第二章导数微分以及应用

第二章导数微分以及应用第一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五听课要求：1.参考教材是知识体系的最大范围，而考试范围仅仅是教材的子集，对于（数一，二，三）要求是有差异的，并非教材上都是考点，即使考点也有主次之分，搞清楚主次有利于时间的利用率和复习重心的把握。2.上课记笔记回去可以找到依据来进一步消化3.以课堂讲授的概念为重点来消化知识和构建自己的知识体系，课后训练的习题均应以此为主线来选取强化理解，切不可偏离主线。第二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五授课提纲：

本章知识结构图表章节内容在考研中的知识点分布章节学习内容串讲配合习题讲解答疑第三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五一元函数微分学及其应用第四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五第二章

一元函数微分学及其应用第五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五数学一，二，三考研大纲中涉及本章知识点分布：理解导数和微分的概念与关系函数的可导性与连续性之间的关系导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程法线方程导数的物理意义，会用导数描述一些物理量

导数的经济意义（含边际与弹性的概念）（数三）基本初等函数的求导公式，导数四则运算法则，会求复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的导数，分段函数的导数，利用一阶微分形式的不变性求函数的微分以及逆向凑微分．高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．第六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．会用导数判断函数图形的凹凸性（会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．（数一，数二）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．第七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

近10年考研试题中与本章有关联的题型

第二章一元函数微分学

题型1与函数导数或微分概念和性质相关的命题辨析（选择题）题型2函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定题型3函数在某点处的可导性及导函数的连续性，分段函数在分段点的可导性判断题型4求各种形式函数（包括复合函数、隐函数等）的导数题型5某些实际问题利用提炼导数模型来求解题型6函数性态（极值点、拐点、曲线的渐近线方程等）判定与求解题型7求一元函数在一点的切线方程或法线方程题型8求已知曲线的曲率（数二）题型9经济学中弹性相关的计算（数三）题型10函数单调性等性态的判断或讨论

题型11证明不等式题型12证明某一区间至少存在一个点或两个点使某个式子成立题型13证明方程根的唯一性第八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五学习内容串讲：函数的几种表达形式：显函数形式反函数形式分段函数形式极限形式隐函数形式一般参数形式极坐标参数形式变限积分形式级数形式复合结构抽象函数其他形式第九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五第十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五第十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五一，导数的实际问题的模型1.变速直线运动的速度设质点运动函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为第十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五2.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线（割线MN

的极限位置MT）(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率第十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题第十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.第十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五1.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度2.曲线在M

点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.就说函数的导数为无穷大.也称在则前面的实际问题模型均可以用导数的表达式进行改写第十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五导函数的定义

如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作易见求导函数的步骤(1)求增量(2)算比值(3)求极限第十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例1.求函数的导数.解:则即类似可证得第十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五基本求导公式

第十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五单侧导数1.左导数:2.右导数:函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数

第二十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五.练习：判断是非(是：非：)：√×

√√√×第二十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五.√×√第二十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五......第二十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五解:

因为4.

设存在,且求所以第二十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例2.若且存在,求解:原式=且联想到凑导数的定义式机动目录上页下页返回结束第二十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五三、函数的可导性与连续性的关系：定理1.证:设在点x处可导,存在,因此其中故在点x

连续.注意:

函数在点x连续未必可导.反例:在

x=0处连续,

但不可导.即第二十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五解：例3.讨论函数在x=0处不可导在x=0处的连续性和可导性第二十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五设解:又例4.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.机动目录上页下页返回结束第二十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五解例5.即第二十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例6.设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.第三十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例7.设试确定常数a,b

使f(x)

处处可导,并求解:得即机动目录上页下页返回结束第三十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五是否为连续函数?判别:机动目录上页下页返回结束第三十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例8:试确定常数之值,使函数在=0处可导。解()在=0处可导的必要条件:是()在=0处连续即故当时,在处连续第三十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五又因故当时,即存在解方程组得故当时,在

处可导第三十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五三、导数的几何意义1.几何意义切线方程为法线方程为第三十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

解

所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程

所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

,例9.求等边双曲线在点处的切线的斜率第三十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例10.

问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线第三十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五小结：1.导数的实质:2.导数的几何意义:3.可导必连续,但连续不一定可导;不连续,一定不可导.4.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.增量比的极限;切线的斜率;法线的斜率第三十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则函数的求导运算四、基本求导法则与导数公式第三十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五基本初等函数的导数第四十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五0–sinx–cscxcotxnxn–10........导数基本公式练习第四十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五导数基本公式练习cosx.......0.第四十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五四则运算求导法则

定理2.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x

可导,且则推论:(C为常数)第四十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

解

例1

例2

y=ex

(sinx+cosx)求y

=2excosx

解

y=(ex)(sinx+cosx)+e

x

(sinx+cosx)=e

x(sinx+cosx)+e

x(cosx

-sinx)求导法则

第四十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五反函数的求导法则

定理3.y的某邻域内单调可导,则第四十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

例3.

求(arcsinx)

解

因为y=arcsinx是x=siny的反函数所以反函数的求导法则:第四十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五...第四十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五在点x

可导,复合函数求导法则定理4.在点可导.复合函数且在点x

可导,则第四十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例如,关键:

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.第四十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五.–200复合函数求导练习.......第五十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五..........复合函数求导练习.第五十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

解

复合函数的求导法则:

例5

第五十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

例6复合函数的求导法则:例7

解

解

第五十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五1.导数的四则运算法则(C为常数)3.复合函数求导法则2.反函数求导法则

总结第五十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例8.求解:由于第五十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例9.

设求解:第五十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例10.

若存在,求的导数.这两个记号含义不同第五十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例11.设求解:方法1

利用导数定义.方法2

利用求导公式.第五十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的概念高阶导数第五十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称第六十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五所以y3y10

证明

例1

证明:

函数22xxy=满足关系式013=+¢¢yy.

第六十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五设存在，求下列函数的二阶导数解:（1）例2.（1）（2）（2）第六十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五设求解:依次类推,例3.可得

n

阶导数第六十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例4.设求解:特别有:解:规定0!=1例5.设求第六十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例6.设求解:一般地,类似可证:第六十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例7.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数第六十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五高阶导数的运算法则都有n

阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)

公式及设函数第六十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例8.求解:

设则代入莱布尼兹公式,得第六十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式总结：高阶导数的求法第六十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五常用高阶导数公式：第七十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例9.

如何求下列函数的

n

阶导数?解:解:(3)解:第七十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数

隐函数和参数方程求导三、相关变化率第七十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五一、隐函数的导数显函数与隐函数

形如yf(x)的函数称为显函数

例如

ysinx

ylnxex

都是显函数

由方程F(x

y)0所确的函数称为隐函数

把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化

例如方程xy310确定的隐函数为

隐函数的求导法

把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.第七十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例1

求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数

(ey)(xy)(e)(0)

即eyyy+xy0

方程中每一项对x求导得解

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在

x0处的导数y|x0

因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得解

第七十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例3.求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即第七十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五解

上式两边再对x求导得的二阶导数

例4

方程两边对x求导得第七十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五y

f(x)[lnf(x)]

对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数

设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)

两边对x

求导得对数求导法第七十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例5

求yxsinx

(x>0)的导数

解法二

这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.

解法一

上式两边对x

求导得两边取对数得lnysinxlnx

yxsinxesinx·lnx

第七十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五上式两边对x求导得说明

严格来说本题应分x4

x12x3三种情况讨论

但结果都是一样的

例6

先在两边取对数得

解

第七十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则二、由参数方程所确定的函数的导数

îíì==)()(设y与x的函数关系是由参数方程tytxyj确定的.

第八十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

解

例7.

求椭圆îíì==tbytaxsincos在相应于4

p=t点处的切线方程.

adx4所求切线的斜率为bdyt-==p.

第八十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五..参数方程的一、二阶导数解:第八十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例9.

设求例10.设,且求解:解:第八十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五的函数yf(x)的二阶导数

解

(t2np

n为整数)

例11．计算由摆线的参数方程îíì-=-=)cos1()sin(tayttax所确定

第八十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例12.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,得故机动目录上页下页返回结束第八十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五机动目录上页下页返回结束第八十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

用定义.写成分段函数再求导.含绝对值符号的函数怎么求导？在分段点处怎么求导？.分段函数的求导第八十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第八十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例14.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:

设气球上升t

分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,第八十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、微分的几何意义一、微分的概念

函数的微分三、微分的运算法则第九十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,第九十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五当|Dx|很小时

|Dydy|比|Dx|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段

Dy是曲线上点的纵坐标的增量;

dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标的增量.当x从x0变到x0+Dx时二、微分的几何意义则有从而导数也叫作微商自变量的微分,记作记第九十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五d(xm)mxm1dx

d(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

d(tanx)sec2xdx

d(cotx)csc2xdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

d(a

x)ax

lnadx

d(e

x)exdx

(xm)mxm1

(sinx)cosx

(cosx)sinx(tanx)sec2

x

(cotx)csc2x

(secx)secxtanx

(cscx)cscxcotx

(a

x)ax

lna

(e

x)ex微分公式:

导数公式:

1.基本初等函数的微分公式三、微分的基本公式和运算法则第九十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五微分公式:

导数公式:

第九十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五2、微分的四则运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变3.复合函数的微分则复合函数第九十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五在求复合函数的导数时可以不写出中间变量

例1

ysin(2x1)求dy

2cos(2x1)dx

cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sinu)cosudu若yf(u)

uj(x)

则dyf

(u)du

解

把2x1看成中间变量u则

例2

解

第九十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例3.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例4.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.第九十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五练习1.第九十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五总结：导数与微分的概念(1)导数与微分的实质各是什么？它们的关系及区别是什么？它们的区别：从x,y的比值出发得导数概念；从y的近似值出发得微分概念。导数是函数平均变化率的极限。微分是函数的局部线性化。它们的关系：函数在x点可导函数在x点可微.第九十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五一元函数y=f(x)在点x=a处：

a.有定义b.有极限c.连续

d.可导e.可微等五个命题之间有什么关系？将它们的序号填入空格：单向箭头都不可逆，试举反例。decab.第一百页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五导数的应用一、求曲线的切线方程与法线方程二、函数的增减性与极值定理：设在内有定义且可导（1）若对任意的有，则在内单调递增；（2）若对任意的有，则在内单调递减。定理（极值的必要条件）设在点处可导，且为极值点，则。定理（极值的第一充分条件）设在点的某邻域内可导，且，则第一百零一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五（1）若时，且时，，则为的极大值点；（2）若时，且时，，则为的极小值点；（3）若在的两侧同号，则不是的极值点。定理（极值的第二充分条件）设在点处二阶可导且，则（1）若，则为的极大值点；（2）若，则为的极小值点；（3）若，则此方法失效。求函数单调区间和极值的步骤：（1）求的定义域；（2）求导数，令求出驻点，并求导数不存在的点（如果有的话）第一百零二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五（3）驻点和导数不存在的点将定义域划分为若干个区间，列表讨论函数在这些区间内的符号，从而求出单调区间和极值。三、函数的最值求函数在某个区间上的最大值和最小值的一般方法是：（1）求出在内所有可能的极值点（驻点、导数不存在的点）；（2）求出上述各点和端点对应的函数值，其中最大的就是函数在此区间上的最大值，最小的就是函数在此区间上的最小值。四、曲线的凹凸性1、定义定理：设在内二阶可导（1）若对任意的，有，则曲线弧上凹；第一百零三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五（2）若对任意的，有，则曲线弧下凹。2、拐点：曲线弧上的上凹和下凹的分界点称为曲线的拐点求函数的凹凸区间和拐点的一般方法是：（1）求定义域；（2）求一阶、二阶导数，并求出二阶导数等于零的点；（3）求出二阶导数不存在的点（如果有的话）；（4）上述各点将定义域划分成若干个区间，列表讨论各区间内二阶导数的符号，从而求出函数的凹凸区间和拐点。3、渐进线（1）水平渐进线：若，则是曲线的水平渐进线；（2）垂直渐进线：若，则是曲线的垂直渐进线；第一百零四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五（3）斜渐进线：若，则直线是曲线的斜渐进线，其中第一百零五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五2.切线与法线方程如果函数在点处可导,则曲线在点的切线方程为如果为无穷大,切线方程为曲线在点的法线方程为第一百零六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五一、函数单调性的判定法定理1

设函数f(x)在[a

b]上连续在(a,b)内可导

(1)如果在(a

b)内f

(x)>0则f(x)在[a

b]上单调增加

(2)如果在(a

b)内f

(x)<0则f(x)在[a

b]上单调减少

第一百零七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五函数yexx1的定义域为(

)

因为在(0)内y<0所以函数yexx1在(0]上单调减少

因为在(0

)内y>0所以函数yexx1在[0

)上单调增加

解

yex1

例1

讨论函数yex

x1的单调性

解

函数的定义域为(

)

所以函数在[0

)上单调增加

因为x>0时

y>0

所以函数在(0]上单调减少

因为x<0时

y<0

例2

讨论函数32xy=的单调性.

332xy=¢(x¹0),

函数在x=0处不可导.

第一百零八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

(1)确定函数的定义域

(2)求出导数f

(x)

(3)求出f

(x)全部零点和不可导点

(4)判断或列表判断

(5)综合结论

确定函数单调区间的步骤例3.

确定函数的单调区间.解:令得利用划分函数的定义域,列表讨论.第一百零九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例3.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为第一百一十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五因为当x>1时

f

(x)>0所以f(x)在[1

)上f(x)单调增加因此当x>1时

f(x)>f(1)=0即

例4.

证明:

当x>1时,

xx132->.

)13(2)(xxxf--=证明:

令,

则

也就是xx132->(x>1).

第一百一十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例5.证明时,成立不等式证:

令从而因此且第一百一十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方第一百一十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五定义.

设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点第一百一十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五观察与思考

观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.定理2(曲线凹凸性的判定法)设f(x)在[a

b]上连续在(a

b)内具有二阶导数.

若在(ab)内f

(x)>0

则f(x)在[ab]上的图形是凹的

若在(ab)内f

(x)<0

则f(x)在[ab]上的图形是凸的

第一百一十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

例6

判断曲线yx3的凹凸性

解

y3x2

y6x

由y0

得x0.

因为当x<0时

y<0

所以曲线在(0]内是凸的

因为当x>0时

y>0

所以曲线在[0

)内是凹的

(0,0)是曲线的拐点.设f(x)在[a

b]上连续在(a

b)内具有二阶导数.

若在(ab)内f

(x)>0

则f(x)在[ab]上的图形是凹的

若在(ab)内f

(x)<0

则f(x)在[ab]上的图形是凸的

定理2(曲线凹凸性的判定法)第一百一十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例7.

判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.注:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,第一百一十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例8.

求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸第一百一十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例9.

求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第一百一十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例10.

证明不等式证明设则当n>1时;在(0,+∞)所以在(0,+∞)内,f(t)是凹函数,所以对于任意的x,y

满足有即所以第一百二十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点第一百二十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.设在第一百二十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;证明:当时，有提示:令,则

3.第一百二十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五的连续性及导函数例4.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为

;极小值点为

;极大值点为

.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为

;第一百二十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

.在区间

上是凸弧;拐点为提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间

上是凹弧;则函数

f(x)的图(2)

设函数的图形如图所示,第一百二十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题第一百二十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五函数的极值设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义如果对于任意xU(x0)有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0))

则称f(x0)是函数

f(x)的一个极大值(或极小值)。x1x2x3x4x5函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数的极值及其求法

对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.函数的极值是函数的局部性质.第一百二十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五设函数f(x)在点x0处可导,且在x0处取得极值,那么f

(x0)0.驻点使导数f

(x)为零的点(方程f

(x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.定理1(必要条件)思考:

极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？思考:

极值点不一定是驻点.如y=|x|,x=0是极值点,但不可导驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.第一百二十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五定理2

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,点击图中任意处动画播放\暂停确定极值点和极值的步骤

(1)求出导数f

(x);(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点;(3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f

(x)的符号;(4)确定出函数的所有极值点和极值.第一百二十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例1.

求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为第一百三十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五定理3

(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:

(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.第一百三十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例2

求函数f(x)(x21)31的极值

解f

(x)6x(x21)2

令f

(x)0求得驻点x11

x20

x31

f

(x)6(x21)(5x21)

因为f

(0)60所以f(x)在x0处取得极小值极小值为f(0)0

因为f

(1)f

(1)0

所以用定理3无法判别因为在1的左右邻域内f

(x)0所以f(x)在1处没有极值同理

f(x)在1处也没有极值

第一百三十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:

由题意应有又取得极大值为求出该极值,并指出它是极大例3第一百三十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、最大值与最小值问题

则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:若函数f(x)在闭区间[a

b]上连续

(1)求出函数f(x)在(a

b)内的驻点和不可导点设这此点为x1

x2

xn;

(2)计算函数值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在[a

b]上的最大值最小者是函数f(x)在[a

b]上的最小值

特别:

当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大(小)值,则也是最大(大)值.

对应用问题,有时可根据实际意义判别求出.第一百三十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例4.

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.第一百三十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五(k为某一常数)例5.

铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:

设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,第一百三十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例6.假设某工厂生产某产品x千件的成本是售出该产品x件的收入是解:

由题意，售出x千件产品的利润是即令而在得发生局部处达到最大利润，又故在问是否存在一个能取得最大利润生产水平？若存在，找出这个水平.解得最大亏损.第一百三十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值第一百三十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五一、曲线的渐近线无渐近线.点M

与某一直线L的距离趋于0,定义.

若曲线

C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C

的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”第一百三十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.

求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.第一百四十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五2.斜渐近线斜渐近线若第一百四十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例2.

求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.第一百四十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径第一百四十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五曲线的基点与正向

设函数f(x)在区间(a

b)内具有连续导数在曲线yf(x)上取固定点M0(x0

y0)作为度量弧长的基点并规定依x增大的方向作为曲线的正向

一、弧微分有向弧段的值MM0(弧)如下

s的绝对值等于这弧段的长度当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0

相反时s<0

s<0对曲线上任一点M(x

y)

MM0(规定有向弧段的值s(简称s>0第一百四十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五上的对应点为M

N

并设对应于x的增量Dx

弧s的增量为Ds.因为当Dx0时

Ds~

MN又Dx与Ds同号所以由此得弧微分公式:

或者弧微分公式设x

xDx为(a

b)内两个邻近的点它们在曲线yf(x)第一百四十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．)弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大1、曲率的定义))二、曲率及其计算公式问题:怎样刻画曲线的弯曲程度？提示：

可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.第一百四十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M

开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点

M

处的曲率注:

直线上任意点处的曲率为0!转角为第一百四十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例1.

求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:

如图所示,可见:R

愈小,则K

愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R

愈大,则K

愈小,圆弧弯曲得愈小.第一百四十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由第一百四十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五注:参数方程下曲率的计算第一百五十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

例2

计算等边双曲线xy1在点(1,1)处的曲率.曲线在点(11)处的曲率为因此y|x11

y|x12解

第一百五十一页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例3

抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？

解

由yax2bxc

得

y2axb

y2a

代入曲率公式得显然当2axb0时曲率最大

因此抛物线在顶点处的曲率最大此处K|2a|

第一百五十二页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例4.求椭圆在t=0处的曲率.解:故曲率为在t=0处,即在点(a,0)的曲率为第一百五十三页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五三、曲率圆与曲率半径设M

为曲线C

上任一点,在点在曲线把以D为中心,R

为半径的圆叫做曲线在点

M

处的曲率圆(密切圆),R

叫做曲率半径,D

叫做曲率中心.在点M

处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D

使第一百五十四页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.注:

2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).

3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).第一百五十五页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径第一百五十六页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

谢谢大家！第一百五十七页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五

提问时间：10分钟第一百五十八页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五边际与弹性问题一、边际分析

19世纪中后叶，勒翁·瓦尔拉斯和杰文斯提出“边际效用理论”的经济学，格森和门格尔也致力于这种理论的研究并获得了很大成果。后来经济学家发现，“边际”就是数学中的“导数”或“偏导数”。例如：

定义

总成本函数C(Q)的导数C′(Q)称为边际成本函数，也记作MC；总收入函数R(Q)的导数R′(Q)称为边际收入函数，也记作MR；总利润函数L(Q)的导数L′(Q)称为边际利润函数，也记作ML。

显然有L′(Q)=R′(Q)-

C′(Q)。第一百五十九页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五例

设某产品的总成本函数为C(Q)=400+3Q+0.5Q2。而需求量(产量)Q与价格p的关系为和边际利润。

答案练习某酸乳酪商行发现酸乳酪的收入函数和成本函数分别为单位为千升，C(Q)、R(Q)的单位为千元，求边际成本、边际收入和边际利润。

答案第一百六十页，共一百七十一页，编辑于2023年，星期五对于多元函数，同样称其偏导数为边际函数。

设甲、乙两种商品，他们的价格分别为p1和p2，需求量Q1和Q2由价格p1和p2和消费者的