第四章 杆件的变形计算

第四章杆件的变形计算第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗杆件在轴线方向的伸长纵向应变由胡克定律得到轴向拉压变形公式第一节拉压杆的轴向变形第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五公式的适用条件:

1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律2）在计算杆件的伸长时，l长度内其FN、A、l均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五横向也会发生变形横向应变通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系泊松比泊松比ν、弹性模量E、切变模量G都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例题4-1(教材70页)如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五1）求出轴力，并画出轴力图2）求伸长量mm伸长缩短缩短第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-2节点位移问题(教材70页)如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F=40kN。第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五分析通过节点C的受力分析可以判断AC杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而BC杆将缩短。因此，C节点变形后将位于C3点由于材料力学中的小变形假设，可以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧（以切代弧法），得到交点C0第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五[解]1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）拉压伸长缩短第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五2）求AC和BC杆分别的变形量第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0C点总位移：(此问题若用圆弧精确求解)第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第二节圆轴的扭转变形及相对扭转角在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距为dx的两个相邻截面之间有相对转角dj取单位长度扭转角

用来表示扭转变形的大小单位长度扭转角的单位:rad/m抗扭刚度越大，单位长度扭转角越小第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角j。相对扭转角的单位:rad当为常数时：请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别同种材料阶梯轴扭转时:第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-3一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m，T2=600N·m，T3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五1）根据题意，首先画出扭矩图2）AB段单位长度扭转角：3）BC段单位长度扭转角：综合两段，最大单位长度扭转角应在BC段为0.03978rad/m第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-4图示一等直圆杆，已知d=40mma=400mmG=80GPa,jDB=1°

,求:1)最大切应力;2）jAC第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五1）画出扭矩图2）求最大切应力首先要求出M的数值第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。一、梁的变形第三节梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五

梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿x轴方向的直线变成一条在xy平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。

某截面的竖向位移，称为该截面的挠度

某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角

挠度和转角的大小和截面所处的x方向的位置有关，可以表示为关于x的函数。挠度方程（挠曲线方程）转角方程第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五挠度和转角的正负号规定：在图示的坐标系中，挠度w

向上为正，向下为负。转角规定截面法线与x

轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角q为正。第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五挠度和转角的关系在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五二、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。高等数学中，关于曲率的公式在梁小变形情况下，第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五梁的挠曲线近似微分方程最终可写为第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁EI为常数）再进行一次积分,可得到挠度方程其中，C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。第四节用积分法求梁的弯曲变形第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五边界条件在约束处的转角或挠度可以确定第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五连续条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-5如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角和挠度。第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（1）按照图示坐标系建立弯矩方程

请同学们自己做一下（时间:1分钟）（2）挠曲线近似微分方程（3）积分第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（4）确定积分常数由边界条件代入上面两式（5）列出转角方程和挠曲线方程，将C、D的值代入方程第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（6）求B点的挠度和转角在自由端，x=l第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-6(教材75页例4-5)如图所示，简支梁受集中力F作用，已知EI为常量。试求B端转角和跨中挠度。第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五（1）求约束反力FAFB（2）列出弯矩方程AC段CB段（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五FAFB（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算AC段CB段第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期五FAFB利用边界条件和连续条件确定四个积分常数AC段CB段边界条件:连续条件:由于挠曲线在C点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。即代入上面的式子第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期五FAFB得到转角方程和挠度方程AC段CB段（5）求指定截面处的挠度和转角若第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期五通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材78~79页表4-2计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应。第五节用叠加法求梁的弯曲变形第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-7求图中所示梁跨中点的挠度及A点的转角。已知，梁的抗弯刚度EI为常数。第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期五=+第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-8如图，梁的左半段受到均布载荷q的作用，求B端的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI为常数。第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期五考虑其变形:由于CB段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即C’B’仍为直线。根据几何关系可知：由于在小变形的假设前提下查表:代入上面的计算式第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期五在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。第四十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期五例4-9求图11-4所示外伸梁的C截面的挠度转角EI为常数。第四十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期五怎样应用表4-2中已有的结果？

对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理

首先刚化AB段，这样BC段就可以作为一个悬臂梁来研究，再刚化BC段，由于BC段被刚化，可将作用于BC段的均布载荷简化到B支座，得到一个力和一个力偶