第五章非线性

第五章非线性第一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第五章非线性模型在现实社会经济活动中，经济变量之间的数量依存关系类型复杂，有些表现为线性关系，但更为普遍的则表现为非线性依存关系。第二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第五章非线性模型第一节一元曲线方程的种类第二节曲线方程的线性化第三节案例第三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第一节一元曲线方程的种类

一、双曲线方程（倒数模型）Yt=bo+b1——+ut

1Xtbo>0,b1>0bo>0,b1<00XY双曲线方程图象或——=bo+b1—+ut

1Yt

1Xt函数形式：第四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四倒数模型的基本特征：随着X的无限增大，Y将趋于极限值b0（或1/b0）即有一个渐进的下限或上限。现实经济活动中有些现象（如平均固定成本曲线、商品成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等）都有类似的变动规律。可以运用倒数模型来进行描述。第五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四二、双对数函数方程（对数模型）方程形式：对数模型的基本特点：斜率b直接度量了Y对X的弹性。lnY=a+blnX表示X变化1%，Y将变动b%如果X表示商品本身的价格，则b就是需求价格弹性如果X表示替代商品的价格，则b就是需求交叉弹性如果X表示消费者的收入水平，则b就是需求收入弹性在生产函数中，还可以表示劳动产出弹性、资金的产出弹性。第六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四三、对数函数方程（半对数模型）Y=a+blnXlnY=a+b

XY0Xab>0a>0b<0对数函数图象函数形式：第七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Y=a+blnX对数—线性模型参数b的经济意义：表示X变每动1%，Y将变动b个单位。lnY=a+b

X线性—对数模型参数b的经济意义：表示X每变动1个单位，Y将变动100b%。第八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四四、多项式函数方程YXbo

b3>0

b3<00Y=bo+b1X+b2X2+b3X3多项式函数图象YX0Y=bo+b1X+b2X2第九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四总成本曲线图形Y=bo+b1X+b2X2+b3X3第十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四五、逻辑曲线产品生长周期：产品生产量随着时间变化的过程，开始阶段发展较慢，接着是急剧增长，然后是平稳发展的周期，最后达到饱和状态，其轨迹形成一条“S”型曲线。YX0KK2

K1+a第十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第二节曲线方程的线性化一、直接代换法直接代换法适用于变量之间的关系虽然是非线性的，但因变量与参数之间的关系却是线性的非线性模型。——=bo+b1——+ut

1Yt

1Xt令Y*=——，X*=——

1Xt

1YtYt*=bo+b1Xt*+ut得双曲线方程第十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Y=bo+b1X+b2X2+b3X3令X2=X2，X3=X3得Y=bo+b1X+b2X2+b3X3

从而将一元3次方程转化为三元1次方程。多项式函数方程第十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四二、间接代换法当经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形式，需要先通过方程两边取对数后再进行变量代换，转化为线性形式，这种方法称为间接代换法。对方程两边取对数，得：

lnY=lnA+alnL+blnK

令Y*=lnY，A*=lnA，L*=lnL，K*=lnK则Y*=A*+a

L*+

b

K*柯布——道格拉斯方程第十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四逻辑曲线方程第十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第四节案例案例1

根据平均成本U型曲线理论，成本函数可用产量的三次多项式近似表示。利用某企业的总成本和产量的统计资料，建立某企业的总成本模型和平均成本模型。第十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四总成本模型平均成本模型第二十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四案例2某家用电器需求量的统计资料第四节案例第二十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第二十二页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第二十三页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第二十四页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第二十五页，共三十七页，编辑于2023年，星期四第二十六页，共三十七页，编辑于2023年，星期四案例3柯布—道格拉斯生产函数第四节案例第二十七页，共三十七页，编辑于2023年，星期四柯布—道格拉斯生产函数特征(1)柯布—道格拉斯生产函数是阶齐次函数。假定所有投入都明确作为可变投入对待，比例报酬参数(即函数系数)就等于各项投入的b值之和。(2)各项投入的生产弹性恒为常量，且为各投入要素的b值。第二十八页，共三十七页，编辑于2023年，星期四柯布—道格拉斯生产函数特征(3)所有的投入都必须大于0。由于柯布—道格拉斯生产函数是乘积函数，缺少任何一项投入都将导致总产出为0，这个特点就限制了其使用范围。在应用柯布—道格拉斯生产函数时一定要注意。(4)柯布—道格拉斯生产函数没有最大值存在。当函数系数大于1时，产出值以递增的速率增加；当函数系数等于1时，产出值以固定的速率增加；当函数系数小于1时，产出值以递减的速率增加。第二十九页，共三十七页，编辑于2023年，星期四柯布—道格拉斯生产函数的应用(1)弹性值分析(2)边际值分析(3)测定科技进步率第三十页，共三十七页，编辑于2023年，星期四Y=A0eδtKαLβ第三十一页，共三十七页，编辑于2023年，星期四——产出年均增长率——资本投入年均增长率——劳动投入年均增长率——技术进步率第三十二页，共三十七