湖南省娄底市三塘乡中学高二数学文上学期期末试题含解析

湖南省娄底市三塘乡中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面ABCD为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S==8+8．故选：B．

2.已知a表示直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，a∥β，则α∥β B．若a?α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，a⊥β，则α⊥β D．若a?α，a⊥β，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直以及平面和平面平行或者垂直的性质和判定定理进行判断即可．【解答】解：A．若a∥α，a∥β，则α∥β不一定成立，可能相交，故A错误，B．若a?α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误，C．若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故C错误，D．若a?α，a⊥β，则α⊥β，正确，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行或垂直的位置关系，比较基础．3.抛物线y=﹣的焦点坐标是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线方程化为标准方程，确定开口方向，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2=﹣8y∴2p=8，∴=2∵抛物线开口向下∴抛物线y=﹣x2的焦点坐标为（0，﹣2）故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线方程化为标准方程，确定开口方向．4.复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数的分子，然后分母实数化，化复数为a+bi（a、b∈R）可得对应的点位于的象限．【解答】解：复数=故选B．【点评】该题主要考查复数的基本概念和运算，以及复平面上点的对应问题，属于容易题．5.函数是(

).A.偶函数,在区间上单调递增

B.偶函数,在区间上单调递减C.奇函数,在区间上单调递增

D.奇函数,在区间上单调递减参考答案：B略6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，表示出体积，根据不等式基本定理，得到最值．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，∴另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，∴几何体的体积是V=×，∵在侧面三角形上有a2﹣1+b2﹣1=6，∴V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选：A．7.函数的图像大致是参考答案：A8.已知函数的最小正周期为，则该函数图象（

）A．关于点对称

B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：A9.已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值，又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值，又有最小值的奇函数参考答案：D10.执行右上图所示的程序框图,则输出

(

)

A.9

B.10

C.16

D.25参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面命题：①O比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立;③x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应；⑤设z为复数，则有|z|2=.参考答案：⑤12.已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是

.注：（为球的半径）参考答案：13.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为

．参考答案：7+【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP?BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP?PCcos（π﹣α），可得AB2+AC2=2AP2+，代入即可得出．【解答】解：如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP?BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP?PCcos（π﹣α），∴AB2+AC2=2AP2+，∴42+32=2AP2+，解得AP=．∴三角形ABP的周长=7+．故答案为：7+．【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.若满足

．参考答案：－2则，据此可得：.

15.对任意实数组x1，x2，…，xn，记它们中最小的数为f(x1，x2，…，xn)，给出下述结论：①函数y＝f(4x，2－3x)的图象为一条直线；②函数y＝f(x，2－x)的最大值等于1；③函数y＝f(x2＋2x，x2－2x)一定为偶函数；④对a>0，b>0，的最大值为.其中，正确命题的序号有______________．参考答案：②③④画图即知①是错误的；对②、③分别作出相应函数的图象即知命题正确；对④，≤＝，当且仅当a＝b＝，即a＝b＝时取等号，故④也正确．16.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.参考答案：试题分析：列举:四正(1),三正一反(4),二正二反(6),三反一证(4),四反(1),共计16种情况,所以概率为.考点：古典概型.17.如图，已知是椭圆

的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为

▲

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为2，求的值．参考答案：略19.在的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含的项.参考答案：（1）第3项的二项式系数为，又，所以第3项的系数为240.（2），令，得.所以含的项为第2项，且.20.（2015?江西校级二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．参考答案：考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．

专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？参考答案：【考点】分层抽样方法；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．…（Ⅱ）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5…（Ⅲ）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30，第4组人数为0.2×100=20人，第5组人数为0.1×100=10人．所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．…设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B