湖南省邵阳市塘尾头中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析

湖南省邵阳市塘尾头中学2021-2022学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y＝f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是()A．[0，]

B．[，1]

C．(－∞，0)∪[，＋∞)

D．[，]参考答案：B2.设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A.c＜a＜b

（B）c＜b＜a

（C）a＜b＜c(D)a＜c＜b参考答案：A3.阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量的值是（

）A．0

B．50

C．-50

D．25参考答案：B4.已知向量a，b，a⊥b，则实数（

）；A． B． C． D．参考答案：B5.（5分）f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（） A． （0，） B． （﹣∞，） C． （2，） D． （，+∞）参考答案：C考点： 函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 由f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，可将不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]化为x＞8（x﹣2）＞0，解得即可．解答： ∵f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，∴不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]化为x＞8（x﹣2）＞0，解得：x∈（2，），故选：C点评： 本题考查函数单调性的应用，难度不大，属基础题．6.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟，假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟，那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间，能使公司获得最大的收益是（）万元A.72 B.80 C.84 D.90参考答案：B【分析】设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为分钟，总收益为元，根据题意得到约束条件，目标函数，平行目标函数图象找到在纵轴上截距最大时所经过的点,把点的坐标代入目标函数中即可.【详解】设公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为分钟，总收益为元，则由题意可得可行解域：，目标函数为可行解域化简得，，在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示：作直线，即，平行移动直线，当直线过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，所以点坐标为，因此目标函数最大值为，故本题选B.【点睛】本题考查了应用线性规划知识解决实际问题的能力，正确列出约束条件，画出可行解域是解题的关键.7.若方程ax2+bx+c=0的两实根为x1、x2,集合S={x|x>x1},T={x|x>x2},P={x|x<x1},Q={x|x<x2},则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为

A.(S∩T)∪(P∩Q)

B.(S∩T)∩(P∩Q)

C.(S∪T)∪(P∪Q)

D.(S∪T)∩(P∪Q)

参考答案：A8.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2 B．a2 C．2a2 D．2a2参考答案：C【考点】斜二测法画直观图．【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．9.（5分）已知正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（） A． B． C． 3π D． 12π参考答案：C考点： 球的体积和表面积；球内接多面体．专题： 空间位置关系与距离．分析： 该三棱锥外接球与以PA，PB，PC为棱长的正方体的外接球的半径相同，正方体的体对角线长等于正方体的外接球的半径，2R==，根据面积公式求解即可．解答： 解；∵正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，∴该三棱锥外接球与以PA，PB，PC为棱长的正方体的外接球的半径相同，∴正方体的体对角线长等于正方体的外接球的半径，∴2R==，R=，∴该三棱锥外接球的表面积为4π×（）2=3π，故选：C点评： 本题考查了空间几何体的性质，外接球的半径，面积的求解，属于中档题，关键是构造几何体的关系．10.函数在区间的简图是参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x0是函数f（x）=2x+x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=．参考答案：﹣1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】判断函数f（x）的单调性，利用函数零点判断条件进行判断即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=2x+x，∴函数f（x）为增函数，f（0）=1＞0，f（﹣1）=＜0，满足f（0）f（﹣1）＜0，则在（﹣1，0）内函数f（x）存在一个零点，即x0∈（﹣1，0），∵x0∈（k，k+1），∴k=﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查函数零点和方程之间的关系，利用根的存在性定理进行判断是解决本题的关键．12.若

，则这3个数按由小到大的顺序为

▲

.参考答案：略13.从中随机选取一个数为,从中随机选取一个数为,则的概率是_________________；参考答案：略14.已知向量,满足，，，则与夹角的大小是______．参考答案：【分析】由向量垂直的充分必要条件可得，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可.【详解】由得，，即，据此可得：，，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.若二次函数的顶点为（，25），与轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则这个二次函数的表达式为。参考答案：16.若是一次函数，且，则=

..参考答案：由题意可设，，

又，，解得或，或，故答案为或.

17.在△ABC中，已知AB=AC=2BC，则sinA=

．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】令AB=AC=2BC=2m．即可得cosA=，sinA【解答】解：令AB=AC=2BC=2m，由余弦定理可得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，是上的函数，且满足，．（1）求的值；（2）证明在上是增函数．参考答案：解：（1）取，则，即

………3分∴ ∴∴．………5分

．．又．

………6分（2）证明：由（1）知．

设，则

………8分………10分．在上是增函数．

………12分

略19.若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，，求a；参考答案：20.如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面．（1）求证：；（2）若圆柱OO1的体积，①求三棱锥A1﹣APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）见解析；（2）①，②见解析【分析】（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．【详解】（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，平面又，平面，又平面，故．（2）①由题意，解得，由，得，，∴三棱锥的体积．②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．证明：∵O、M分别为的中点，则，就是异面直线OM与所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．21.（本小题满分14分）已知，函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，）上有唯一解；（3）若存在均属于区间[1，3]的且，使=，证明：．参考答案：解：（1）函数的定义域

，

-------------2分

令得：，令得：----------4分∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为-------------5分（2）证明：当时，，由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为，--------------------------------------------6分令，则在区间单调递增且，-----------------8分∴方程在区间（2，）上有唯一解．----------------------9分（注：检验的函数值异号的点选取并不唯一）（3）证明：由及（1）的结论知，-------