2020贵州省高等数学专升本招生统一考试卷

2020贵州省高等数学专升本招生统一考试卷

高等数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部

分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上，认真核对条形码的姓名、准考证号，并将条形码

粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题部分必须使用

0.5毫米的黑字迹签字笔，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出

答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂

改液、涂改胶条。

第I卷（选择题）

一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分。

在各小题给出的四个选项中，只有一项正确，把该项钱的字

母填在题后的括号内。）

1.下列各组函数相同的是（）

A./(X)=lgf与g(x)=2lgxB/x)=E与g年隹

VX-3Vx-3

C./(%)=V-X4-X3与g(x)=Cx-1口.4)=为与g(x)=7?

2.下列函数为奇函数的是()

A.f(x)=x-x2B./(x)=x(x-lXx+l)

D./(x)=e'+4

e

3.设/(x)=2，+3,-2,当x-0时,有()

A./(x)与％等价无穷小B.f(x)与x同阶但非等

价无穷小

C./Q)是比x高阶的无穷小D./(x)是x低阶的无穷

小

X"x<1

4.设函数/(x)=.0x=l,则为/(x)的()间断点

2-xx>1

A.无穷B.振荡C.跳跃D.可

去

5.若一（X。）存在，则蹲出。+叱"。+2"=（）

A.矿&）-2/&）B.2r（超）

c.-2r（x0）Dia。）-2尸（与）

6.下列函数中，哪个函数在所给定区间内连续且可导（）

A.y=7?,XG（-00,4-00）B.y=G（-00,4-00）

C.y=sinx,xeD.y=W，xe[-1,1]

7.设函数/(x)在/的某个领域内有定义，那么下列选项中哪个

不是了⑴在天处可导的一个充分条件()

A.limJf(x0+口—/(%)]存在B.lim++1存在

[IhJJ/JTOh

C.lim止区Mt也二则存在D.lim[/(/)-/3-刖存在

202h20h

8.已知函数/(%)=加+1衣+1)3,贝以⑴的单调递增区间是()

A.(-00,-1)C.(g,8)D.-1,1

9.已知函数/(x)为可导函数，且尸(x)为/(x)的一个原函数，则

下列关系不成立的是()

A.f(x)dx]=f{x}dxB.«f(x)dx]=f(x)

C.jF\x)dx=F(x)+CD.Jf\x)dx=F(x)+C

10.若/(x)的导数是cosx,则加)的一个原函数是()

A.l+sinxB.1-sinxC.l+cosxD.1-cosx

第II卷（选择题）

二,填空题（本题10个小题，每小题4分，共40分。把答

案填在题中横线上。）

11.设/(x)=lnx,g(x)=*2*绰＜。＜1，则/(g(x))的定义域为

2-x,x＜0

12.双曲线正弦函数的尸巴尸反函数是

aex,x<0

13.已知/（x）="-i,x=o在x=o处连续，则a=,b=

Z?x+I,x>0

14.函数/（x）=l-co〈sinx）的等价无穷小量为（x-0）

2

(x\3

15.设工X+C技，贝1y'L=。=

I7

16.lim（l-x）tan—=__________

Il2

22

17.双曲线£一点=1,在点（2”,而）处的切线方程为

18•方”r2dt

19.N2x-x2dx=

20.心形线r=a(l4-COS。)的长为

三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分。）

21・计算册/支

22.设y=e»求y

23.若打⑴+皿）"，/）可导‘求今

24.计算」黑之公

25.计算：j（x2-l）sin（2x）6fr

26.设/（x）=e2-sinx-arctanr2+,利用函数的奇偶性求

J＞（x-2g的值

四、应用题（本题共2个小题，每小题7分，共14分。）

27.在半径为R的半圆内作一矩形，求怎样的边长使矩形面积

最大。

28.求曲线丁=9_2内=0,》=1.=3所围成平面图形的面积S,并

求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V

五'证明题（本题共2个小题，每小题10分，共20分。）

.X

29.证明：Vxe(-oo,-oo),有arctanx=arcsin—

7177

30.求证不等式2）%J-*心W2e?

机密★启用前

2012年贵州省专升本招生统一考试

高等数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部

分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上，认真核对条形码的姓名、准考证号，并将条形码

粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题部分必须使用

0.5毫米的黑字迹签字笔，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出

答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂

改液、涂改胶条。

第I卷（选择题）

一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分。

在各小题给出的四个选项中，只有一项正确，把该项钱的字

母填在题后的括号内。)

1.函数小)=£的定义域是()

VI-X2

A.(-i,o)U(o,i)B.(-i,i)

C.(-i,o)D.(o,i)

2」而匚如火的极限值是()

5X-9

A.OB.-C.1D.oo

6

3.已知函数/⑴/手(、＜°)则左极限lim/(x)的值是()

x-1(x＞0)

A.-lB.OC.1D.oo

4.已知函数/Q)在x=()点处可导，且满足/(0)=0,limH为=2,则

XT°X

/(x)在x=()点的导数值/(0)是()

A.OB.lC.-1D.2

5已知＞=竽，则微分力应表示为()

Ad\nx-\ndxgdlnx+lnxdx

x2x2

CxdInx-lnDInx+lnAZZV

X2・X2

6.当xfl时，无穷小量e-,与x-l比较是（）的无穷小量

A.较高阶B较低价C.同阶但非等价

D.等价

7.函数/（x）=d_2x2有（）个驻点

A.lB.2C.3D.4

8.已知函数/(X)的一阶导数;(x)连续，则不定积分Jr(-犬粒表

示为()

A.-/(-x)B.-，(-x)+c

C./(-x)D./(-x)+c

9.定积分则尸3是()

A./Q)B./(x)+CC./(x)D./(x)-/(a)

10.设函数/Q)在闭区间［0』上连续，若令r=；x,则定积分

,可化为()

C.4加尔D.2M.

第n卷(非选择题)

二'填空题(本题10个小题，每小题4分，共40分。把答

案填在题中横线上。)

11.已知函数/(w)==l-cosx,则复合函数/(x)=；

12.函数y=ln=的反函数是______________；

x-l

13.已知极限=/,则常数k=_____________________；

Xfkx)

14.函数y=e-+1在点(0,1)处的法线方程是______________；

15.函数f(x)=x\g(x)=cOJS，则复合函数y=/(g'(x))的导数

dy_

~dx~-----------------------；

16.函数y=j?+2x的拐点为;

=l（k<0）,则常数k=______________________;

10x

18.已知一■阶导数（jf（x）dx）=arcsinx,则一■阶导数值

/（。）=；

19J7（eW）=；

20.j『rcsinxdx=°

三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分。）

21.已知函数生）*…仔［求满足不等式4）<2的工

l+log2（x+.（X<1）

的取值范围。

22.计算lim型上

—0sin3x

23.设尸In（而.x）,求今

24.计算］•仁（要求写出解答过程）

Jsin2x

25.计算-l)dx

26.试求函数/（x）=二式匕力在区间M的最小值o

（参考公式：f-J=，arctaT+C）

Jx~+a~aa

四、应用题（本题共3个小题，每小题8分，共24分。）

27.已知直线y=c（C为待定常数）平分由曲线y=d和直线>=1

所围成的平面图形面积，求。的值。

28.求以点（2,0）为圆心，1为半径•的圆绕y轴旋转所形成

的立体体积。

__________________2

（参考公式：J>Ja2-x2dx=17«2-x2+-yarcsin—+c）

29.某产品的成本函数：

C（X）=^X2+6X+100（元/件）：

销售价格与产品的函数关系为：x=-3〃+138。

（1）求总收入函数R（X）

（2）求总利润函数L（%）

（3）为使利润最大化，应销售多少产品？

（4）最大利润是多少?

五、证明题（本题共1个小题，共10分。）

30.设心心（），利用拉格朗日中值定理证明:

a-b八a/a-b

------<In—<-------

abb

机密★使用完毕前

2013年贵州省专升本招生统一考试

高等数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部

分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上，认真核对条形码的姓名、准考证号，并将条形码

粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题部分必须使用

0.5毫米的黑字迹签字笔，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出

答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂

改液、涂改胶条。

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。）

1.函数小”在三的定义域是（）

X-1

A.[-3,3]B.（-3,3）C.[-3,l）U（l,3]D.（-3,1）U（1,3]

的极限值是（）

AB

-7lC。D.OO

3.已知函数/'(x)=i-咄，若小)为无穷小量，则％的趋向必须

X

是()

A..X-^+ooB.X—>—OOC.x-»1D.x—>o

4.已知/(X)=LL,则是()

A.-3eB.--C.-D.-

e3e

22

5.方程〉小二1("0,。＞0)确定变量y为％的函数，则导数2

ax

()

A.qB.一丝「a2xD.与

b2xayb2yax

6.若函数3,为/(x)的一个原函数，则函数/(x)=(:)

A.x3，TB.3'ln3C.—3'+,D.—

x+1In3

.如尸则公=

7(x)=/(x),/43()

A.-2F(-VX)+CB.-F(-VX)+C

X

C.-F(fi)+CD.-|F(-VJC)+C

8.定积分加以()

A.JB.Z+cC./+1D.Z-i

9.已知函数/(x)在点处可导,则卜列极限中()等于导

数尸&)

Alim/(“。+")-/(”。)

/-°2h〃->o2h

QHm+力)-/(题-人)D.］汕/(x°+2〃)-/(x°)

人-02h•hfOh

10.一■阶导数/(arctanWr=()

A.OB.-C.arctanxD.-

21+x2

第II卷(非选择题)

二、填空题(本题共10个小题，每小题4分，共40分。)

3x-sinx

.lim--------=_______________________;

XTOOX

12.已知/(x)=Inx,(p[x}—esA',贝！J复合函数

用城砌----------------；

13.已知极限1而且口本存在，则g_____________________;

12X-2

14.已知函数/(x)在x=3处可导，若极限lim/(x)=-4,则

xf3

/⑶=;

15.曲线在点(0,1)处的切线方程是

______________________________;

16•若jf[x}dx=x2lnx+C9贝Uf(x)=;

17.设y=eaxcosbx,则

dy=；

18.若«)是/(x)的一个原函数，则

Jf[ax+b)dx=;

19.函数y=Y_5/+3x+5的拐点为;

v

20.iimfir=。

三、解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分。）

z3厂-7x+12

(八3x

22.lim1——

X)

2

23.已矢口y=Insinx9

24Jdx

xlnxlnInx

25.|cos\nxdx

26.£TX2|COSX|</X

四、应用题(本题共3个小题，每小题8分，共24分。)

27.求抛物线y=f2+4x_3与其在点(0,-3)和(3,0)处的

切线所围成的图形的面积。

28.求圆盘f+Vw/绕》=_9>〃>0)旋转所成旋转体的体积。

29.某产品总成本。为月产量%的函数:

c(x)=0.25x2+6X+100(元/件)

产品销售价格为P，需求函数为X=MP)=100~2P

(1)求当x=l()时的总成本和边际成本。

(2)求总收入函数，当价格尸为多少时总收入最大？最大

收入为多少?

五、证明题(本题共I个小题，共10分。)

30.设a>。>0,〃>1,证明：

nbn-l(a-b)<aH-hn<nd^(a-b)

机密★使用完毕前

2014年贵州省专升本招生统一考试

高等数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部

分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上，认真核对条形码的姓名、准考证号，并将条形码

粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题部分必须使用

0.5毫米的黑字迹签字笔，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出

答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂

改液、涂改胶条。

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。）

1.函数y=2+ln（3+x）的定义域为（）

X

A.(-3,4w)B.[-3,400)

C.(-3,0)U(0M)D.(0,-FOO)

2.1而3=()

XTOX

A.OB.lC5D.3

3.已知函数y(x)=.+在点x=。处连续，则。的值为(》

2a+l,x=0

A.OB.lC.-lD.±

1

4.已知函数〃x)=ln2x,则/"⑵=()

A」B.lC.--I

224

5.已知函数y=,则dy=()

R1xie'17

A.—iZrelnx+—ax

X

C.ex\nxdxD.1+*x

6.如果广⑴存在，则(p(3/(x)))=()

A.3/Q)B.3/(X)

C.3/〈X)+CD.3/(X)+C

7.Jx2e,Jx=()

A.J+cB.3e『+C

D.Q+C

C.3/

3

8.[3xcos3%cZx=()

Jo

B-iD.J

9.方程6/—3y2=2014确定y是％的函数,则生=()

dx

A.红B，C.2

X2yy

10.lim3妈3=()

102x+x

A.OB.lD.不存

在

11.设明是/（x）的一个原函数,)

A/(arctanx)BF(arctanx)

x2+1x2+1

arctanx)F(arctanx)

c.4D.

,X2+炉（丁+i）2

A/X+1-1

12•若lim---------------=1,则a=()

A-»0sinax

A.-lB.lC-4

第n卷（非选择题）

二'填空题（本题共5个小题，每小题4分,共20分。）

2

]3lim2x-3x+2014

-5x2-2014

14.函数W二图像上点（2,-1）处的切线与坐标轴所围成图

X

形的面积为

15.lim（l+tan2x）A=_________________

16.函数户二的2014阶导数为

a

17.f———dx-

J。x2+1

三、计算题（本题共5个小题，每小题8分，共40分。）

12sin（x-2）

19.已知函数y=lnV^i战，求dy

四、应用题（本题共2个小题，共20分。）

23.（本题满分8分）

把长度为I的铁丝围成如下图所示图形,其顶部为半圆弧,

下部为矩形。问所围成的图形面积最大时，矩形的宽和矩形

的高之比值为多少？

24.(本题满分12分，每小题6分)

已知一曲线C：V=2x和直线/:y=x-4

(1)求曲线。与直线/所围成图形的面积；

(2)求曲线C与直线/所围成图形绕y轴旋转一周生成的旋

转体的体积。

五、证明题(本题共1个小题，共10分。)

25.证明对任意a,b满足o<a<b<^,都有

(b-tz)cosb<sinB—sina<(b-a)co^a成立。

机密★使用完毕前

2016年贵州省专升本招生统一考试

高等数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部

分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无

效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在

答题卡上，认真核对条形码的姓名、准考证号，并将条形码

粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题部分必须使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题部分必须使用

0.5毫米的黑字迹签字笔，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答案区域内作答，超出

答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂

改液、涂改胶条。

第I卷（选择题）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。）

1.复合函数y=s"2x可分解为（）

A.y=u3,u=sin2xB.y=sin3u,u=2x

C.y=w3,u=sinv,v=2xD.y=sinu,w=v3,v=2x

rx,(-1<^<o)

2.函数/(》)=(sinx,(0<x<3)的定义域为()

[1+x,(x>3)

A.[-1,3]B.[-1,400)C.(-1,3)D.(-l,4w)

3.下列变量当JVf4W时为无穷小量的是（）

A.y=e2xB.y=\nx

C.y=sinxD.y=—：—

x+1

4.极限=()

—si2x)

A.eB./C.aD.l

5.函数/（X）在点x0=o处的导数r（o）可定义为（）

/出）+/（0）

AW)以

,AxB.

一3十冽

C—。AxD-0Ax

6.曲线/(x)=ln(x+2)+l在点(-1,1）处的切线方程为（）

2

A.y=x+2B.y=x-

Cy=-x+2D.L1一2

7.已知y=cosx,当x=工,Ax=0.01时，则dy=()

6

A.0.05B.-0.05

C.0.005D.-0.005

8.若函数y(x)的一个原函数为2”,则((》)=()

A.2'In2B.2rln22

T21

C.ln2D.1^2

9.不定积分=则被积函数/(x)=()

A./"vB.e。。“

C.esin'cosxD-nx

10.定积分[[arcsinAZ/X=()

A.OB/csinx

171

C.7T7D.2

第n卷(非选择题)

二'填空题(本大题共10个小题，每题5分，共50分。)

11.由函数y=log5u,u=sinv,n=1-V构成的复合函数为y=

12.极限lim理凸=______________

12元2_4

13•极限limxlnx=_______________________

14.已知函数f(x)可导，若函数y=/(4，则？=

15.已矢口函数了=幺%则6=

16.已知一阶导数⑪(9)‘=口，则一阶导函数值

r(。)=_______________

17.连续函数/（x）4在闭区间上［o,i］上的平均值为

子=__________________

18.不定积分Jxe@=

19.若定积分工急公=1（"0）,则参数a=

20.定积分门sin乂公=

三、计算题（本大题共4个小题，21题6分，22、23、14

题各8分，共30分。）

21.求不定积分J匿公

22.求由方程5也（》+丫）=冲所确定的隐函数的导数y

sin4工/八、

23.已知函数行）=、丁（尤>°）在广0处连续，求常数a

X2+X+26T（X<0）

24已知函数4）=》-|行，求函数的单调区间和极值

四、应用题（本大题共2个小题，每题10分，共20分。）

25.求由曲线y=d与y=f+x-1所围成的图形面积?

26.有一批半径为10cm的球，为了提高球面光洁度，要渡上

一层铜，厚度定为0.01cm,估计一下每只球需要铜多少克？

（铜密度为8.9g/cw?,结果可保留万）

五、证明题（本题共1个小题，共10分。）

27.证明：£x3f（x2）dx-^£V{x}dx（其中a>0）

2011年贵州省专升本招生统一考试

高等数学试卷参考答案

一、选择题

1.［答案］C

【解析】两个函数相同，则它们的定义域、值域相同。

2.［答案］B

【解析1A./(x)=X-X2,/(-X)=-x-{-X)2=-x-X2

B./(x)=X(X-1X-X+1),/(-X)=-x(_X-1X-X+1)=-X(X+1X-V-1)=—f{x)，奇函数

CJ(X)=+J(T)=¥=/(X),偶函数

D./(x)=e'+4J(x)=eT+二=4+",偶函数

eee

3.［答案］B

232

【解析】lim幽=lim--=lim£］n2j^ln3=瓜2+In3Hl

X-*—>()xx->0J

等于1为“等价无穷小”，不等于1或。为“同阶无穷小”

4.［答案］D

［解析］lim/(x)=limx2=1,limf(x)=lim(2-x)=1，

x->rx->r

M/(i)=o,因此ml为“可去间断点”。

5.［答案］D

【解析】应用“洛必达法则”求极限，分子分子同时求导,

直到能求出极限。

小。+£)-/(/+2/02矿(％+h2)-2/a+也

11II12.—11111

0h202h

=1而儿+别_./'(%+2〃)

=..”用/气了〃)」=/，&)_〃卜)

/:->0I

6.［答案］C

【解析】直选法，C选项正确。

函数可导则一定连续，因此只需判断函数是否可导即可。

/(X)在/处可导O£(%)=九'(%)o

Xx>0lx>0

A.f(x)=y=EJ'(x)="/(O)=T"'(O)=l

-xx<0-lx<0

因此在％=0处不可导，同理，可知y=N，xe［-1,1］在％=0处不可

导。

B./M=y=Vx=x3,xe(-oo.+oo),/,(x)=1x3=1-^-,x*0

X3

/⑴在％=0处无定义，因此在x=o处不可导。

7.［答案］B

【解析】根据导数定义/&）=、/（"词一小）进行判断。

AX

［/(x0+//)-/(x0-/z)］_

/（（/（）+/0+力）一/（（/+力））=/,（x））

B.lim—11111

2hh-oh

QHm［/(/+〃)一/(/一刖i+")_/a>)ILim""'A/(7一/?)

•x2h2xh2xh

="(/)+#(/)=/"(%)

D.lim［/0。)7(:一刖=lim［/(/+(-卜)7(/)］二:(x)

8.［答案］C

【解析】r(x)=［(x-l)(x+M=(x+l)3+3(x-1卜+1)2,对于选择题，可

用“排除法”

选出正确的选项。/（X）在区间D内单调递增，贝IJ/Q）在区间D

上恒有r（x）>o

人.当“€（-00,2）/（-2）=（-1）3+3（-3）（-1）2=-10<0,排除A

B.当x1,：］,r（0）=（I》+3（-1\1）2=-2<0,排除B

C.当x€弓,物）J'（l）=（2）3+3（1X2）2=20>0,

D.当xe-1,1，r(0)=(l)3+3(-lXl)2=-2<0,排除D

9.［答案］D

【解析】J/QMx=/(x)+C

10.［答案］A

【解析】(1+sinx)=cosx

二、填空题

11.［答案］-Vi<x<0

【解析】/(x)=lnx的定义域是工>0,因此/(g(x))的定义域是

g(x)>0

2x-5>0,0<x<1x>—,0<x<1

=><2=>—V2<x<0

2

2-x>0,x<0-V2<x<V2,x<0

2

12［答案］y=ln(x+71+x)xG(-oo,-fw)

【解析】-,xe(-00,+00),yG(-00,+00

^L1^2ye^={e

'j：-l=(er)2-2x'=1

2

n(e')-2ye*+V=1+y2n标，一J=i+y="-y=+^l+y

=>ex=y+Jl+y2或/=y-Jl-y?<()(舍去)

y+Jl+ynx=ln(><+Jl+小［y+yji+y2>0)

nx=In

因此，反函数为y=ln卜+匹々')xe(-8,+oo)

13.［答案］a=l,b=2

ae\x<0

【解析】/(%)=<6-1,%=0在％=0处连续,则有lim/(x)=lim/(x)=/(0)

.r->0x->0,

Z?x+l,x>0

lim/(x)=limaex=«,lim/(x)=limfex+l=l,/(0)=/?-l

x-»0-XT。-XT。+XT()+

14」答案]《+&(。为任意常数)

【解析】lim/(x)=lim[l-cos(sinx)]=0;假设该无穷小量为

g(x),limg(x)=0o

X-40

则有哪H

nlim纲=lim应吗4=1

f)g(x)5gQ)

j，mcos(sinx)cosxcosx-sin(sinx)sin(x)_1

=，吧g"(x)

*.*lim[cos(sin%)cos%cosx-sin(sinx)sin(x)]=1

.r^O

,li,g"(x)=1,用1公)=j(x+C)公='+。|%+。2

2

又•••limg(x)=0,r.g(x)=j+C|X

XT。2

15.[答案《

16」答案吗

17.［答案］y—巫+亚一四=0

3a3

22

【解析】令4，y)=5—与一1,根据隐函数求导法则

a~b~

2

dy__f^_4x_2xE

办一F「_2L~a2-1y

biy

dy2-2ab22b26b

---=-------------——=———=-------

dx(2a.75/1)/2•屉y/3a3a

18.［答案］2xe~x*-1ex'

【解析】令/(》)=［］力，则.f'(x)=5；e'%

f\x)=e*F.2x-/(4.2=-2e*。

19.［答案日

［解析1£^2x-x2=£-Jl-(x2-2x+\^dx-£dx

于是做三角代换，令x-l=sint,t€f--=cost，

_2_

f71-(x-l)2cbc=j^^l-(smtfcostdt=j°^.cos2tdt

~~2~2

10101°

——f°7(1+cos2t)dt=—t+—sin2r=—

JV7

242£4£4

22

20.［答案］8a

【解析】心形线一〃(i+cose)为极坐标方程

L=『+(/)2d。=『+2j2ecose+〃,cos2e+(〃sineydO

三、计算题

21.解lim厂=lim普幽=lim8cos(4xg=8&

…Jx+2-J21。15

2，x+2

，

22.解：y=(*""')=.(i+ex+e，\(i+/)

23.解：对等式Z/(x)+?(y)=x2两边对％求导

2yy-/(x)+y•尸(x)+f[y)+xf'(yyy'=2x

=>2y-/-/(x)+#,(y)-y'^2x-y2-f'(x)-f(y)

二，=2x-广/"(x)-/(y)

2W(x)+H(y)

即由=2x-y2.——/(y)

dx2j/(x)+犷(y)

24.解：[孚二小

=je"sine'"d五

=Jsin-de右

=-cos(e^)+C

25.此题需用两次分部积分法

解:j(x2-l)sin(2x)6ir=jx2sin(2x)6tr-Jsin(2x)公

cos2x

=封dx-^sm{lx)dx

2

=-x28s"x+Jxcos(2x)dx-jsin(2x依

+照？"_gJsin(2x)6Zx-jsin(2x)公

cos2xsin2x3r.\.

-2-+1~~------Js\n\2x)dx

cos2xsin2x38「

=-x~--------+x-------+—cos2x+C

224

3x~-x..-

--------cos2xd—sin2x4-C

42J2

26.分析：根据提示“需要用到函数的奇偶性求积分”，那么

积分区间应为对称的，于是做代换。

解：令f=x-2,贝|力=公,-2W/42

£/(x-\)dx=^f(x)dt=Je2・sin/•arctanJ+e“dt

\7

2产2

=je2-sin/•arctanrdt+J'山

产

(1)令g(/)=e2-sinZ•arctanr

(一，)2产

g(T)=e2.sin(-f-arctan(-r)2=-e•sin?•arctan产=—g(。

2

因此g(x)为奇函数，则J；g[x}dt=je2-sin/-arctant2dt=0

(2)J帆dt=21dt=2se'dt=2e[：=2(e2—e0)=2e2—2

因此，29=『"(加=0+2/-2=2/—2o

四、应用题

27.解：设矩形一边长为2%,则另一边长为晚一,面积

S=2xdN-£

S'=2y)R2-x2+2x•—------(-2x)=2^R2-X2--/=2£.士：

令W=o,则x=£,Sm”=2长RDRR_K

22万正―R0

2x=2*=72/?,7/?2-%2R行R

V272

于是,当矩形的边长分别为学时,矩形面积最大。

28.解:画草图如下:

22

(1)S=J[(2x-x)-0^=|2(x-2x]dx=2

（2）平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积丫=匕+匕

y=x2-2x=>y=(x-1)2-1=>^+1=(x-1)2

x=1++\,x>I

nv

x=1-Jy+l,x<1

观察图像可知，x=l+屈1x21

v=匕+匕=乃fj(i+77+1)-4办+^£[3-(1+77+1Jdy

句:(1+y)dy+可：[2-77+1Jdy

0

=7lI\"。+泪(5+>-4历1"

y+416+y)dy-44£历万力

3

=5+市y+、

0

=20万-4万1Jy+1办

令t=《y+l,dt=—,dy=2tdt=dyfi<y<3=>l<r<2

2jy+l,

a2

1*3I-------7J.22，’14

[)yly+\dy=[t-2tdt=-=—

144

丫=匕+匕=20;r—4万•一=-7r

AB33

五、证明题

29.分析：反三角函数较复杂，但是它们的导数却是常见、简

单的函数。

,x

证明：令儿)=arctanx,g(x)=arcsin/

7177

1

/1+Y

1+x2

于是‘f'(x)=g\x)=>jfr[x}dx=Jgf(x)dx=>/(x)=g(x),得证。

30.证明：令/(x)=x2—x,0<x<2

/（X）=1一/一；，则/（z）max=/（2）,/（x）min=„=-；

因止匕一;<f（x）<2=>e4<<e2

[~e4dx<[eMdx<[e2dx

JoJo