)的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置，而且可能不止一个。2）从Z的极大值中选最大值（从Z极大选Zmax），从Z的极小值中选最小值（从Z极小选Zmin），从而确定最不利荷载位置。82第八十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的特点及其判定方法。多边形影响线：FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx83第八十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR3ΔxxΔxΔx在影响线图中，i(1、2、3)有正也有负，α1>0，α2>0，α3<0。84第八十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五

i正负规定：以影响线边顺时针转向水平线为正，反之为负。由上面影响线图可得出:

FRi(FR1、FR2、FR3)为各边区间内荷载合力。FP1FP2FR1FP3FP4FR2FP5FP6FR385第八十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五要寻求Z的极值，即找出对应极值的荷载位置，先考虑荷载移动时Z的变化情况，亦即：Z>0、Z<0、Z=0。

荷载合力的计算应注意：随荷载的移动(影响线顶点的左右)合力FRi应重新计算。是与FRi(FR1、FR2、FR3)对应的影响线竖标值。86第八十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五则Z的增量为：因为是x的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右移动Δx，则竖标的增量为：因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图形。于是ΔZ/Δx是折线图形中各折线段的斜率。对于折线图形，极值发生在使ΔZ/Δx变号的尖点处。87第八十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五xZ+-+00-极大值点xZ-+-00+极小值点若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：当Δx>0，即荷载稍向右移，。当Δx<0，即荷载稍向左移，。条件条件88第八十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五总之，当荷载在Z的极值点(极大或极小)位置稍向左、右移动时，必须变号。

如何使变号？是常数，可以变化的只是FRi。为了使FRi变化，必须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作FPcr，当FPcr位于影响线的顶点以左或以右时，会引起FRi发生变化（左移时计入左边，右移时计入右边）

。

89第八十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五结论：当荷载稍向左、右移动时，变号的必要条件是：有一个集中荷载作用于影响线的顶点。如下图示。FP1FP2FR1FPcrFP4FP5FR2稍向左移90第九十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五FPcrFP1FP2FR1FP4FP5FR2当移动荷载组左右移动时，能使改变符号的荷载FPcr称为临界荷载，相应的移动荷载组的位置称为临界位置。稍向右移91第九十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五在给定的移动荷载组中，能使变号的临界荷载可能不止一个。1)选定一个集中力作为FPcr，使它位于影响线的一个顶点上；2）当FPcr稍作左右移动时，分别计算的值。若变号，则此FPcr即为一临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。用同样的方法可以确定其它的FPcr及相应的荷载临界位置。

确定最不利荷载位置的步骤如下：92第九十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五3)对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不利荷载位置。93第九十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-4-1

如下图多边形影响线及移动荷载组，试求荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m,FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN。FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m30mZ的影响线6m4m8mα1α310.75α294第九十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五2）计算解：1）将FP4放在影响线的最大点，移动荷载组的位置如下图示。Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α295第九十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五若荷载稍向右移，各段荷载合力为：Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m16m4m8mα1α310.750.810.906α296第九十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五若荷载稍向左移，各段荷载合力为：Z的影响线FP1FP2FP3FP4FP5qaaaaaa=1.5m6m3.5m1α26m4m8mα1α310.750.810.9063.5/897第九十七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五因为变号，故FP4为临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。3）计算Z值容易确定只有FP4是临界荷载，所以相应的荷载位置就是最不利荷载位置。98第九十八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五三角形影响线：对于三角形影响线，确定荷载的临界位置比较简便。选一集中力放在Z的影响线顶点，使Z取得极大值的条件为：当荷载稍向右移时，当荷载稍向左移时，FP1FP2FR左FPcrFP4FP5FR右αβabc99第九十九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五上式表明，荷载临界位置的特征是：有一集中荷载FPcr位于影响线的顶点，FPcr计入哪一边，哪一边荷载的平均集度就大。将tgα=c/a及tgβ=-c/b代入上两式：100第一百页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-4-2

求反力FRB的最大值并确定最不利荷载位置。FP1=FP2=478.5kN，FP3=FP4=324.5kN。解：1）FRB的影响线如上图示。2）将FP2当作FPcr放在影响线顶点：FRB的影响线0.12510.7583A6m6mBC0.75mFP1FP2FP3FP45.25m1.45m4.55m0.25m101第一百零一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五所以FP2是临界荷载。FRB的影响线0.1256m6m1ABC0.7583FP1FP2FP3FP45.25m1.45m4.55m0.25m0.75m判别式：有：102第一百零二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五3）将FP3当作FPcr放在影响线顶点：FRB的影响线FP1FP2FP3FP44.55m0.7m1.45m4.8m1.2m0.26m6m1ABC0.7583判别式：所以FP3是临界荷载。103第一百零三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五所以：FP2是放在影响线顶点时，相应的荷载位置为最不利荷载位置。有：比较可知：104第一百零四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-4-3

求MC的最大值及相应的最不利荷载位置，已知q=92kN/m，FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=220kN。a)FP1FP5q18.5m5×1.5m10ABC20m20mMC的影响线105第一百零五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五解：1）将FP5当作FPcr放在影响线顶点，如上页图a)所示。所以FP5不是临界荷载。

2）将均布荷载跨越影响线顶点，使左右两边荷载平均值相等，见下页图b)。判别式：106第一百零六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五上图b)所示荷载位置即为最不利荷载位置。b)FP1FP5q20m5×1.5mx=8.04m4.46m10ABC20m20m3.735.98MC的影响线107第一百零七页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五例4-4-4

求图示均布移动荷载的最不利荷载位置。

解：均布荷载段横跨影响线顶点，若荷载稍向右移动，则CD范围影响线面积增加了yDdx，影响线面积减少了yCdx，如下页图a）所示。ABCDayCyDq108第一百零八页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五所以令即故qABCDayCyDdxdxa)qABCDaaEb)109第一百零九页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五

根据以上讨论，可以用作图法确定最不利荷载位置，如上页图b)所示。另外需要指出，对于剪力影响线，为了确定最不利荷载位置，通常用直观判断并试算即可确定。（见书中例题4-5、4-6或7-4、7-6）110第一百一十页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五§4-5简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩(见下册§11-9)一、简支梁内力包络图的概念

在给定的移动荷载作用下，用上一节讨论的方法可以求得指定截面某内力Z的最大值Zmax或最小值Zmin。在结构设计中，需要求出每个截面在给定移动荷载作用下内力的最大值和最小值。111第一百一十一页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五在给定移动荷载作用下，将各截面内力Z的最大值Zmax连成一条曲线，同样将最小值Zmin也连成一条曲线，这样的图形称为内力包络图。即：连接各截面内力最大值(最大正值和最大负值)的曲线称为内力的包络图。

1、作简支梁内力包络图的步骤为：1）将梁分成若干等分，取等分截面作为求Zmax和Zmin的截面。2）作各等分截面内力Z的影响线。112第一百一十二页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五3）利用上节的方法求各等分截面的Zmax和Zmin，然后把各截面的Zmax或Zmin分别连成曲线，即得简支梁的内力包络图。

2、简支梁剪力包络图：下面以求简支梁第三等分点(分为10等份)截面剪力的最大值和最小值为例进行说明。12m3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN1.5m3.6m113第一百一十三页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五(FQ)max=82(0.7+0.575+0.283-0.0083)=127.07kN求剪力最大值的荷载位置3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN3.4m1.5m0.1m第三等分截面剪力影响线8.4m3.6m0.70.5750.30.2830.008312m3.5m3.5m82kN82kN82kN82kN1.5m3.6m114第一百一十四页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五(FQ)min=-82(0.3+0.0083)=-25.28kN求剪力最小值的荷载位置3.5m82kN82kN0.1m82kN8.4m3.6m0.70.5750.30.2830.0083第三等分截面剪力影响线115第一百一十五页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五简支梁剪力包络图(kN)17915394.31272126541.725.316.48.2017915394.31272126541.725.316.48.20116第一百一十六页，共一百二十九页，编辑于2023年，星期五5.625m6.375m215366465559574578215366465559578简支梁弯矩包络图(kN.m)简支梁弯矩包络图如下图示。用相同的方法可以作出简支梁的弯矩包络图，从左边图可以看出：在一组移动荷载下，简支梁的最大弯矩并不在跨中点。117第一百一十