福建省龙岩市高梧中学高三数学文下学期期末试题含解析

福建省龙岩市高梧中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数且n≥2009，设[x]为x的整数部分，则除以8的余数是（

）A．1

B．3

C．4

D．7

参考答案：A2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.参考答案：A【分析】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到，在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，所以，所以，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e(e的取值范围)．3.|(3＋2i)－(4－i)|等于(

)A.

B．C．2

D．－1＋3i

参考答案：B原式＝|－1＋3i|＝.

4.设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1参考答案：C【考点】函数奇偶性的判断．【分析】函数f（x）=，f（x）是奇函数，可得f（﹣3）=﹣f（3），代入即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=，f（x）是奇函数，∴f（﹣3）=﹣f（3），∴log2（1+3）=﹣[g（3）+1]，则g（3）=﹣3．故选：C．5.若成等比数列，则函数的零点个数为（

）

A.0

B.1

C.2

D.以上都不对参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】A

因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac＞0，

则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac=-3ac＜0，所以此方程没有实数根，

即函数y=ax2+bx+c的零点个数为0个，故选：A．【思路点拨】根据等比中项的性质得b2=ac＞0，再判断出方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac=-3ac＜0，即可得到结论6.将1﹑2﹑3﹑4四个数字随机填入右方2×2的方格中﹐每个方格中恰填一数字﹐但数字可重复使用﹒试问事件「A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字」的机率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率，同理可求C方格的数字大于D方格的数字的概率，即可求出A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字的机率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P==．同理C方格的数字大于D方格的数字的概率为P==，∴A方格的数字大于B方格的数字﹑且C方格的数字大于D方格的数字的机率为=故选：B．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7.直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的横坐标为（）A． B．﹣ C．﹣4 D．4参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，Q和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故选：A．9.函数y=lnx+x﹣﹣2的零点所在的区间是（）A．（，1）

B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e）内．故选：C．10.函数在区间上的最大值是（

）

A． B． C．

D．

参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（理科）以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，已知直线的极坐标方程为，圆C的参数方程为．直线被圆截得的弦长

参考答案：1612.在中，若，则的最大值是

．参考答案：，由余弦定理得，，即的最大值是，故答案为.

13.把一个函数图像按向量平移后，得到的图象的表达式为，则原函数的解析式为

．参考答案：略14.若实数x，y满足不等式组，则的取值范围是_____________.参考答案：[－5,－2]由不等式组画成的平面区域如下：其中，可以看作是过两点，直线的斜率，当经过点时，取最小值，当经过点时，取最大值.故答案为.

15.（文）已知向量则的最大值为_________．参考答案：3，所以当时，有最大值，所以的最大值为3.16.已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于?x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是．参考答案：考点： 二次函数在闭区间上的最值．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可．解答： 解：令f（x）=1﹣ax﹣x2=0，∴x1=，x2=，若f（x）＞0成立，∴，解得：﹣＜a＜﹣．故答案为：（﹣，﹣）．点评： 本题考查了二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．17.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________。参考答案：

本题考查排列组合和概率的相关基础知识.同时考查了理解能力和转化与化归的数学思想方法.属容易题，当所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P=，则至少有一瓶为过期饮料的概率.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）＝＋－1．

（1）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；（2）求证：对于大于1的正整数n，恒有1＋＜＜1＋成立．参考答案：略19.(本小题满分12分)

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．参考答案：(1)略(2)0.896【知识点】离散型随机变量及其分布列K6(1)设A表示事件作物产量为300kg，B表示事件作物市场价格6元/kg由题设知P(A)=0.5，P(B)=0.4利润=产量市场价格-成本，X可能的取值为50010-1000=4000,5006-1000=2000,30010-1000=2000,3006-1000=800P(X=4000)=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2000)=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5P(X=800)=0.50.4=0.2X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设表示事件第i季利润不少于2000元（i=1,2,3）由题意得，，相互独立，由（1）知P()=P(X=4000)+P(X=2000)-0.3+0.5-0.8P=+=0.896【思路点拨】根据X可能的值求出相应的概率，根据相互独立事件的概率求出结果。20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.（1）证明：；（2）若，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接，，易知为等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得，；由线面垂直判定定理可知平面；根据线面垂直的性质可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，首先求得平面的法向量，根据直线与平面所成角的向量求法求得结果.【详解】（1）证明：取中点，连接，，四边形为菱形

又

为等边三角形，又为中点

，为中点

平面，

平面又平面

（2）以为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：由题意知：，，，则，，，，，设平面的法向量，令，则，

设直线与平面所成角为即直线与平面所成角的正弦值为：【点睛】本题考查立体几何中的线线垂直关系的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到线面垂直判定与性质定理的应用、空间向量法求解立体几何中的线面夹角问题等知识；证明线线垂直关系的常用方法是通过线面垂直关系，根据线面垂直性质证得结论.21.在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为，圆C2的方程为，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值.参考答案：（1）设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有有，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，由函数在单调递增有，故，四边形面积的最大值为.