用圆心角弧弦弦心距的关系课件

本文档共28页；当前第1页；编辑于星期日\19点42分1、了解圆的旋转不变性。2、理解圆心角、弦心距的概念。3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。学习目标本文档共28页；当前第2页；编辑于星期日\19点42分我们知道圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。O那么圆是中心对称图形吗？顺时针旋转90°顺时针旋转180°圆即是轴对称图形也是中心对称图形它的圆心就是对称中心。其实圆旋转任意角度都能与自身重合。本文档共28页；当前第3页；编辑于星期日\19点42分·

圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.OBA一、概念圆心到弦的距离，叫弦心距

,右图中，OD为AB弦的弦心距。如:∠AOB本文档共28页；当前第4页；编辑于星期日\19点42分1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④OOOO本文档共28页；当前第5页；编辑于星期日\19点42分根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′二、探究

如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？∴

重合，AB与A′B′重合．AB与A’B’∴AB=A’B’本文档共28页；当前第6页；编辑于星期日\19点42分CC/OA/B/AB

弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。如图，作OC⊥AB于C，OC/⊥A/B/于C/在上述定理的条件下，OC=OC/是否成立？可通过△AOB≌△A∕OB∕然后利用全等的性质得到本文档共28页；当前第7页；编辑于星期日\19点42分圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理

（圆心角定理）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏由条件:①∠AOB=∠A′O′B′②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出本文档共28页；当前第8页；编辑于星期日\19点42分拓展与深化在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′本文档共28页；当前第9页；编辑于星期日\19点42分推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OAB┓DA′B′D′┏●OAB┓D●O′A′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′本文档共28页；当前第10页；编辑于星期日\19点42分条件结论在同圆或等圆中如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等本文档共28页；当前第11页；编辑于星期日\19点42分在同圆或等圆中如果弦相等那么弦所对的圆心角相等弦所对的弧(指劣弧)相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中如果弦心距相等那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等本文档共28页；当前第12页；编辑于星期日\19点42分

推论：(圆心角定理的逆定理)

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。本文档共28页；当前第13页；编辑于星期日\19点42分如图,AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，如果AB＝CD，那么

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；如果OE＝OF，那么

，

，

；如果弧AB＝弧CD，那么

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，

；如果∠AOB＝∠COD，那么

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，

。·CABDEFO练习本文档共28页；当前第14页；编辑于星期日\19点42分下列说法正确吗？为什么？在⊙O和⊙O’中，∵∠AOB＝∠A’O’B’∴AB＝A’B’在⊙O和⊙O’中，∵弦AB＝弦A’B’∴弧AB＝弧A’B’注意前提：在同圆或等圆中本文档共28页；当前第15页；编辑于星期日\19点42分OAB

下面的说法正确吗?为什么?如图,因为根据圆心角、弧、弦的关系定理可知：

︵︵讨论一下！本文档共28页；当前第16页；编辑于星期日\19点42分1.下列命题中真命题是（）A、相等的弦所对的圆心角相等。B、圆心角相等，所对的弧相等。C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。D、长度相等的弧所对的圆心角相等。2、在⊙O中，=，∠B=70°，则∠A=

＿＿＿ABAＣＡＢＣＯ３、如图：AB为⊙O的直径，==，∠COD=35°，则∠AOE=＿＿＿＿度。BCCDDEABCDEo牛刀小试BC=CD=DE解：本文档共28页；当前第17页；编辑于星期日\19点42分（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；4.如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。（2）求证：AC=BDABCDEF5.如图：已知OA，OB是⊙O中的两条半径，且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长线交OB延长线于C。已知∠C=250，求圆心角∠DOB的度数.ＣＯＤＢＡO本文档共28页；当前第18页；编辑于星期日\19点42分证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO四、例题选讲例1.如图,在⊙O中，

，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.ABAC=∵

AB=AC．∴△ABC是等边三角形.本文档共28页；当前第19页；编辑于星期日\19点42分1.如图,AB、CD为的两条弦，,求证AB＝CD.

O⊙AD=BC2.已知：如图，AD=BC.求证：AB＝CDOCBDAE练习本文档共28页；当前第20页；编辑于星期日\19点42分3.已知：AB是⊙O的直径,M.N是AO.BO的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C.D点。求证：AC=BD·

ＡＤＣＮＭＢO本文档共28页；当前第21页；编辑于星期日\19点42分例2：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦，∠1=∠2，求证：AB=CD变式练习1：如图（1），已知弦AB=CD，求证：∠1=∠212ABCDO（1）变式练习2：如图（2），⊙O中，弦AB=CD，求证：BD=ACABCDO变式练习3：如图（2），⊙O中，弦BD=AC，猜测∠A与∠D的数量关系。（２）本文档共28页；当前第22页；编辑于星期日\19点42分例3：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM

上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，求证：AB=CDOPACDMB（1）变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与A、B、C、D，AB=CD求证：点O在∠BPD的平分线上OPACDB（2）本文档共28页；当前第23页；编辑于星期日\19点42分变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB，求证：PA=PBPABO(3)变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还存在相等的弦吗？APCBDO（４）本文档共28页；当前第24页；编辑于星期日\19点42分OBACDFE已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C、D是弧AB的三等分点。求证：CD＝AE＝BF。继续提高本文档共28页；当前第25页；编辑于星期日\19点42分如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=＿＿＿度。思考BACODEF