第二章轴向拉伸和压缩

第二章轴向拉伸和压缩第一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五§2-1轴向拉伸和压缩的概念§2-2内力·截面法·轴力及轴力图§2-3应力·拉（压）杆内的应力§2-4拉（压）杆的变形·胡克定律§2-5拉（压）杆内的应变能§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-7强度条件·安全因素·许用应力§2-8应力集中的概念第二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五§2-1轴向拉伸和压缩的概念一、实例二、轴向拉压的定义第三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、实例FABC杆AB轴向拉伸杆AC轴向压缩桥梁建筑第四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、轴向拉压的定义作用在杆件上的外力（或外力合力）的作用线与杆件的轴线相重合。FFFF第五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五轴向拉压的条件：1、杆件必须是直杆。2、外力作用线必须通过杆件的轴线。FF偏心拉压第六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、内力§2-2内力·截面法·轴力及轴力图二、截面法·轴力及轴力图第七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、内力内力：研究对象内部各物体之间的作用力外力：研究对象外部的物体对研究对象中各 物体的作用力理论力学中的外力和内力内力：当构件受外力作用时,构件内部任意相连两部分之间所产生的相互作用力外力：构件受其他构件的作用力材料力学中的外力和内力第八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五材料力学中内力的本质:材料相邻两部分之间的原子(或分子)间的吸引力在外力作用下的改变量。内力是材料的内聚力在外力作用下的改变量。内力的说明：

弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力。FFAA第九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、截面法·轴力及轴力图1、截面法2、轴力及轴力图3、例题第十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F1F2F3FNF1FNF3F2F1FRF3M1、截面法第十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五截面法的原理

原先处于平衡状态的构件，用假想截面切开后所得到的两部分仍将处于平衡状态。

从而可对每一部分利用静力平衡条件计算出截面上的作用力-----内力。第十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五在需求内力处，假想用一平面将构件截开分为两部分。保留一段，抛掉另一段。以内力代替弃去部分对保留部分的作用。对保留部分建立平衡方程，计算出内力。截面法的实施过程：切：取：代：平：第十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五2、轴力和轴力图（1）轴力（2）轴力正负号规定（3）轴力图第十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五（1）轴力轴力：杆件受轴向拉压时的内力，记作：FN（2）轴力符号的规定杆件受拉，轴力为正，杆件受压，轴力为负。FFmmFFNFNF第十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五（3）轴力图为了清楚地表示杆内轴力随截面位置的变化规律用平行于杆轴线的坐标来表示横截面的位置；用垂直轴的坐标表示轴力。得到截面位置与轴力的关系图轴力图第十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五3、例题已知：F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，1111F1FN1A作杆件的轴力图。解：用1-1截面将杆件切开，取左半部分，由ABCF1F2F3第十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五112222F1ABF2FN2用2-2截面将杆件切开，取左半部分，由作轴力图如右1.322.62FN（kN）ABCF1F2F3第十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、应力的概念§2-3应力·拉（压）杆内的应力二、拉（压）杆横截面上的应力三、圣维南原理四、变截面拉压杆横截面上的应力五、拉（压）杆斜截面上的应力第十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、应力的概念1、概念2、平均应力3、应力4、正应力和切应力5、应力单位第二十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五利用截面法可以确定杆件的内力，但是杆件的强度并不完全取决于杆件的内力。FFFF材料相同的铁丝和铁杆，在相同的拉力作用下，杆件的内力相同，但强度显然不同。研究表明，构件的强度不是取决于内力，而是取决于应力。1、概念第二十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F1FnF3F2内力—是一个分布力系，利用截面法求得的是该分布力系的合力。

应力—内力在一点的分布集度通俗地说，应力就是单位面积上的内力。第二十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F1

F2C2、平均应力是矢量也是矢量3、应力称为C点的应力F1

F2Cp第二十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F1

F2Cp4、正应力和切应力p可分解为垂直于截面和位于截面内的两个分量正应力

：

垂直于截面的分量切应力：位于截面的分量5、应力的单位第二十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、拉压杆横截面上的应力1、等截面拉压杆横截面上的应力2、例题第二十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五考察杆件变形1、等截面拉压杆横截面上的应力第二十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五变形前原为平面的横截面,变形后将仍保持为平面并仍垂直于轴线。平面假设:PP第二十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五由平面假设可推知，杆件受轴向拉压时其横截面上的内力是一个均匀分布力系，横截面上各点的正应力都相同。第二十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五FFN由第二十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五已知：杆的横截面为矩形，尺寸为b*h=10*20mm，求：杆件中最大拉应力和最大压应力ABCD6kN18kN8kN4kNbh2、例题第三十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五4FN（kN）612ABCD6kN18kN8kN4kNbh解：由轴力图可知，最大拉应力位于AB段最大压应力位于BC段第三十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五pbpdδ已知：薄壁圆环，长度为b，内径d=200mm，壁厚δ=5mm，承受p=2MPa的内压力作用。求：圆环径向截面上的拉应力第三十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五θdθpy将钢环截开，取上半部为研究对象得：第三十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五三、圣维南原理作用在弹性体某一区域的外力系可以用它的等效力系来代替，代替后，只会对原力系作用区域附近的应力分布产生明显的影响，对距离较远处的影响很小，可以忽略。FFFF11221122第三十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五四、变截面拉压杆横截面上的应力对于变截面拉压杆，当截面变化比较缓慢时，上述公式将仍可近似使用。不过公式变为：Fx第三十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五五、轴向拉压时斜截面上的应力1、斜截面上的应力的计算公式2、正应力和切应力的概念3、讨论第三十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五FFmm1、斜截面上的应力的计算公式轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式为：FFNnFFkkα现研究拉压杆任意斜截面k--k上应力FFα用k-k截面将杆件切开，取左半部分，k-k截面上的内力为：第三十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五nFFkkαFFα斜截面k—k的面积为：显然，斜截面k--k上应力也是均匀分布的第三十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五将向斜截面k—k的法向和切向分解，得：F第三十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F2、正应力和切应力的概念正应力：垂直于截面的应力符号规定：拉应力为正，压应力为负。切应力：位于截面内的应力符号规定：绕分离体顺时针转向为正。(+)()第四十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五3、讨论nFFkkαF横截面上正应力最大，切应力等于0。斜截面上切应力达到其最大值平行于轴线的纵截面上无应力。第四十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五§2-4拉（压）杆的变形·胡克定律一、纵向变形和横向变形的概念二、纵向线应变和胡克定律三、拉压杆轴向变形四、横向线应变和泊松比五、变截面直杆纵向变形的计算六、杆件结构的变形的计算第四十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五第四十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五纵向变形：FF杆件沿轴线方向的变形横向变形：杆件沿垂直于轴线方向的变形lb一、纵向变形和横向变形的概念第四十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、纵向线应变和胡克定律线应变：在指定方向上，单位长度的伸长量纵向线应变：沿轴线方向的线应变FFlb第四十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五FFlb对于大多数工程材料的小应变阶段，可认为应力与应变成正比。胡克定律E

——材料的弹性模量第四十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五得：解得：EA杆的抗拉（抗压）刚度拉压杆轴向变形的胡克定律三、拉压杆轴向变形将代入上式，第四十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五四、横向线应变和泊松比横向线应变：沿垂直于轴线方向的线应变FFlbFF第四十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五试验表明,对于小应变阶段,横向正应变ε’与纵向线应变ε的比数的绝对值ν是一个材料常数,称为材料的泊松比。显然，泊松比v是一个正数。常用材料的E，ν的数值可见p19上的表2-1。FFlbFF第四十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五五、变截面直杆纵向变形的计算1、阶梯形直杆FF分段计算，然后求代数和2、连续性变截面直杆Fxdx第五十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五例题：已知：F1=10kN，F2=20kN，F3=10kN，F1F3ABCF2ABC杆为圆杆，直径d=10mm求：（1）杆的伸长（2）BC段变形后的直径钢材的第五十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F1F3ABCF210FN（kN）10解：作杆的轴力图杆的横截面面积第五十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五F1F3ABCF210FN（kN）10第五十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五六、杆件结构的变形的计算现通过一个实例进行说明已知：BC杆为圆钢，直径d=20mm，长度为1.2m，BD杆为8号槽钢，长度为1.6m，F=60kN，求：（1）校核结构的强度（2）计算B点的位移材料的

FBCD34第五十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五解：1、受力分析，取研究对象如图FBCD34BFα第五十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五2、校核强度BC杆的横截面面积AC杆的横截面面积由于所以结构安全FBCD34BFα第五十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五FBCD343、计算B点位移BC杆的伸长为：AC杆的缩短为：B1B2第五十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五FBCD34B1B2理论上说，B点最后位置的确定方法为：以C为圆心，CB1为半径作圆，以D为圆心，DB2为半径作圆，两圆弧的交点，即为B点最后位置。显然，用此方法，计算非常麻烦。根据小变形假设：可以用切线代替圆弧。

B3BB1B2B3第五十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五FBCD34B1B2

B3BB1B2B3由变形图，可以得到：B点的位移的大小为：B4第五十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五§2-5轴向拉压杆的应变能一、应变能的定义二、轴向拉压杆的应变能三、轴向拉压杆的应变能密度四、例题第六十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、应变能的定义构件在外力作用下,因变形而储存的能量。第六十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、轴向拉压杆的应变能FFdFF1F外力功：当力由F增大到F+ΔF时当力增大到F1时第六十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五外力功：功能原理:构件的应变能等于外力功当杆件上受拉力(压力)F1时,杆件中所储存的应变能为:应变能等于载荷-变形曲线下方图形的面积。FF1F1FFdF第六十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五应变能等于载荷-变形曲线中所围图形的面积FF1FF对于线弹性材料，或者由拉压杆轴向变形的胡克定律轴向拉压杆的应变能为：第六十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五三、轴向拉压杆的应变能密度应变能密度：单位体积材料中所储存的应变能应变能密度等于应力-应变曲线下方图形的面积σ1σσdσ第六十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五应变能密度等于应力-应变曲线下方图形的面积。对于线弹性材料，或者σ1σσdσ由胡克定律，第六十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五已知：BC杆为圆钢，直径d=20mm，长度为1.2m，BD杆为8号槽钢，长度为1.6m，F=60kN。求：计算B点的垂直位移。FBCD34四、例题第六十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五解：取研究对象如图FBCD34BFα由功能原理，结构的应变能等于外力功计算两杆的内力，第六十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五BC杆的横截面面积AC杆的横截面面积FBCD34B1B2

B3第六十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五解得：与小变形结果相同。FBCD34B1B2

B3由:第七十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五§2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能一、实验方法（GB228-87）二、低碳钢的拉伸性能三、其他塑性材料的拉伸性能四、脆性材料（铸铁）的拉伸性能五、金属材料低碳钢的压缩性能六、几种非金属材料的力学性能第七十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五为了计算构件强度,除需对构件进行应力分析外,还需要了解材料本身的抗载能力,即需要了解材料的力学性能（机械性能）。材料的力学性能只能通过实验方法获得。一、实验方法（GB228-87）1、实验条件2、拉伸试件3、压缩试件4、试验机第七十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五ld1、实验条件2、拉伸试件FFl---标距长度长试件短试件常温、静载圆截面试件如下图所示第七十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五3、压缩试件（1）短的圆柱体dh（2）矩形块bbl第七十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五4、试验机第七十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五万能材料试验机第七十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、低碳钢的拉伸性能1、F—Δl曲线（载荷—变形曲线）2、σ—ε

曲线（应力—应变曲线）3、延伸率和断面收缩率4、卸载规律5、冷作硬化第七十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五韧性金属材料PbPsPePpPΔl1、F—Δl

曲线（载荷—变形曲线）低碳钢:含C<

0.3%第七十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五韧性金属材料ABDGHC2、σ—ε

曲线（应力—应变曲线）将F—Δl曲线横坐标改为：得到σ—ε

曲线。纵坐标改为：该曲线分为四个阶段Ⅰ、ＯAB－弹性阶段Ⅱ、BD－屈服阶段Ⅲ、DG－强化阶段Ⅳ、GH－颈缩阶段ⅠⅡⅢⅣ第七十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五（1）ＯAB－弹性阶段ＯA－σ和应变ε成正比关系，当时：记为：Ｅ:称为材料的弹性模量钢材的－比例极限胡克定律韧性金属材料ABDGHCⅠⅡⅢⅣ第八十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五ＯAB－－弹性极限当时：变形可完全恢复，材料是完全弹性的

由于弹性极限和比例极限相差很小，工程中近似将A和B视为同一点。－比例极限ＯA－韧性金属材料ABDGHCⅠⅡⅢⅣ第八十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五韧性金属材料ABCGH（2）BC－屈服阶段材料屈服现象:应力增加不大,而应变显著增大的现象。屈服应力屈服阶段中最小的应力值第八十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五滑移线:材料屈服时,光滑试件表面将出现与轴线方向成的条纹线。滑移线是由最大切应力引起的,由于达到时,材料将发生显著的变形,工程上是不允许的,所以,是衡量材料强度的重要指标。材料屈服是由最大切应力引起的第八十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五（3）DG－强化阶段屈服阶段以后，随着变形的增加，应力也将增大。强化阶段最高点的应力强度极限（强度极限）是材料所能承受的最大应力，所以,也是衡量材料强度的重要指标。韧性金属材料ABDGHCⅠⅡⅢⅣ第八十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五（4）GH－颈缩阶段超过G点以后，变形集中发生在试件的某一区域，该区域的截面急剧减小，直至断裂。韧性金属材料ABDGHCⅠⅡⅢⅣ第八十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五3、延伸率和断面收缩率延伸率：标距原长试件断裂后标距间的长度断面收缩率：试件原来的横截面面积试件断裂后的横截面面积都是材料的塑性指标工程中规定：塑性材料脆性材料第八十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五4、卸载规律当时，卸载时沿原路返回。Oe：总应变d’e：弹性变形Od’：塑性变形韧性金属材料ABDGHCⅠⅡⅢⅣdd’e当时，卸载规律沿着dd’，。第八十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五5、冷作硬化再次加载时，加载规律沿着d’d，材料加载超过屈服极限后卸载，则材料将变硬、变脆的现象。建筑工程中的钢筋均需要举行冷作硬化。韧性金属材料ABDGHCⅠⅡⅢⅣdd’e第八十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五三、其他塑性材料的拉伸性能e/%s/MPa30铬锰硅钢50钢硬铝共同的特点：1、都有明显的弹性阶段2、都有较大的塑性变形第八十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五s0.2－名义屈服极限3、多数材料屈服阶段不明显条件屈服极限无法直接得到材料的屈服极限—塑性应变等于0.2％时的应力值第九十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五四、脆性材料（铸铁）的拉伸性能2、拉伸曲线是一条微弯曲线，没有直线阶段，没有屈服阶段，也没有颈缩阶段。1、延伸率很小，3、断口垂直于轴线，断裂是由于最大拉应力造成的。4、仅有一个强度指标：第九十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五五、金属材料低碳钢的压缩性能起始阶段与拉伸相同，与拉伸相同屈服阶段以后，试件压扁，横截面增大，承载能力增大。1、低碳钢的压缩性能第九十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五2、铸铁的压缩性能（1）压缩时的远高于拉伸时的（2）断裂面与轴线大约成，夹角，断裂是由于最大切应力造成的。脆性材料的抗压性能远高于其抗拉性能，常用来制造抗压构件。第九十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五六、几种非金属材料的力学性能试件为标准立方体受压试件1、混凝土、石料都是脆性材料，一般均用作受压构件。bbb第九十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五试件的破坏形式与端面的润滑情况有关端面润滑：良好端面润滑：差第九十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五混凝土的压缩曲线如图混凝土的标号是根据其压缩强度来标定的。

混凝土的弹性模量E定义为时割线的斜率。混凝土的抗拉强度很低，仅为其抗压强度的对于钢筋混凝土，认为拉伸仅由钢筋承受。第九十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五2、木材木材是典型的各向异性材料。木材的组织结构对于平行于木纹方向（顺纹）以及垂直于木纹方向（横纹）具有对称性。木材是正交各向异性材料。力学性能有三根相互垂直的对称轴。第九十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五松木的拉压曲线如图木材顺纹拉伸强度最高，性能不稳定。木材横纹拉伸强度很低，避免使用。木材顺纹压缩强度低于顺纹拉伸强度。但是性能稳定。常用。木材横纹压缩强度低于顺纹压缩强度。但是性能稳定。也常使用。第九十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五§2-7强度条件·安全因数·许用应力一、失效的概念与分类二、工作应力五、强度条件的应用六、例题三、极限应力和许用应力四、拉压杆的强度条件第九十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五一、失效的概念与分类失效—由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能的现象。强度失效：脆性材料：断裂塑性材料：屈服刚度失效：由于弹性变形超过允许范围引起的失效。屈曲失效：由于平衡丧失稳定性而引起的失效。其他失效：疲劳失效，蠕变失效，松弛失效等等。现仅研究强度失效。第一百页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五二、工作应力构件在载荷作用下,内部产生的应力。工作应力取决于构件的尺寸，形状和载荷，与材料无关。对于轴向拉压杆，工作应力为：第一百零一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五三、极限应力和许用应力1、极限应力脆性材料：塑性材料：2、许用应力脆性材料：塑性材料：安全因素通常：工作应力：取决于构件的尺寸，形状和所受载荷，与构件的材料无关。极限应力和许用应力：是材料本身的性质，由实验测得，与构件的尺寸，形状和所受载荷大小无关。第一百零二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五四、拉压杆的强度条件构件中的最大工作应力不能超过材料的许用应力第一百零三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五五、强度条件的应用利用强度条件可以解决三类工程问题:1、校核构件的强度已知：外载荷、构件尺寸，材料性能，要求校核构件的强度。2、设计构件的尺寸已知：外载荷、材料性能，要求设计构件的尺寸。3、确定已有构件的最大承载能力已知：构件尺寸、材料性能，要求确定构件能承受的最大载荷。第一百零四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期五已知：三角架受力如图，材料的求：校核