第五章等参数单元

第五章等参数单元第一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元第一节位移模式和形函数一、位移模式在前面几章中已阐明位移模式就是：单元内任意一点的位移，被表述为其坐标的函数。在平面问题的单元中，任一点的位移分量可用下列多项式表示：第二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元为了使有限元的解能够收敛于精确解，任何单元的位移模式都必须满足以下三个条件：（1）位移模式中必须包括反应刚体位移的常数项。（2）位移模式中必须包括反应常应变的线性位移项。（3）位移模式必须能保证单元之间位移的连续性。第三页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元第四页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元连续性分析：第五页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元二、形函数在前面几章经过推倒将位移模式表示成：形函数应满足下列两个条件：掌握了形函数的上述特点，就可以直接写出其表达式，而不必再由位移分量的多项式方程推导出来，在下面分析等参数单元时，将直接用形函数表述。第六页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元母单元首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形状简单且规整的单元，我们称之为母单元。

1.一维母单元采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下：1）线性单元（2结点）21-110(a)线性单元第七页，共七十四页，编辑于2023年，星期四1-12013(b)二次单元等参数单元3）三次单元（4结点）图5-1一维母单元图5-1一维母单元2）二次单元（3结点）第八页，共七十四页，编辑于2023年，星期四如图5-2所示，坐标原点在单位形心上。单元边界是四条直线：，。为保证用形函数定义的未知量在相邻单元之间的连续性，单元结点数目应与形函数阶次相适应。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边的结点数分别为两个、三个和四个。除四个交点外，其他结点位于各边的二分点或三分点上。等参数单元2.二维母单元二维母单元是平面中的2×2正方形返回1111+££-+££-hx第九页，共七十四页，编辑于2023年，星期四图5-2二维母单元(a)线性单元1234等参数单元1)线性单元（4结点）以上形函数也可以合并表示为（i=1,2,3,4）其中第十页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元2)二次单元（8结点）角点：边中点：（i=1,2,3,4）（i=5,6）(8-9)（i=7,8）(b)二次单元12348756第十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元3)三次单元（12结点）角点：（i=1,2,3,4）边三分点：（i=5,6,7,8）(8-10)（i=9,10,11,12）第十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四图5-3三维母单元(a)线性单元(b)二次单元732145689101112131415161819201758732146等参数单元3.三维母单元三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。单元结点在角点及各边的等分点上。1)线性单元（8结点）返回第十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元2)二次单元（20结点）角点：典型边中点：(8-12)3)三次单元（32结点）角点：典型边中点：(8-13)返回第十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期四第二节等参数元的概念等参数单元在平面问题的有限元中，最简单的单元是三节点的三角形单元，由于这种单元中的应变及应力是常数，而通常计算对象的应力场又往往随坐标而急剧变化，所以在应用常应变的三角形单元时，必须划分大量的微小单元，才能得到较好的计算精度，因而用三节点三角形单元算题时，往往节点数最多，原始输入数据庞大。四节点的矩形单元能够比三角形单元更好的反映实际应力变化，但它不能适府曲线边界和非直角的直线边界，也不便随意改变大小。所以上述的两种单元都有其不足之处。第十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元如果有任意四边形单元，如图(a)所示就可以克服矩形单元之不足，但是这种单元的位移模式如何能否满足前面所述的条体则是本节要解决的问题。第十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元在图（a)中的任意四边形单元上，作连接对边中点的直线，称之为及，取其交点为原点，并令四边上的坐标值分别为1，就得出一新坐标系，称之为单元的局部坐标系。将局部坐标系改画成直角坐标系，则图(a)中的任意四边形单元就变成图(b)所示的正方形单元。第十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元这正方形单元的位移模式是：而其中形函数为：由图（b）可知第十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元假如图(a)中的任意四边形单元能用上式的位移模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正方形单元的局部坐标()。根据形函数的两条性质：第十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期四或改写成：同样可得：

等参数单元显然在四个节点处，上式所示的关系无疑是成立的现在要证明在四条边上，这关系也是正确的。以1—2边为例，在此边上局部坐标＝-1，代入，得等号左边(x,y)是整体坐标，等号右边()是局部坐标，因此上式被称为坐标变换式。第二十页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元通常称局部坐标的正方形单元为母单元或基本单元，称整体坐标的任意四边形单元为子单元或实际单元。描述位移和描述坐标都采用相同形函数，所以这种单元称为等参数单元。第二十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元1.平面坐标变换在整体坐标系中，子单元内任一点的坐标用形函数表示如下(8-14)其中，N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。返回第二十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四31-1120(a)线性单元123(b)二次单元等参数单元图5-4一维单元的平面坐标变换返回图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。第二十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期四（a）母单元（b）子单元图5-5二维单元的平面坐标变换1234875623154678等参数单元返回图5-5表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形，子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即相邻单元是连续的。第二十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期四7=1=1=1321456891011121314151618192017=-1=-1=-1xyz12345681091112131415161817192070等参数单元（a）母单元（b）子单元图5-6空间坐标变换返回第二十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元2.空间坐标变换空间坐标变换公式如下其中：N是用局部坐标表示的形函数，(x,y,z)为结点i的整体坐标。经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线；原来的平面将变成空间曲面；而原来的空间正六面体则将变成曲面六面体，如图5-6所示。同样可证明相邻子单元在整体坐标下是连续的。返回第二十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元3.两类坐标系的关系以上坐标变换式给出了局部坐标和整体坐标之间的一一对应关系。如果给定了局部坐标的值，则可以求出整体坐标的对应值，反之亦然。从图形变换的角度看，和可以分别看成是母单元和子单元这两个不同单元的坐标系，它们都是直角坐标系。而从另一角度看，和又可以看成是同一单元（子单元）的两种不同的坐标系。是子单元的直角坐标系，而可看成是子单元的曲线坐标系。可以看出始终扮演同一角色，即子单元的直角坐标；而则扮演两种角色，它既是母单元的直角坐标，又是子单元的曲线坐标。在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐标系在整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。返回第二十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元而曲线坐标系则只适用于单个独立的子单元，所以称为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单元分析中采用。现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标为例：根据复合函数的求导法则，有上式可写成矩阵形式返回第二十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期四其中：[J]称为雅可比（Jacobi）矩阵

式（8-17）表示的是由和推导，的变换式，其逆变换式为

等参数单元返回第二十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元其中，[J]-1是[J]的逆阵返回第三十页，共七十四页，编辑于2023年，星期四第三节平面等参元等参数单元平面问题的常用等参元有四结点四边形单元、八结点曲边四边形单元和6~8可变结点曲边四边形单元等，本节以八结点曲边四边形等参元为例介绍平面问题分析过程。一、母单元八结点曲边四边形等参元的母单元是二维二次单元。八个结点分别为正方形的四个角点和四个边中点，母单元采用直角坐标系（ξ,η）。如图5-7所示。单元的位移模式为其中，ui和vi是结点i的位移。返回第三十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四图5-8等参元1234875623154678等参数单元图5-7母单元返回第三十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元二、等参元等参元的整体坐标为直角坐标（x,y）。等参元的任意指定的八个结点的整体坐标值分别为（xi,yi），（i=1,2,…,8），如图5-8所示。采用坐标变换可使母单元的八个结点与等参元的八个结点（xi,yi）一一对应。整体坐标和局部坐标的变换式为(8-34)其中：是母单元的形函数。根据等参元的思想，等参元的位移模式仍取为：返回第三十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元(8-35)这样，就确定了平面八结点曲边四边形等参元的几何形状和位移模式。在实际应用中需要注意以下几个问题：1）在划分单元时，只需确定单元结点的整体坐标值，而不必画出其抛物线形状的边界。因为在计算中实际使用的只有单元八个结点在整体坐标下的位置坐标（xi,yi）（i=1,2,…,8）。2）在划分单元和布置结点时，单元的各边长度相差不能太大；各边上结点间距应尽量均匀，以减少计算误差。3）为了计算简单，当求解区域为曲线边界时，只将位于边界的单元取为曲边四边形，而内部单元仍然划分为直边四边形。这样，即能较好地处理曲边边界，又能提高单元内部插值的精度。第三十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元三、单元分析将八结点曲边四边形等参元的位移模式代入平面问题的几何方程，便得到单元应变分量的计算式其中：是单元的结点位移列阵(i=1,2,…,8)返回第三十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元是单元应变矩阵(i=1,2,…,8)由于，形函数是局部坐标的函数。因此，需要进行偏导数的变换返回第三十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元其中，由式（8-20）给出根据坐标变换式可知返回第三十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元而以上各式中的和，可由式（8-9）分别对偏微分而求得。这样就把和转化成了局部坐标的函数，从而求的应变矩阵[B]和单元应变[ε]。将单元应变代入平面问题的物理方程式，就得到平面八结点等参元的应力列阵（i=1,2,…,8）式中，[S]为应力矩阵返回第三十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元利用虚功原理可以得到其单刚矩阵式中，t为单元厚度。把（8-43）式写成分块矩阵，可分成8×8个子矩阵，每个子矩阵都是2×2阶矩阵，即返回第三十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期四应该指出，上式是对ξ和η的重积分，尽管其积分区域十分简单，但其被积函数却比较复杂，需要采用数值积分法求解（通常是采用高斯积分法）。等参数单元其中子矩阵返回第四十页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元四、等效结点载荷整体结构结点载荷列阵是通过将作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到结点后，经过组集得到1.集中力的等效结点载荷设单元任意点c作用有集中载荷，则移置到单元各有关结点上的等效结点载荷为式中(Ni)c是形函数Ni在集中力作用点c处的取值，可通过以下返回第四十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元步骤计算：1）根据作用点c的整体坐标，得到其局部坐标。式中：均为已知数。解此联立方程式就得到c点的局部坐标。2）将局部坐标代入式（8-9），得到c点的形函数值(Ni)c。实际计算时，应尽量把集中力作用点取为结点，从而把载荷直接加在该结点上。返回第四十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元2.体积力的等效结点载荷3.表面力的等效结点载荷设单元上作用的体力为，则移置到单元各有关结点上的等效载荷为式中：t为单元厚度。设单元的某边界上作用的表面力为，则这条边上三个结点的等效载荷为式中Γ是单元作用有面力的边界域；ds是边界域内的微段弧返回第四十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期四长；t是单元厚度。上式中，面力是以分量qx和qy形式给出的，使用时不太方便。在实际结构上往往给出的是沿单元曲线边界的法向和切向的面力qn和qt。因此，需要对式（8-50）进行适当的修改。现规定：法向面力qn以沿边界曲线的外法线方向为负，切向面力以沿单元受载边界方向前进使单元保持在左侧为正。如图5-9所示，其中的qn和qt都是正的。qt12347568xy0等参数单元图5-9面力载荷示意图返回第四十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元设图6-9所示的八结点平面等参元的边界上受面力qn和qt，且qt与x轴的夹角为θ，则qn得与x轴的夹角为θ-90°。由图5-9可知所以(8-51)代入式（8-50），得(8-52)返回第四十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元对于图5-9所示得等参元的边界，其局部坐标η=1，ξ是变化的，因此代入式（8-52），得(8-53)上式中Ni，及都是关于ξ的复杂函数，因此也要用数值积分法（常用高斯积分法）来求解。有了单元的等效结点载荷列阵和刚度矩阵，经叠加建立结构刚度方程，再考虑结构的约束条件，可求解出离散结构上各结点的位移分量列阵和各单元的结点位移分量列阵。再根据式（8-36）和式（8-41）便可以求得单元的应变和应力。返回第四十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期四第四节空间等参元等参数单元一、20结点三维等参元很多实际工程结构属于空间三维问题，在有限元分析中可以采用空间等参元。空间等参元的原理及推导方法与平面问题是类似的。空间等参元有8结点任意六面体单元、20结点三维单元和8-21可变结点三维单元等。本节讨论一种应用较广的空间等参元──20结点三维等参元。20结点三维等参元的母单元是边长为2的20结点正方体单元，通过坐标变换得到边界为曲面和曲边的六面体子单元，如图5-10所示。返回第四十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期四图5-1020结点空间等参数单元xyz123456810911121314151618171920707321456891011121314151618192017（a）（b）等参数单元返回第四十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元根据等参元的概念，位移函数和几何坐标变换式应采用相同的形函数。20结点三维等参元的坐标变换关系可表示为(8-54)单元的位移函数可表示为(8-55)返回第四十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元式中：和分别为结点i的位移值和整体坐标值。对于单元的二十个结点分别写出二十个形函数，如式（8-12）所示。也可以合并成一个统一的表达式如下(8-56)式中其中，ξi，ηi及ζi是结点i在ξηζ局部坐标系中的坐标。例如，结点1的局部坐标是（-1，-1，-1），结点5的坐标是（-1，-1，1）等。返回第五十页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元二、单元分析

根据几何方程，可以得到单元应变列阵(8-57)返回第五十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元其中：[B]是单元的应变矩阵，其分块形式(8-58)上式中的形函数Ni是局部坐标的函数。对整体坐标求导时，返回第五十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元类似于平面问题，根据复合函数求导数的规则，有以下关系式(8-59)(8-60)其中[J]为三维雅可比矩阵，其表达式为返回第五十三页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元式中(8-61)上式中的等可以通过对式（8-56）求到得到返回第五十四页，共七十四页，编辑于2023年，星期四利用式（8-59）可求出等参数单元返回第五十五页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元其中，是雅可比矩阵的逆矩阵。将单元应变代入空间问题的物理方程式，就得到单元的应力(8-63)式中，[S]为应力矩阵（i=1,2,…,20）(8-64)(8-62)返回第五十六页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元利用虚功原理可以得到其单刚矩阵(8-65)其中子矩阵(8-66)单刚矩阵的每个元素其被积函数都很复杂，必须采用数值积分（常用高斯求积法）求解。得到每个元素后，按直接刚度法叠加成整体刚度矩阵。返回第五十七页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元三、等效结点载荷与平面问题相似，整体结构结点载荷列阵也是通过将作用在单元上的集中力，表面力和体积力分别等效移置到结点后，经过组集得到(8-67)

1.集中力的等效结点载荷如果三维等参元上任意点c作用有集中力，则移置到单元各有关结点上的等效结点载荷为(8-68)式中：(Ni)c是形函数Ni在集中力作用点c处的取值，需通过类返回第五十八页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元似二维等参元的处理步骤，先计算得到c点局部坐标值，再得到形函数的取值。在实际有限元计算时，在划分网格时应尽量把集中力作用点取为结点，从而把载荷直接加在该结点上。2.体积力的等效结点载荷设单元上作用的体力为，则移置到单元各有关结点上的等效载荷为(8-69)返回第五十九页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元3.表面力的等效结点载荷设单元的某边界面上作用的表面力为，则这个边界面上有关结点的等效载荷为(8-70)式中Γ是单元作用有面力的边界域；ds是边界域内的微分面积。设结构中的那个边界面S上受到面力作用。该曲面在整体坐标下的参数方程可由坐标变换式直接写出(8-71)返回第六十页，共七十四页，编辑于2023年，星期四等参数单元在局部坐标系中，该曲面的方程为。曲面上任一点的切平面由下述两个相切的矢量组成。式中，i，j，k分别为x，y，z方向的单位矢量。上述两矢量的矢量积所得到的新矢量为c返回第六十一页，共七十四页，编辑于2023年，星期四微分面积ds就是由矢量dξ和dη所构成的平行四边形面积，其大小为两矢量矢量积的绝对值。面积ds为等参数单元(8-72)式中将式（6-72）代入式（6-70），就得到表面力的等效结点载荷返回第六十二页，共七十四页，编辑于2023年，星期四实际工程结构中，面力往往是垂直作用在边界面上的，这时的面力向量{q}变成了边界面上的法向载荷。设n表示边界面的外法线单位向量，q0是单位面积上的面力，则n的表达式为等参数单元其它表面受到面力作用时，其算