线性方程组详解

线性方程组详解第一页，编辑于星期日：一点四十七分。第2章线性方程组再次讨论线性方程组的求解问题，在第一章的讨论中，Cramer法则针对未知量与方程个数一样的情形，将行列式作为工具，给出了方程组解存在且唯一的条件及解的行列式表示.但有其局限性：1、行列式的计算量大；2、系数行列式

如何？3、未知量与方程个数不一样的情形无法处理.不能用行列式来描述第二页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20232Example1第2章线性方程组ABCD500350150如图所示是某城市某区域单行道路网.据统计进入交叉路口A每小时车流量为500辆，而从路口B和C出来的车辆分别为每小时350辆和150辆.如图所示，Solution:设沿这些道路每小时车流量分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6.x1x5x2x3x4x6求出沿每一个道路每小时的车流量.鉴于出入每一个路口的车流量是相等的，于是有路口A500=x1+x2+x3路口

B

x1+x4+x6=350路口C

x3+x5=x6+150路口D

x2=x4+x5得线性方程组一个可控的网络系统中，计算平衡运行问题，可归结为求解线性方程组第三页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20233§1消元法线性方程组的一般形式为

可以把未知量的系数和常数项按其原来的相对位置排成一个矩形的数表，来表示该方程组.系数矩阵增广矩阵

矩阵与行列式一样是从研究线性方程组的问题引出的，(由Cramer法则知：方程组的解与系数、自由项有关)第四页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20234第2章线性方程组Definition2.1由个数

排成m行n列的数表称为

m行n列矩阵，简称矩阵。Note:1、前行后列；2、与行列式的区别这个数称为矩阵A的元素，称为矩阵A

的第i行、第j列元素。（实矩阵、复矩阵）简记如果两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称它们是同型矩阵。第五页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20235§1消元法如果与是同型矩阵，且则称矩阵A与B相等，记为A=B相等的必要条件是同型常见的特殊矩阵：1、行矩阵只有一行的矩阵2、列矩阵只有一列的矩阵3、零矩阵元素都为零的矩阵4、方阵若m=n，则称

为n阶矩阵，也称n阶方阵。在n阶方阵中，从左上角到右下角的连线称为主对角线（对角线）。

第六页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20236第2章线性方程组5、上三角形矩阵（上三角阵）在n阶方阵中，若主对角线左下方所有元素全为零(即rik=0其中i>k)即6、下三角形矩阵（下三角阵）在n阶方阵中，若主对角线右上方所有元素全为零(即lik=0其中i<k)7、对角阵除对角线上元素外其他元素全为零的n阶方阵。第七页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20237§1消元法8、数量矩阵成立的对角阵9、单位矩阵的数量矩阵记作

En简记ENote:5~9概念的前提是方阵。矩阵表示举例：Example1

婚姻问题(matchingproblem)女儿追求者ABCEDF327151042628如何嫁娶，使获得的礼品最多？7DEF第八页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20238Example2

织物组织的表示1、平纹（表示经线在上）2、斜纹斜纹3、缎纹5枚纬面缎纹第2章线性方程组第九页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/20239Example3（赢得矩阵）（这是对策论的问题）

我国古代有“齐王赛马”的事例，战国时代齐王与其大将田忌赛马，双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛，共赛马3次，每次比赛的败者付给胜者千金。已知在同一等级的比赛中，齐王之马可稳操胜券，但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王的中、下等级的马。齐王与田忌在排列赛马出场顺序时，各可取下列6种策略之一：1(上、中、下)2(中、上、下)3(下、中、上)4(上、下、中)5(中、下、上)6(下、上、中)则可得齐王的赢得矩阵：Goon§1消元法第十页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202310对策论的例

对策也称博弈（Game）,是自古以来的政治家、军事家（现在更多的是经济学家）关注研究的问题。作为一门学科是20世纪40年代形成并发展起来的。1944年冯.诺依曼(VonNeumann)与摩根斯特(O.Morgenstern)合作出版了《博弈论与经济行为》一书，标志着现代系统博弈理论的初步形成。20世纪50年代，纳什(Nash)建立了非合作博弈的“纳什均衡”理论，标志着博弈的新时代开始，是纳什在经济博弈论领域划时代的贡献，是继冯.诺依曼之后最伟大的博弈论大师之一。1994年纳什获得了诺贝尔经济学奖。对策论——研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论

第十一页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202311对策论的例囚犯的两难处境

坦白抵赖坦白5，50.5，20抵赖20，0.51，1

一位富翁在家中被杀，财物被盗。警方抓到两个犯罪嫌疑人，并从他们的住处搜出被害人家中丢失的财物。但是，他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺手牵羊偷了点儿东西。于是警方将两人隔离，分别关在不同的房间进行审讯。由地方检察官分别和每个人单独谈话。检察官给出了上表的政策，囚犯该怎么办呢？他们面临着两难的选择——坦白或抵赖。结果：两人都选择了坦白，各被判刑5年。这个结局被称为“纳什均衡”也称非合作均衡。第十二页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202312对策论的例“纳什均衡”对亚当·斯密的“看不见的手”的原理提出挑战。按照斯密的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。从“纳什均衡”我们引出了“看不见的手”的原理的一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，既不利己也不利他。“纳什均衡”提出的悖论实际上动摇了西方经济学的基石.第十三页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202313Example4

图的矩阵表示邻接矩阵第2章线性方程组Example5求解线性方程组1、是否有解？2、如果有解。无穷多解？唯一解？？第十四页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202314Solution：（消去法化简）①②③④①②③④①②③÷2①②③④②-2①③-2①④-3①③+2④③④+③③+3②③÷14④-3③结论：该方程组有解，且有无穷多解。若④为0=C0则无解同解变换：1、交换方程次序；2、用一个非零数乘某个方程；3、将一个方程的k倍加到另一个方程上。②-5③①-③①-②§1消元法自由未知量第十五页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202315显然线性方程组则上述变换实际上只对方程组的系数和常数进行运算,所以，上述变换完全可以转换为对矩阵B的变换.第2章线性方程组可用增广矩阵表示.第十六页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202316Definition2.2设

A

是

m×n矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）交换A的第i行和第j行的位置，记为；（2）用非零常数

k

乘以

A

的第i行各元素，记为（3）将A

的第i行各元素的k倍加到第j行对应元素，记为注意记号把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义行row列column“r”换成“c”矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换§1消元法第十七页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202317称为行阶梯形矩阵看前例的求解过程:行阶梯形矩阵:

如果矩阵中全为零的行在矩阵的下方,且非零行的第一个非零元素的列标随行标的递增而严格增加称为行最简形矩阵行最简形矩阵:

如果矩阵是一行阶梯形矩阵,且非零行的第一个非零元素为1,这些非零元素所在列的其他元素都为零第2章线性方程组方程组是否有解由此判断由此求解方程组第十八页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202318§1消元法Theorem

2.1任一m×n非零矩阵

A=(aij)

必可通过初等行变换化为行最简形.进一步利用初等列变换可得:称为矩阵B的(等价)标准形Theorem

2.2任一m×n非零矩阵

A=(aij)

必可通过初等变换化为标准形.r=?矩阵的秩proof第十九页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202319第2章线性方程组Theorem

2.2的证明Proof:对A1重复上述步骤,经有限步可使矩阵化为标准形,证毕第二十页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202320§1消元法Example6Solution:用初等行变换将矩阵化为行最简形.第二十一页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202321第2章线性方程组给定一个方程组由m个方程组成，但本质有几个方程呢？Definition2.3

在矩阵

A

中，任取

k行和k

列

(km,kn)，位于这些行列交叉处的k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。Definition2.4

在矩阵A中，有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，那么，数r称为矩阵A的秩(rank).记作秩(A)或R(A),规定R(0)=0

§2矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征.方程组有解吗？第二十二页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202322§2矩阵的秩1、由行列式性质，定义中说r+1阶子式全为零，则所有大于r+1阶子式（如果有）也全为零，所以称

D

为矩阵

A

的最高阶非零子式.显然2、若A有一个非零

k阶子式，则必有.而,表示A有非零k阶子式，但并不说明

A的所有k阶子式全不为零，所以A有一个k阶子式为零不能说明（除非是所有的）第二十三页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202323第2章线性方程组称R(A)=n的n阶方阵A为满秩矩阵；否则，称为降秩矩阵.Example7

求矩阵A=的秩

Solution：在矩阵A中共有4个三阶子式，因A的第一、第二行对应成比例，而任一三阶子式必包含第一、二行所以，所有三阶子式都为零.从而R(A)=2.４、A为n

阶方阵，则第二十四页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202324§2矩阵的秩考察下面两个矩阵的秩对B可经复杂的计算，得R(B)=3而对B1非常容易R(B)=3即非零行数猜想：矩阵经初等变换秩不变如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的B1是阶梯形矩阵第二十五页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202325第2章线性方程组Theorem

2.3初等变换不改变矩阵的秩.Proof:先证A经一次初等行变换变为B，则设

R(A)=r，且

A的某个r阶子式

这是因为A经一次初等行变换变为B，则B也可经一次初等行变换变为A，所以从而既然每一次初等行变换秩不变，则有限次也不变．第二十六页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202326对情形(3)综上,证明了若A经一次初等行变换变为B,则

,

即可知A

经有限次初等行变换变为

B,也成立由于B也可经有限次初等行变换变为A,故也有.因此,§2矩阵的秩类似可证Corollary1

矩阵A的标准形是唯一的.第二十七页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202327Example8

求矩阵A=的秩，并求一个最高阶非零子式.Solution：要有规律说明A0中有3阶非零子式即为所求第2章线性方程组第二十八页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202328Example9设

求矩阵A及矩阵B=(A，b)的秩.Solution：A、B作为方程组的系数、增广矩阵，则无解§2矩阵的秩R(A)与R(B)的关系第二十九页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202329第2章线性方程组§3解线性方程组线性方程组的一般形式为(2.1)式含有m个方程，n个未知量（x1，x2，…，xn）可简记为记A，B=(A，b)分别为线性方程组(2.1)的系数矩阵、增广矩阵.第三十页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202330§3解线性方程组若线性方程组有解,则称该线性方程组相容；否则称为不相容。3.1

非齐次线性方程组解的研究由前面的讨论可知，非齐次线性方程组可用增广矩阵表示；判断方程是否有解？可以通过对系数矩阵、增广矩阵的秩来判断；求解线性方程组可将增广矩阵通过初等行变换化为行最简形进行.可作列变换吗？第三十一页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202331第2章线性方程组Theorem

2.4非齐次线性方程组

(2.1)有解的充分必要条件是它的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等．Corollary1(2.1)

有唯一解的充分必要条件是

R(A)=R(B)=A

的列数．不是没有多余方程Corollary2(2.1)

有无穷多解的充分必要条件是

R(A)=R(B)<A

的列数．求解非齐次线性方程组的步骤：1、化增广矩阵B为行阶梯形，若R(A)<R(B),则方程组无解2、若

R(A)=R(B)=r，则进一步把B化成行最简形，把行最简形中

r

个非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知量，其余

n-r

个取作自由未知量，并令自由未知量分别等于k1,k2,…,kn-r，由B的行最简形，即可得含

n-r个参数的通解。Note:解的表达式不唯一proof第三十二页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202332§3解线性方程组Proof:则

R(A)<R(B)则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,这与(2.1)有解矛盾.Theorem

2.4的证明设(2.1)有解，假如R(A)R(B)所以,R(A)=R(B)设R(A)=R(B)=r(r<n)，则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行，把这r行的第一个非零元素所对应的未知量作为非自由未知量，其余n-r个作为自由未知量，并令其全为零，即得方程组的一个解。第三十三页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202333第2章线性方程组Example10求解方程组

Solution:取x2，x3，x5为自由未知量，令x2=k1，x3=k2，x5=k3

有必要吗?有必要吗?第三十四页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202334§3解线性方程组Example11设线性方程组试就p、t讨论方程组的解的情况。Solution:讨论无解?有解?唯一解?无穷多解?第三十五页，编辑于星期日：一点四十七分。6/22/202