吉林省长春市九台市营城第一中学2021年高一数学文期末试卷含解析

吉林省长春市九台市营城第一中学2021年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）函数y=|x+1|的单调增区间是（） A． （﹣∞，+∞） B． （﹣∞，0） C． （﹣1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）参考答案：C考点： 函数的单调性及单调区间．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据绝对值函数的性质即可得到结论．解答： 当x≥﹣1时，y=|x+1|=x+1，此时函数单调递增，当x＜﹣1时，y=|x+1|=﹣x﹣1，此时函数单调递减，故函数的递增区间为（﹣1，+∞），故选：C点评： 本题主要考查函数单调区间的求解，根据绝对值函数的性质将函数表示为分段函数是解决本题的关键．2.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.函数f（x）=sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣，0] D．[﹣，0]参考答案：D【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的单调性求得答案．【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因x﹣∈[﹣π，﹣]，故x﹣∈[﹣π，﹣]，得x∈[﹣，0]，故选D4.函数在区间的简图是（）

参考答案：A5.将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是(

)A.

B．C．

D．参考答案：C考点：三角函数图像变换6.函数f（x）=|x﹣2|的图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】化为分段函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：∵f（x）=|x﹣2|，∴当x≤2时，f（x）=﹣x+2，函数为减函数，当x＞2时，f（x）=x﹣2，函数为增函数，故选：B．7.将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为参考答案：A【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．8.的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为（

）（A）5

（B）10

（C）15

（D）20参考答案：A10.不等式的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】将不等式变形为，从而得到解集。【详解】将不等式化为，解得，所以解集为故选B.【点睛】本题考查解不等式，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，半径为8cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆．现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为

.参考答案：略12.f（x﹣1）的定义域是[，9]，则函数的定义域是

．参考答案：（1，2）∪（2，3]【考点】对数函数的定义域．【分析】由函数f（x﹣1）的定义域求出f（x）的定义域，然后由题意列式，求解不等式组的解集得答案．【解答】解：∵f（x﹣1）的定义域是[，9]，即x∈[，9]，∴x﹣1∈．f（x）的定义域为．由，解得：1＜x≤3且x≠2．∴函数的定义域是（1，2）∪（2，3]．故答案为：（1，2）∪（2，3]．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．13.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为．参考答案：2略14.已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，故S△=ab≥4，故答案为：4．15.若函数,则函数的单调递减区间为________;参考答案：16.设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是

参考答案：17.若，则的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中＜θ＜，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x≤时，求函数f（x）的值域．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）切化弦，利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用sinθ+cosθ=，其中，转化思想构造出f（θ），即可求解．（Ⅱ）当≤x时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．化简可得：f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）=sin2x+sinxcosx+sin2（x+）=cos2x+sin2x+cos2x═cos2x+sin2x+=sin（2x+）．（Ⅰ）∴f（θ）=sin（2θ+）．∵sinθ+cosθ=，其中，∴1+sin2θ=，即sin2θ=．∴cos2θ=．∴f（θ）=sin（2θ+）=（sin2θ+cos2θ）+=（Ⅱ）当≤x时，可得：2x+≤．当2x+=时，f（x）取得最大值为=．当2x+=时，f（x）取得最大值为=0．故得当≤x时，函数f（x）的值域为[0，]．19.（9分）已知函数f（x+）=﹣3+x2，求f（x）的解析式及定义域．参考答案：考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法．专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析： 利用配方法可得f（x+）=﹣3+x2=（+x）2﹣7；从而解得函数的解析式及定义域．解答： f（x+）=﹣3+x2=（+x）2﹣7；∵|+x|≥2；故+x≥2或+x≤﹣2；故f（x）=x2﹣7，x∈（﹣∞，﹣2]∪===．点评： 本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，两角差的余弦公式的应用，二倍角的余弦、正弦公式的应用，属于基础题．20.对于数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}是前n项和，且Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，a1+b1=2，bn+1=3bn+2，n∈N*．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，可得：an+1﹣an=2n+1．利用累加求和方法可得：an．由a1+b1=2，可得b1=1．由bn+1=3bn+2，n∈N*．变形为：bn+1+1=3（bn+1）．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：cn==．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）∵Sn+1﹣（n+1）=Sn+an+n，∴an+1﹣an=2n+1．∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣1）+（2n﹣3）+…+3+1==n2．由a1+b1=2，∴b1=1．∵bn+1=3bn+2，n∈N*．∴bn+1+1=3（bn+1）．∴数列{bn+1}是等比数列，公比为3，首项为2．∴bn+1=2×3n﹣1，解得bn=2×3n﹣1﹣1．．（2）由（1）可得：cn==．∴Tn=2++…+，=++…++，相减可得：=2++…+﹣=1+﹣，∴Tn=﹣．21.已知函数．（1）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）任取1≤x1＜x2，我们构造出f（x2）﹣f（x1）的表达式，根据实数的性质，我们易得出f（x2）﹣f（x1）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．（2）利用函数的单调性，即可求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【解答】解：（1）设1≤x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）=﹣x1﹣=，因为1≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x2x1﹣1＞0，x2x1＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；（2）由（1），可得f（x）在[1，4]上的最大值是f（4）=，最小值f（1）=2．22.已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论