圆锥曲线基础必备

如图，设P为椭圆上一点，如图，设P为椭圆上一点，F和F为两个12定点，则：PF+PF=2a>FF(11)212(11)式就是椭圆和为定值的定义式.如图，设P为椭圆上一点，P点到定直线(准线)的距离为PS=p，P点到定点(焦点)F的距离为PF，则：PF=e<1(1)2S定点为短轴顶点，定值为负值.(定值k=e21)圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-椭圆一一、椭圆定义椭椭圆三定义，简称和比积.11、定义1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点，定值为定点为焦点，定值为长轴.(定值=2a>2c=焦距)PPF2F122、定义2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.(定值=e<1)PPF2FS1((12)式就是椭圆比为定值的定义式.33、定义3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.AABkk如图，设P为椭圆上一点(A,B除外)，A,B为椭圆的两个短轴顶点.若直线PA的斜率为k，直线PB的斜率为k，则：kk=e21(13)1212((13)式就是椭圆积为定值的定义式.于是，直线PA的斜率为：k=yPyA=yb1xxxPA=PB=直线PB的斜率为：yyy=PB=2xxxPB那么：那么：yby+by2b2①12xxx2k=kk=.=由椭圆方程由椭圆方程：x2+y2=1，即：x2+y2b2=0，即：b2+y2b2=0，a2b2a2b2a2x2即：即：y2b2=b2=c2a2=e21②x2a2a2将②代入①得：k=kk=e210.12二二、椭圆的性质定理口诀：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①通通径等于2ep，切线方程用代替③焦焦三角形计面积，半角正切连乘b④11、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理2、准线方程准焦距，a方、b方除以ca2a2p(b方除以c2p(b方除以c)2b准焦距准焦距p：(焦准距)焦点到准线的距离：通通径等于2，切线方程用代替椭圆的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.(通径d=2ep椭圆的通径.(通径d=2ep=2..=)aca过椭圆上(x,y)点的切线方程，用(x,y)等效代替椭圆方程得到.00000+0=0+0=1等效代替后的是切线方程是：a2b24、焦三角形计面积，半角正切连乘b焦三角形：以椭圆的两个焦点F,F为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三2角形称为焦三角形.9半角是指9=三FPF的一半.则焦三角形的面积为：S=b2tan9122证明：设PF=m，PF=n，则m+n=2a.12=1.2b2.sin9=b2.sin9ymOPnFbFx==tan2弦切角弦切角所以：椭圆的焦点三角形的面积为9S=b2tan912FPF212三三、椭圆的相关公式口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理①切切点连线求方程，极线定理须牢记②弦弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④、、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦时(过焦点的弦)，那么切线是两个焦点弦的角平分线.证明：如图所示，红色直线为切线.设P点的坐标为(x,y)，则：0+0=1a0+0=1a2b2PF的斜率：k=yyP1=y0，11xxx+cP10则：tan9=kk1=110.011+110.0x+ca2y00=0=0=c2xy+a2cy=0=0=c2xy+a2cycy(cx+a2)00000P?1?22PF的斜率：k=yyP2=y022xxxcP20①b2①b0x0x+y0y=1(称为极线定理x0x+y0y=1(称为极线定理)xxbaa210.00000a2yxc21+kkb210.00000a2yxc0==a2b2b2cx0=b2(a2cx)0=b2②(a2xyb2xy)a2cyc2xya2cycy(cxa2)cy00000000000由①②式可得：tan9=tan9，即：9=9.1212即：切线是两个焦点弦的角平分线.22、切点连线求方程，极线定理须牢记若P(若P(x,y)在椭圆x+y=1外，则过P作椭圆的两条切线，切点为000a2b20P1,P2，则点P0和切点弦P1,P2分别称为椭圆的极点和极线.切点弦P1P2的直线方程即极线方程：a2b2当极点P在椭圆上时，该点的切线就是极0线，切线方程就是极线方程.P1OP0P2弦弦与中线斜率积，准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离x中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离x=去除准焦距(焦准ccapb2kAB.kpb2kAB.kOM=x=a2cc证明：如图所示，因为A,B在椭圆上，故：A2y22B2A2y22B22+B=1A2Mb22MbBOBAB+AB=0上面两式相减得：x2AB+AB=0a2b2yyyyy+yy2y2x2x2a2AB直线AB的斜率为：k=yyABABxxAB②=③则中线OM的斜率为：kOMx=③AB由②③得：kk=AB.AB=AB④ABOMxxx+xx2x2ABABABkk==kk==.ABOMa2xc4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦AB的中点为M(x0,y0)，弦AB称为中A>设椭圆方程为：x2+y2=1①a2b2两者相交于A(x,y)和B(x,y)，则AB的中点M(x,y)坐标满足：1122000202③000B>将②代入①得：④a2a2b2即：(1+k2)x2+2kmx+m2b2=0a2b2b2b2a2aC>由韦达定理得：x+x=2km=2kma2a2+k212b2b2a2+k202b2+k2a2即：(b2+k2a2)x=ka2m⑥0D>将④代入⑥式得：(b2+k2a2)x=ka2(ykx)000即：b2x+k2a2x=ka2y+k2a2x0000即：b2x=ka2y00⑦E>将⑦代入④式得：m=ykx=y+b2x20=⑧000a2ya2y00y=0x+00将⑦⑧代入②式得：b2xy=0x+00a2ya2y00即：a2yy=b2xx+a2y2+b2x20000即：b2xx+a2yy=b2x2+a2y20000即：x0x+y0y=x02+y02.证毕.a2b2a2b2弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点P0(x0,y0)的弦AB，其中点xxyyx2y2bM的方程就是0+b6、弦中点M的轨迹方程的证明:A>设椭圆方程为：x2+y2=1①a2b2过点P(x,y)的直线方程为：yy=k(xx)000000000B>设AB中点M的坐标为(x,y)MMMMx=借用上题的结果：x=Mb2+k2a2将④代入上式得：x=ka2(ykx)Mb2+k2a2MM即：b2x+k2a2x=ka2y+k2a2xMMMM即：b2x=ka2y，故：MM⑤C>将⑤和②代入④式得：y=b2xMx+(y+b2xMx)Ma2yM0a2y0MM即：a2y2=b2x2+a2yy+b2xx，即：a2y2+b2x2=a2yy+b2xxMMM0M0MMM0M0b2a2b2a2⑥式就是弦中点M的轨迹方程.证毕.中点弦方程和弦中点的轨迹方程，这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-双曲线一一、双曲线定义口诀：双曲线有四定义，差比交线反比例1、定义1：(差)平面内，到两个定点FF的距离之差的绝对值为定值122a<FF的点的轨迹称为双曲线.12定点FF叫双曲线的焦点.12FF1212(21)就是差为定值的双曲线的定义式.2、定义2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值e>1的点的轨迹称为双曲线.定点FF叫双曲线的焦点.12定直线L叫双曲线的准线.如图所示，如图所示，2=e>1(22)(22)式就是比为定值的双曲线定义式.3、定义3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线.如图所示，蓝色线为圆锥面，红色线为平面，红色面与蓝色面的交线就是双曲线.这就是本双曲线的定义.F1F1OSOLPF2PF2实际上，实际上，椭圆和抛物线也有这样的定义，所以将它们统一称为“圆锥曲4、定义4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数ky=的图象称为双曲线.证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.证明：因为xy=k的对称轴是y=x,y=-x，而x2-y2=1的对称轴是xa2b2y旋转45o.x由由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理二、双曲线的性质定理实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①通径等于通径等于2ep，切线方程用代替③焦焦三角形计面积，半角余切连乘b④到，等效代替后的是切线方程是：、到，等效代替后的是切线方程是：、实轴虚轴与焦距：形似勾股弦定理b1与勾股弦定理形似.2、准线方程准焦距，a方、b方除以ca2a准焦距(焦准距)准焦距(焦准距)p：焦点到准线的距离：p=c(b方除以c)23、通径等于2ep，切线方程用代替双曲线的通径d：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.(通径d=称为双曲线的通径.(通径d=2ep=2..=)aca过双曲线上P0(x0,y0)点的切线方程，用P0(x0,y0)等效代替双曲线方程得焦焦三角形计面积，半角余切连乘b焦三角形：以双曲线的两个焦点F,F为顶点，另一个顶点P在椭圆上的三2角形称为焦三角形.半角是指y=三FPF的一半.12x2y2, 2b2PFPF=21双曲线, 2b2PFPF=21a2b2P为双曲线上异于顶点任意一点三FPF=y，则12双曲线的焦点三角形满足：PF1双曲线的焦点三角形的面积为：PF1双曲线的焦点三角形的面积为：其面积为；其面积为；F1PF22.2=m,PF=n，则mn=2a2在FPF中，由余弦定理得：12PF2+PF22PFPFcosy=FF21212122b22b2那么，焦点三角形的面积为：bsinysincosy=1cosy=b2.2sin2y=b2cot22FPF212.y=c.yS.y=c.ypc2PP12Fpc2PP12F1PF22.三三、双曲线的相关公式口口诀：切线平分焦周角，称为弦切角定理①1弦切角定理点弦时(过焦点的弦)，则：切线是两个焦点弦的角平分线.如图，弦切角定理点弦时(过焦点的弦)，则：切线是两个焦点弦的角平分线.如图，FPF是焦点三角形，三FPF为焦周角，1212PT为双曲线的切线.则PT平分三FPF.切切点连线求方程，极线定理须牢记②弦弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④、、切线平分焦周角，称为弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦yyPFFxT12证明：设P(x,y)在双曲线x2y2=1上，则：x02y02=11200a2b2a2b2即：b2x2a2y2=a2b2①00P(x,y)点的切线方程为：x0xy0y=100a2b2②PF的斜率为：1PF的斜率为：2k=yyP1=y01xxx+cP10yyyk=P2=02xxxcP20③④设直线PT与PF的夹角为9，直线PT与PF的夹角为91122则：tan9=则：tan9=1⑤将②③代入⑤得：b2xy b2xytan9===1b2xya2y(x+c)+b2xya2xy+b2xy+a2cy1+0a2y0.000000000将①式和a2+b2=c2代入上式得：tan9===b2⑥1c2xy+a2cycy(cx+a2)cy00000021+kk2⑦将②④代入⑦式得： y0b2x0tan9=xca2y00=a2y2b2x(xc)000=2yb2xa2y(xc)+b2xya2xy+b2xya2cy1+0xc0.0a2y0000000000将①式和a2+b2=c2代入上式得：tan9==b2(cxa2)0=b2⑧2c2xya2cycy(cxa2)cy000000由⑥和⑧式得：tan9=tan912由于9,9(0,几)，故：9=91212即：切线是两个焦点弦的角平分线.证毕.22、切点连线求方程，极线定理须牢记Pxy=1外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过P作双曲选的两条切线，切点为0P、P，则点P和切点弦PP分别称为双12012曲线的极点和极线，切点弦PP的直线方12F1yOP1P0F2xP20弦指双曲线内的一弦AB.0弦指双曲线内的一弦AB.中线指弦AB的中点M与原点O的连线，即OAB得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离x=a2去除准焦距(焦准距)p=b2程即极线方程是：xxa2ab2b弦与中线斜率积，准线去除准焦弦与中线斜率积，准线去除准焦距ccc其结果是：kAB其结果是：kAB.kOM=x=a2c证明：如图所示，因为A,B在双曲线上，F1yMAOB2Fx2x2y2x2yx2y2x2y2即：y2y2AB=b2①x2x2a2AB直线AB的斜率为：k=yyAB②ABxxABF1yMAOB2Fx2则中线OM的斜率为：k则中线OM的斜率为：k=AB③OMx+xAB由②③得：kk=yyAB.=y2y2AB④ABOMxxx+xx2x2ABABAB4AB的方程：在双曲线中，若弦AB的中点为4AB的方程：在双曲线中，若弦AB的中点为M(x0,y0)，称弦AB为中由①④得：kk=b2=p.证毕.ABOMa2xc、、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹中点弦中点弦点弦，则中点弦的方程就是：x0xy0y=xy，它是直线方程.a2b2a2b2弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点P0(x0,y0)的弦AB，其AB中点M的方程就是：xxyyx2y2 这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.A>设双曲线方程为：x2y2=1①a2b2两者相交于A(x,y)和B(x,y)1122则AB的中点M(x,y)坐标满足：00202AMBO0000B>将②代入①得：x2(kx+m)2=1a2b2即：(1k2)x22kmxm2+b2=0a2b2b2b2即：(b2k2)x22kmx(m2+b2)=0⑤a2aC>由韦达定理得：x+x=2km=2kma2a212b2b2a202b2k2a2即：(b2k2a2)x=ka2m⑥0D>将④代入⑥式得：(b2k2a2)x=ka2(ykx)000即：b2x+k2a2x=ka2y+k2a2x000000⑦E>将⑦代入④式得：m=ykx=y0=00b2xm=ykx=y0=00000a2ya2y0000a2ya2y00将⑦⑧代入②式得：b2xa2y2b2x2a2ya2y00即：a2yy=b2xx+a2a2ya2y000000即：b2xxa2yy=b2x2a2y20000即：x0xy0y=x02y02.证毕.a2b2a2b26、弦中点M的轨迹方程的证明:A>设双曲线方程为：x2y2=1①a2b2过点P(x,y)的直线方程为：yy=k(xx)000000000B>设AB中点M的坐标为(x,y)MMMM借用上题的结果：④x=kma2Mb2k2a2将④代入上式得：x=ka2(ykx)Mb2k2a2MM即：b2xk2a2x=ka2yk2a2xMMMMMM⑤C>将⑤和②代入④式得：y=b2xMx+(yb2xMx)Ma2yM0a2y0MM即：a2y2=b2x2+a2yyb2xxMMM0M0即：a2y2b2x2=a2yyb2xxMMM0M0即：MM=M0M0即：MM=M0M0⑥b2a2a2b2⑥式就是弦中点M的轨迹方程.证毕. 圆锥曲线必背口诀 圆锥曲线必背口诀-抛物线一一、抛物线定义口诀：抛物线，有定义，定点定线等距口诀：抛物线，有定义，定点定线等距离•A•FB•A•FB1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.2、二次函数的图象是抛物线.3、平面与圆锥相截，除了圆、椭圆、双曲线外，还有抛物线抛物线.二二、抛物线性质口诀：焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦焦弦切线成直角，切点就是两端点③端端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥直直角梯形对角线，交点就是本原点⑦焦弦三角计面积，半个p方除正弦⑧1、焦点准线极点线抛抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程：y2=2px，焦点F(,0)，准线xp=抛物线的顶点O(0,0)到定点F(,0)和定直线xp=距离相等.所以，p称为焦准距，是焦点到准线的距离.焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A和B，则AB称为焦弦.ppMxM,yM)，xM=，yM=焦弦方程：y=k(xp)，k为斜率.2两臂点乘积不两臂点乘积不变焦焦点三角形两边OA和OB的点乘积为定值，且夹角是钝角.证明：AA>焦弦AB满足的条件抛物线方程：y2=2px①•OF•OF2B故其方程：y=k(xp)②B2由①②消去y得：k2(xp)2=2px2B>方程③由韦达定理得：xAxB=则：yAyB=2pxA.2pxB=2pxAxB=2p.=p2则：yAyB=p2①2xAxB2xAxB=p2，即：②xx=AB4且：OA.OB=(xA,yA).(xB,yB)=xAxB+yAyB=p20.故：焦点三角形两边之点乘积为定值.33、焦弦切线成直角，切点就是两端点由上题①式yAyB=p2由上题①式yAyB=p2代入上式得：DEMFBA即：即：焦弦两端点A,B的切线互相垂直.证明：如图，由抛物线方程：y2=2px求导数：yy'=p，即：y'=py故斜率：k故斜率：k=，k=AEyBEyABDECAMFByyyyBEyyyyBEABABABkk.k=1AEBE故：在焦弦端点A,B的切线互相垂直.4、4、端点投影在准线，连结焦点垂直线,B在准线的投影点,B在准线的投影点D,C与焦点F构成直角三角形.证明：准线方程x=p22B2AFp0)2BA于是：CF.DF=p2+yyAB将上题①式yAyB=p2代入上式得：CF.DF=0即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.5、5、焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥A>因为极线AB过焦点F，焦点与准线是一对极点和极线，而E点是AB的极点，所以由自极三点形可知：A>因为极线AB过焦点F，焦点与准线是一对极点和极线，而E点是AB的极点，所以由自极三点形可知：E点在准线上.切线AE的斜率为：k=y'=p①AEy0y0py若焦弦AB对应的极点E，则EF为极焦线，于是：EF」AB.DDMFBAEyyy2y2py2pyk=AF=0=0=0=0ABxAxFxp2x0p2px0p2y02p2022p2y②=0220y②=0220=AEAE故：切线是角平分线⑥B>由抛物线定义知：AD=AF④EDEF⑤FCC>设抛物线方程：y2=2px，直线AB方程：y=k(xp)2则：x=y+pk2故A,B点满足的方程为：y2=2px=2p(y+p)=2py+p2k2kk各分量之比：两臂点乘积不变各分量之比：两臂点乘积不变由韦达定理得：y+y=2p⑧ABk222k2所以EF=(p,p)，而AB=T(1,k)k.=k.=故：EFABT(p,p.=k.=故：焦弦垂直极焦线⑤.证毕.66、直角梯形对角线，交点就是本原点即：直角梯形ABCD对角线相交于原点三点共线；三点共线；B,O,D三点共线.A用向量法证明：A用向量法证明：OA//CO，OB//DO证明：向量法，如图EMEFB2pBp2pBpp2B2A2B2A2pA2By2y(OA)2y2(OA)yy2x==A，y=A=A(CO)pp2(CO)yyy2xyBAB22pyAyB=2py22代入上式得：yy22代入上式得：y==AAA2(CO)yyp2yABy故：(OA)x=(OA)y=OA，即：OA//CO(CO)(CO)COxyppp=x++x+=x+x+pA2B2AB=2(x+p)=2EMM2①故：直角梯形ABCD对角线相交于原点.焦焦弦三角计面积，半个p方除正弦(a为焦弦的倾角)即：焦弦三角形的面积为：S=(a为焦弦的倾角)DDMFBAE如下图：焦准距GF=2OF=pEaMaa则：EM=EF=1.GF=EaMaasinasinasinasin2aGOFGOF1因为a为底边AB与OF的夹角，故面积S=OFABsina1AOB2AOB222sin2a2sina故：S=1OFABsina=1.AOB222sin2a2sina即：焦弦三角计面积，半个p方除正弦圆锥曲线必背口诀附：圆锥曲线必背--极坐标一、极