《高等数学》应用实例

《高等数学》应用18例一、椅子能在不平的地面上放稳吗？二、磁盘的最大存储量三、有趣的Fibonacci数列四、分形几何中的Koch雪花五、工人上班何时效率最高？六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案一、椅子能在不平的地面上放稳吗？要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设：椅子的四条腿长度相等，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线是一个正方形；地面是一个连续曲面，没有象台阶那样的情况；地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图），再以原点为中心旋转椅子，用θ表示旋转的角度，并引入函数f(θ)表示A、C两腿与地面的距离之和，函数g(θ)表示B、D两腿与地面的距离之和,且不妨假设f(θ)、g(θ)都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何θ，有f(θ)g(θ)=0。于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0？回答是肯定的，下面是其证明。不妨假设开始时f(0)>0,g(0)=0，现将椅子旋转900(π/2)，对角线AC与BD互换，由f(0)>0,g(0)=0可知f(π/2)=0,g(π/2)>0。令h(θ)=f(θ)-g(θ)，则h(0)>0，而h(π/2)<0，根据连续函数的介值定理知，必存在θ0(0<θ0<π/2)，使f(θ0)-g(θ0)=0。最后，因为f(θ0)g(θ0)=0，所以f(θ0)=g(θ0)=0。这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。思考：若椅子的四脚的连线是一个长方形，如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳？二、磁盘的最大存储量计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区，磁道指不同半径构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单位，存储一位，称为bit。为了保障分辨率，磁道的宽度必须大于ρt，每bit所占用的磁道长度不小于ρb，为了检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的bit数。现有一张半径为R的磁盘，存储区是半径介于r和R之间的环形区域，试确定r，使磁盘具有最大的存储量。解：由题知，存储量=磁道数×每磁道的bit数，另磁道数最多可达，由于每磁道具有相同的bit数，所以为获得最大的存储量，最内的一条磁道必须装满，即每条磁道上的bit数可达到。于是，总存储量为求B(r)的最大值，计算得驻点故当时磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为。三、有趣的Fibonacci数列有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后也每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且无死亡，试问一年后共有小兔几对？这是意大利数学家Fibonacci在1202年所著“算法之书”中的一个题目。通过简单的推算，我们不难得到每月末的兔子队数为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，即一年末共有兔子233队。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。若记,则此数列满足递推关系：其通项公式为：这最先是由法国数学家Binet（比内）求出的。Fibonacci数列与自然、社会生活中的许多现象都密切相关，比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、树的分支等都与Fibonacci数列有关。为此，美国还专门出版了一份《Fibonacci数列季刊》，以登载它在应用上的新发现及有关理论。思考：有一条n阶楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问登上去共有几种走法？（答案：种）四、分形几何中的Koch雪花所谓Koch雪花，它其实是一种通过递归方式生成的几何图形。设有单位边长的正三角形，如图，则其周长为，面积为。现将每条边三等分，以每条边中间一段为边向外做正三角形，如图，则每条边生成的四条新边的长度之和是原来每条边的长度的倍，同时，生成三个新的三角形，每个的面积为原三角形面积的，故总周长，总面积，依次进行下去，并注意到（1）每一条边生成四条新边，边长变为原来的；（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，面积是以生成前的边为正三角形的面积的，故得到：，，，…，于是五、工人上班何时效率最高？对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8：00开设工作，在t小时之后，生产出个晶体管收音机，问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？解：求这个工人几点钟工作效率最高，就是问早上几点钟这个工人的生产效率取到最大值。那么，现在首先的问题是生产效率如何表示？根据题目的假设，产量是Q(t)，故生产率就是产量的变化率，即生产率函数假定上午班是从早上8：00到中午12：00，则问题就转化为求函数R(t)在区间上的最大值，由得函数的驻点t=3，即在当t=3时工作效率最高，此时时间是上午11：00。六、石油的消耗量近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07，1970年初，消耗率大约为每年161亿桶。设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率，则（亿桶）。试用此式估计从1970年到1990年间石油消耗的总量。解：设T(t)表示从1970年间石油消耗的总量，即求T(20)。由于T(t)是石油消耗的总量，所以就是石油消耗率R(t)，即于是因T(0)=0，故c=-2300得从1970年间石油消耗的总量为：（亿桶）。七、捕鱼成本的计算在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是元，已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需花费多少成本？解：根据题意，当塘中鱼量为x时，捕捞成本函数为假设塘中现有鱼量为A，需要捕捞的鱼量为T。当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中的鱼量为A-x，此时再捕捞公斤鱼所需要的成本为因此，捕捞T公斤鱼所需成本为将已知数据A=10000kg,T=6000kg代入，可计算出总捕捞成本为（元）八、飞出火星火星的半径是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2，若在火星上发射一枚火箭，试问要用怎样的处速度才能摆脱火星的引力？解：设火星的半径为R，质量为M，火箭的质量为m，根据万有引力定律，当火箭离开火星表面距离为x时，它所受的引力为当x=0时，f=mg，因而所以当火箭上升距离为dx时，它克服火星引力所做的功为这就是功的“元素”，故当火箭从火星表面x=0处达到高度x=h时它克服火星引力所做的总功为：当时，，所以初速度必须使动能，火箭才能脱离火星引力。由此得，而g=392cm/s2,R=3430×105cm故注：众所周知，脱离地球引力所需要的速度为11.2km/s，由此看来，如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游应当比从地球上飞去容易得多。九、萃取问题现有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶剂分3次萃取来回收醋酸，问：如何分配苯量，才能使从水溶液中萃取出的醋酸最多？解：设苯的总体积为，水溶液的体积为，溶液中醋酸的初始浓度为，并且我们假定每次萃取时都遵守下列定律：（i=1,2,3）（1）式中为常数，分别表示第i次萃取时苯中的醋酸浓度和水溶液中的醋酸浓度。现将苯的总体积分成三份。对第一次萃取做醋酸的平衡计算，即：醋酸总量=苯中的醋酸量+水溶液中的醋酸量，由醋酸的物料平衡计算，得：（2）将（1）代入（2）有：（3）同理，对第二、三次萃取分别有：（4）（5）由（3）（4）（5）式得：（6）为了在苯一定量时萃取出的醋酸量最多，应为极小值，则只须考虑（6）分母的极大值，为此，设，问题转化为求在条件下的极值问题。由Lagrange乘数法，设：由解得：不难验证，这时取得最大值，从而取得最小值。也不难看出，这个结果是一般性的，即为了使萃取出的物质最多，无论将溶剂分成多少份，每次都应该采用等量的溶剂。十、最优化的产出水平假设某厂生产两种产品，在生产过程中，两种产品的产量是不相关的，但两种产品在生产技术上是相关的，这样，总成本为产量的函数：，且两种产品的边际成本（总成本的偏导）也是的函数：，，经济学中一般总认为产出和销售是一致的，从而总收益也是的函数：。现在的问题是如何确定每种产品的产量，以使厂家获得最大的利润？厂家的利润函数，由极值的必要条件有：这里，称为边际收益（总收益的偏导）。上式说明：厂家要获得最大利润，每种产品的产出水平应使得其边际收益等于边际成本。如：一工厂生产两种产品，其总成本函数，两种产品的需求函数分别为，，其中分别为两种产品的价格。为使工厂获得最大利润，试确定两种产品的产出水平。解：工厂的总收益函数，由有：，解之得：。故当两种产品的产量分别为5和3时，工厂获利最大；最大利润。十一、蚂蚁逃跑问题一长方形的金属板，假定其四个顶点的坐标分别为（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在（0，0）处置一火焰，其使金属板受热，且假定板上任意点处的温度与该点到原点的距离成反比。现在（3，2）处有一蚂蚁，问这只蚂蚁沿何方向爬行才能最快到达较凉快的地方？解：板上任意点处的温度，其中是一个比例常数，温度变化最快的方向实际就是梯度所指的方向，计算可得：，，其单位向量所指方向就是由热变冷最快的方向（其反方向是由冷变热最快）。蚂蚁虽然不懂梯度，但根据它的感觉细胞的反馈信息，它将沿这个方向逃跑。注：借助微分方程的知识，我们还可求出蚂蚁的逃跑路线。十二、资金配置问题设某制造商的Cobb-Douglas生产函数，其中分别表示劳动力和资本，表示产量；若劳动力和资本的单位成本分别为150元和250元，现该制造商的总预算为5万元，问他要如何分配这笔钱来购买劳动力和资本，以使生产量最高？解：这实际是个求函数在条件下的最值问题；设，由有，即该制造商应该雇佣250个劳动力而把其余资金作为资本投入可获得最大产量。十三、家庭教育基金问题从1994年开始，我国逐步实行大学收费制度，各银行也相应地开展了家庭教育基金储蓄。一个小孩从出生开始，其父母每年向银行存入元作为教育基金，若银行的年复利率为，试写出第年后教育基金总额的表达式。假设小孩到18岁进入大学时所需费用为3万元，按年利率10%计算，问其父母每年需向银行存入多少元？解：设年后教育基金总额为，每年向银行存入元，年复利率为，则有递推关系：，即：==代入有：，，对求和有：．现，代入有（元）．即父母每年至少应向银行存入586.40元才能保证小孩在18岁时有3万元的大学费用．十四、分针与时针重合问题在下午1点到2点之间的什么时间，时钟的分针和时针恰好重合？解：从下午1点开始，当分针走到1时，时针走到；当分针走到时，时针又向前走到；依此类推，分针要追上时针需时：．这是一个等比级数，其和为（小时）5分27秒27．即分针与时针重合的时间为下午1点过5分27秒27．十五、证明是无理数解：利用反证法，假设，其中、为整数，借助的Maclaurin级数，令，我们有：将上式两边乘，改写成下列形式：注意到上式的右边是正的，而左边是整数，故左边是正整数．但：右边=<==<不是正整数．从而证明只能是无理数．十六、湖泊的污染问题某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含有A的水量为，留出湖泊的水量为，已知1999年底湖中A的含量为，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过，问至少需要经过多少年，湖泊中污染A的含量降至以内？（注：设湖水中A的浓度是均匀的）分析：本题实为建立湖中污染物含量与时间之间的函数关系。但无法直接得到，而需通过微分方程来求的，那么，应寻找污染物的改变量与时间间隔之间的关系，从而建立微分方程。解：设从2000年初（令此时）开始，第年湖中污染物A的总含量为，浓度为，在在时间间隔内，排入湖中A的量为，流出湖泊的水中A的量为，因而在此时间间隔内湖中污染物A的改变量为此为可分离变量的一阶微分方程，分离变量解的。代入初始条件，得于是令得即至多需要经过年，湖泊中污染物A的含量降至以内。十七、减肥问题减肥的问题实际上是减少体重的问题，假定某人每天的饮食可以产生AJ热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为BJ，用于锻炼所消耗的热量为CJ，为简单计，假定增加（或减少）体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为DJ，求此人体重随时间的变化规律。解：（1）建立微分方程与定解条件，设时刻（单位：（天））的体重为，根据热量平衡原理，在时间内人体热量的改变量=吸收的热量—消耗的热量，即记则得方程设开始减肥时刻为，体重为，于是初值条件为（2）解微分方程，由分离变量法解得方程的通解为代入初值条件可得特解为（3）由上面的结论得如下结论：由于因此，随着时间的增加体重将逐渐趋于常数，又，因此，只要节食，加强锻炼，调节新陈代谢，使体重达到你要所希望的体重是可能的。若，即，则，这就是说，如果吃的越少。摄取的热量仅够维持新陈代谢