第四章量纲分析与相似

第四章量纲分析与相似第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五基本量纲（FundamentalDimension）：具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取质量M，长度L、时间T、即[M-L-T]为基本量纲体系。导出量纲（DerivedDimension）:是指由基本量纲导出的量纲。

量纲［A］=L2

［ρ］=ML-3[F]=MLT

-2

第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五量纲公式:某一物理量q的量纲[q］都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示几何学量纲：=0，0，=0运动学量纲：=0，0，0动力学量纲：0，0，0分类第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五二、无量纲量当则［q］=1

无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。特点：(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；(3)在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲量。第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五三、量纲和谐原理

（TheoryofDimensionalHomogeneity）

凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。这称为量纲和谐原理。量纲和谐原理的重要性：

b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。

c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。

a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第二节量纲分析法

一、瑞利法（Rayleigh）

瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。具体分析步骤如下：1、确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；2、写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：3、根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数n不超过4个，待求量纲指数不超过3个。【例4-1】求水泵输出功率的表达式

【例4-2】求圆管层流的流量关系式

（P74）二、布金汉（Buckingham）定理（定理）若某一物理过程包含n个物理量，即

其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）则该物理过程可由n个物理量构成的n－m个无量纲项所表达的关系式来描述，即第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五定理的解题步骤：（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式：（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量，一般取m=3，如q1、q2、q3。在管流中，一般选d，，三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，，。（3）基本变量依次与其余物理量组成π项，即

……（4）满足π为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai,bi,ci（5）整理方程式

第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五选择基本变量的原则：1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲（M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。应用范围：对相关物理量个数n没有限制，应用更为普遍。第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已知0与液体的密度，液体的动力沾滞系数，圆管直径D，管壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。解

f（D、v、、0、、）=0从各独立影响因素中选取D（几何量）、（运动量）、（动力量）为基本量建立（6~3）项：对1：第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五同理求得将各代入得整理得令，则第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五例题：管中紊流，单位管长沿程水头损失hf/L，取决于下列因素：

流速v，管径D，重力g，动力粘度，管壁粗糙高度和密度。

试用定理分析确定方程的一般形式。解：取v，d，为基本变量，则的个数n-m=7-3=4第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五进行量纲分析，则有a1=0，b1=0，c1=0a2=1，b2=1，c2=1a3=

0，b3=

1，c3=

0a4=

2，b4=

-

1，c4=

0即解得：第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第三节相似原理一、流动相似原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五流动相似：若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。模型和原型保证流动相似，应满足：

几何相似

运动相似

动力相似

初始条件和边界条件相似第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五1.几何相似（geometricsimilarity）

指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应的线段长度成比例、夹角相等。

以脚标p表示原型、m表示模型，则有长度比尺面积比尺

体积比尺第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五2.运动相似（kinematicsimilarity）

指原型和模型流体运动的速度场相似，即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小具有同一比值。速度比尺

加速度比尺

第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五3.动力相似（dynamicsimilarity）

指原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。

分别以符号T、G、P、Tw和I代表影响流体运动的作用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则有力的比尺第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五4.初始条件和边界条件相似边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。

对于非恒定流动，还要满足初始条件相似；而对于恒定流动，无需初始条件相似。第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五流动相似的进一步解释：边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动相似的前提与依据；动力相似是决定流体运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是流动相似的目标；凡流动相似的原型与模型流动，必然同时满足几何相似、动力相似和运动相似。第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期五二、动力相似准则

动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持某种固定不变的比例关系。1、雷诺（粘滞力）准则考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系

第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期五无量纲数Re称雷诺数（Reynoldsnumber）

雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘滞力起主要作用时，雷诺数相等。适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的有压流动，如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期五2.弗劳德（重力）准则

考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系弗劳德数（Froudenumber）表征惯性力与重力之比。两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

3.欧拉（压力）准则考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系

欧拉数（Eulernumber）表征压力与惯性力之比。两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳德准则成立时，欧拉准则可自行成立。第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期五4.韦伯（表面张力）准则考虑原型与模型之间表面张力与惯性力的关系

韦伯数（Webernumber）表征惯性力与表面张力之比。两相似流动，表面张力起主要作用时，韦伯数相等。第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期五5.马赫准则（马赫数）高速气流中，考虑原型与模型之间弹性力与惯性力的关系

马赫数（Machnumber）表征惯性力与弹性力之比。两相似流动，弹性力起主要作用时（如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等），马赫数相等。第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期五思考：为什么每个相似准则都要表征惯性力？作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律，流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期五第四节模型实验

建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。一、模型律的选择

为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。（见书上推导）原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为雷诺模型律。原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称为弗劳德模型律。

第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期五模型实验想做到与原型完全流动相似是困难的，一般只能达到近似相似，就是保证对流动起主要作用的力相似，这就是模型律的选择问题。实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾。在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面满足试验要求。第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期五

二、模型设计

步骤：1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定出长度比尺λl；再以选定的比尺缩小原型的几何尺寸，得出模型区的几何边界；2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律；