高中总复习第一轮数学(新)第三章数列的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。5数列的应用巩固·夯实基础一、自主梳理1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决。2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同。3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比)，其次要弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.二、点击双基1.已知{an｝是递增的数列,且对于任意n∈N*,都有an=n2+λn成立，则实数λ的取值范围是（)A.λ〉0B.λ〈0C.λ=0D.λ〉-3解析：由题意知an〈an+1恒成立，即2n+1+λ>0恒成立，得λ>-3.答案：D2.一个小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下。设它第n次着地时,共经过了anm（n≥2），则有（)A.an=an-1+B。an=an—1+C。an=an-1+D。an=an-1+解析：an=100+50×2+25×2+…+100×（)n-1×2=100+2×=300-200×,∴an-an—1=200（-)==。答案:B3。1993年年底世界人口达到54.8亿,若人口的年平均增长率为x%,2001年年底世界人口数为y（亿),那么y与x的函数关系式是_____________.答案:y=54。8×（1+x%）84.有200根相同的圆钢，将其中一些堆放成横截面为正三角形形状的垛,要求剩余的根数尽可能的少,这时，剩余的圆钢有_______根。解析:垛成公差为1的等差数列，设n行,其和为≤200，即n（n+1）≤400，∴n=19。∴余10根.答案:10诱思·实例点拨【例1】某市2004年底有住房面积1200万平方米,计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5％。（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01)剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题。解：（1)2005年底的住房面积为1200(1+5%）—20=1240（万平方米），2006年底的住房面积为1200(1+5%）2-20(1+5%)—20=1282(万平方米),∴2005年底的住房面积为1240万平方米,2006年底的住房面积为1282万平方米.（2）2024年底的住房面积为1200(1+5％）20-20（1+5％）19-20(1+5%）18—…-20（1+5%）—20=1200(1+5%）20-20×≈2522.64(万平方米),∴2024年底的住房面积约为2522。64万平方米。讲评：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.【例2】某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式,对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下,可以选择以下两种分期付款的方案购车:方案一：分3次付清,购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款.方案二：分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款,…,购买后12个月第12次付款.规定分期付款中每期付款额相同,月利率为0.8％，每月利息按复利计算,即指上月利息要计入下月的本金.（1）试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？(2)若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资，可获月增长2%的收益，为此对一次性付款给予降价p%的优惠,为保证一次性付款经一年后的本金低于方案一和方案二中较少一种的付款总额,且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年的本金,试确定p的取值范围.(注：计算结果保留三位有效数字，参考数据:1。0083≈1。024，1。0084≈1.033,1。00811≈1。092，1.00812≈1.1，1.0211≈1.243,1。0212≈1。268）解：(1)对于方案一,设每次付款额为x1万元，那么一年后,第一次付款的本金为1。0088x1万元,第2次付款的本金为1.0084x1万元,第3次付款的本金为x1万元，则1。0088x1+1.0084x1+x1=10×1.00812.解得x1≈3.63（万元)。付款总额为3×3。63=10。89(万元)。对方案二,设每次付款为x2万元，那一年后，第一次付款的本金为1。00811x2万元，第2次付款的本金为1.00810x2万元，…,第12次付款的本金为x2万元.则1.00811x2+1.00810x2+…+1.008x2+x2=10×1。00812。解得x2≈0.88（万元），付款总额为12×0.88=10.56(万元)。显然,第二种方案付款总额较少.（2）如果降低p％的售车款为10(1-p％),那么一年后产生的本金为10(1-p％）×1。00812，而转入再投资所产生的本金为10（1-p％)（1+2％）12，则依题意有解得4<p〈13。2.讲评：复利计算是一种等比数列的模型,本题两种方案的复利计算公比不同,运算要求也很高。本题虽然主要考查的是数列知识，但综合程度很大,和不等式、二项式定理的计算融合在一起,难度就随之增大了.【例3】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的8％绿化，由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化。（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1,试用an表示an+1;（2）求数列｛an｝的第n+1项an+1;（3)至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%?（lg2=0。3010,lg3=0。4771）解：(1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1。依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是an+1=an+bn=an+（1-an)=an+。(2）an+1=an+，an+1-=(an-）。数列{an—｝是