第四章力学量用算符表示与表象变换

第四章力学量用算符表示与表象变换1第一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五线性算符：如果算符Â满足下列条件则算符Â是线性算符2第二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五刻画可观测物理量的算符都是线性算符。（通常）﹟3第三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五这是算符最基本的运算。对于任意的波函数都成立4第四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五5第五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五（4）算符对易讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。若相等,则对易。即比如将要讨论的位置算符6第六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五而因为对任意波函数ψ：那么7第七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五若一力学量有经典对应，可用这个关系导出其对易式。①对易关系的运算性质：8第八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五②角动量算符的对易关系角动量在直角坐标系中的分量表达式

9第九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五其中10第十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：

下面证明与角动量平方有关的一个对易式。11第十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五12第十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五得证。﹟13第十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五③有关角动量的升降算符及其对易关系引进升降算符（希望会证）下面看角动量算符在球坐标中的表示14第十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五在球坐标中，以及利用15第十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五

从而有﹟16第十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五可以理解吗？17第十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五显然得证。（课下证）18第十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五由于又由于所以上述算符方程两边同左乘以所以19第十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五算符的复共轭算符将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。

例动量算符的复共轭算符

（4）转置算符20第二十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五利用内积的定义，有则转置算符的表达式也可以写为即：去掉“~”，换位复共轭。要会转换！一维粒子

三维粒子

其中对体积元：21第二十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五对任意满足标准条件的波函数ψ、φ？22第二十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五（5）厄米共轭算符显然在坐标表象中同样可以证明作业：1.P87练习12.P90练习323第二十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五按照转置算符A的定义，有则有～即～故对任意态ψ和φ，有～但是24第二十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五利用转置的性质，可以证明：下面介绍一个特别重要的算符厄米算符：满足下列关系的算符是厄米算符或所以提示：可以首先证两个算符的关系25第二十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五利用厄米共轭算符的定义式结合上页定义可以得到因此，厄米算符的定义式也可以写为26第二十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五（已经知道）﹟27第二十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五在体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。证明：介绍个定理:﹟28第二十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。证明：存在逆定理:29第二十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五所以即30第三十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五上面两式分别相加减，得满足厄米算符的定义在物理实验中所用的物理量与厄米算符有何关系？31第三十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五因此相应的算符对应于厄米算符物理可观测量要求在任何状态下的平均值为实数即物理可观测量用厄米算符表示。﹟而在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。即厄米算符平方的平均值必是不小于零的数。32第三十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五前面我们介绍了几个算符：复共轭算符厄米共轭算符逆算符转置算符单位算符厄米算符算符都有的属性：单位算符复共轭算符转置算符算符可能有的属性：逆算符厄米共轭算符厄米算符要注意区别使用。33第三十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五（6）算符的函数类似地，可定义算符的函数34第三十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五例：不难看出，利用泰劳展开，有先对算符求n次导数再令算符为0求值35第三十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五两个或多个算符的函数可类似地定义,类似于多元函数﹟作业：p131-1321,2p162336第三十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五§4.2厄米算符的本征值与本征函数

1、本征值与本征函数处于ψ

态中，测量力学量A，可得到各种值，这些值有一定的几率分布。对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向于一个确定的值。见下表：37第三十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五多次测量定义每一次测量结果范围绕平均值的涨落--38第三十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五即由上式得39第三十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五上述方程加上相应的数学和物理要求（边界条件），构成了量子力学的本征值问题，解此问题可得力学量的本征值和本征函数。由此有此时40第四十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五量子力学的又一基本原理：41第四十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五下面介绍两个定理：定理1厄米算符的本征值必为实数（要会证）定理2厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。证明：42第四十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五以上两式相减，得对方程﹟43第四十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2、举例解：这是个定轴转动问题，z为转轴，变量为φ本征值方程为44第四十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解之得利用周期性边界条件45第四十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五所以，相应的本征函数为﹟46第四十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解：与以上问题的区别—这里求的是能量的本征值和本征态考虑绕z轴转动的平面转子(如右图)。式中I为转动惯量。其Hamiltonian为47第四十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五或简写为其正交归一化的解可取为Lz的本征态相应的本征能量为与第一章习题4(p14)结果进行比较。48第四十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五也就是说，能量是二度简并的。发现：平面转子的角动量z分量本征态和能量本征态可具有相同的函数形式。为什么？﹟49第四十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五解：动量的x分量的本征值方程动量的本征值上式改写为其解为50第五十页，共六十一页，编辑于2023年，星期五 若粒子位置不受限制，则可以取一切实数值。归一化的平面波，与连续的本征值相应的波函数所表示的是不能习惯上取则有平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示了出来。51第五十一页，共六十一页，编辑于2023年，星期五在三维情况下，动量算符的本征值方程是动量算符的本征值在直角坐标系中的三个分量px,py和pz均为实数。动量本征值方程的解是为的单色平面波。52第五十二页，共六十一页，编辑于2023年，星期五在量子力学中，平面波代表粒子处在动量一定、在空间各处出现的概率都相同的状态，这是一种理想化的模型。它不能用通常的办法归一化，而是采用函数的形式“归一化”。53第五十三页，共六十一页，编辑于2023年，星期五一维自由粒子的Hamiltonian为或简写为54第五十四页，共六十一页，编辑于2023年，星期五相应的能量本征值为﹟问题：为啥具有相同的本征态？一维粒子动量与能量算符具有相同的本征态发现：有何意义？55第五十五页，共六十一页，编辑于2023年，星期五2、简并度问题如果属于本征值的本征态是即力学量A的本征值方程为在出现简并时，简并态的选择并不是唯一的。则称本征值是重简并的。称fn为简并度。56第五十六页，共六十一页，编辑于2023年，星期五而且一般说这些简并态不一定彼此正交。下面介绍的Schmidt正交化方法就是经常采用的方法。但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加使之彼此正交。57第五十七页，共六十一页，编辑于2023年，星期五58第五十八页，共六十一页，编辑于2023年，星期五对于正交条件取组合59第五十九页，共六十一页，编辑于2023年，星期五尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数彼此正交，不