陕西省西安市远东教育集团第二中学2022年高二数学文下学期期末试卷含解析

陕西省西安市远东教育集团第二中学2022年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（） A．4种 B．5种 C．6种 D．9种参考答案：B考点： 分类加法计数原理．专题： 分类讨论．分析： 4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答： 解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评： 本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z求出和|z|，代入求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵，∴，，∴=．则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．3.在△ABC中内角A,B,C所对各边分别为a,b,c,且,则角A=(

)A.60°

B.120°

C.30°

D.150°参考答案：A4.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3 B．a3 C．a3 D．a3参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形，我们根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案．【解答】解：若一个四面体有五条棱长都等于a，则它必然有两个面为等边三角形，如下图由图结合棱锥的体积公式，当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，故该四面体的体积最大，此时棱锥的底面积S=×a2×sin60°=，棱锥的高h=，则该四面体的体积最大值为V=×a2×=．故选C．5.函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A．

B.C．

D．参考答案：B略6.若直线上不同的三个点与直线外一点，使得成立，则满足条件的实数的集合为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D7.双曲线的两个焦点为、，双曲线上一点到的距离为12，则到的距离为（

）A.17

B.22

C.7或17

D.2或22参考答案：D

略8.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④。其中正确结论的序号是（

）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：C略9.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D10.在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，）的直角坐标是（

）A．（2，1）

B．（，1）

C．（1，） D．（1,2）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是_______。参考答案：试题分析：由题意得：在上恒成立，所以即实数的取值范围是.考点：利用导数研究函数增减性12.已知函数，数列的通项公式为，则此数列前2018项的和为_____________．参考答案：考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到函数的化简运算、数列的倒序相加法求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据函数的解析式，化简得到是解答的关键.13.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣2，）【考点】圆的一般方程．【分析】利用圆的一般式方程，D2+E2﹣4F＞0即可求出a的范围．【解答】解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示圆，所以D2+E2﹣4F＞0即a2+（2a）2﹣4（2a2+a﹣1）＞0，∴3a2+4a﹣4＜0，解得a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．【点评】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．14.用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．参考答案：试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤。点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心。15.已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．参考答案：或【考点】椭圆的简单性质；等比数列的性质；双曲线的简单性质．【分析】利用等比数列的性质求出m，然后利用椭圆以及双曲线的性质求出离心率即可．【解答】解：实数1，m，4构成一个等比数列，可得m=±2，m=2时，圆锥曲线+y2=1，它的离心率为：e==．m=﹣2时，圆锥曲线y2﹣=1，它的离心率为：e==．故答案为：或．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，等比数列的性质的应用，考查计算能力．16.函数的值域是R,则实数a的取值范围是

.参考答案：[2,＋∞)17.“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨?克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为__________．参考答案：10或64.【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出的所有可能的取值．【详解】如果正整数按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64．所以正整数的值为10或64．故答案为：10或64．【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线（1）求证：QC2﹣QA2=BC?QC（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）由切线定理得QA2=QB?QC，由此能证明QC2﹣QA2=BC?QC．（2）由弦切角定理和角平分线性质得QC2=QA2=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的长度．【解答】证明：（1）∵QA为⊙O的切线，∴QA2=QB?QC，∵QC﹣QB=BC，∴QC2﹣QA2=QC2﹣QB?QC=BC?QC．解：（2）∵QA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠ABC，∵AC恰好为∠BAP的平分线，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC=15，∴QC2=QA2=15QC，①又由△QCA∽△QAB，得，②联合①②，消掉QC，得：QA=18．【点评】本题考查两线段平差等于两线段积的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线定理、弦切角定理的合理运用．19.(本题满分12分)在平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别是（-1,0）,(1,0),点是的重心，轴上一点满足，且.（1）求的顶点的轨迹的方程；（2）不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时，求与的关系，并证明直线过定点.参考答案：解：（1）设点坐标为，因为为的重心，故点坐标为.

由点在轴上且知，点的坐标为

………2分

因为，所以，即.

故的顶点的轨迹的方程是……………4分

(2)设直线与的两交点为.

由消去得，则且,.

…………8分因为，所以故，整理得.解得.

………10分①当时=，直线过点（-1，0）不合题意舍去。②当时，=，直线过点.综上所述，直线过定点.

……………12分略20.（12分）已知函数（a∈R）,.（Ⅰ）当时，求在区间[－2,2]上的最小值；（Ⅱ）若在区间[1,2]上的图象恒在图象的上方，求a的取值范围；参考答案：（Ⅰ）

…………2分

列表得

………5分（Ⅱ）在区间上的图象恒在图象的上方

在上恒成立得在上恒成立

…………7分

设则

……………12分21.已知等比数列中，（Ⅰ）试求的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.思路点拨：（Ⅰ）根据等比数列的通项公式，将问题化归为求解和即可，属简单常规题型，求解过程中须注意，与等比数列有关的消元问题通常采用乘除消元,以利简化；（Ⅱ）由