第五章梁弯曲时的位移含能量法教学

第五章梁弯曲时的位移含能量法教学第一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五一.概述第五章梁弯曲时的位移三.挠曲线近似微分方程四.叠加法计算梁的位移六.梁的刚度计算二.梁的位移─挠度及转角五.能量法I-静定结构变形计算第二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五一.概述1.工程实践中的弯曲变形问题在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。

在另外一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。★变形过大的不利影响（工程实例）第三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五

●摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。摇臂钻床(自重、钻头等约束力影响）第四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五

●桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。

●传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。第五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五

●车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。★变形的有利方面（工程实例）

●求解超静定问题。第六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五二.梁的位移─挠度及转角挠度w：横截面形心处的铅垂位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度。梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形??第七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五xy挠度w：横截面形心处的铅垂位移。转角：横截面绕中性轴转过的角度。挠曲线挠曲线(deflectioncurve):变形后的轴线。第八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五★工程实例控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移第九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五★工程中测量挠度的方法、仪器精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、光电方法等第十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五三.挠曲线近似微分方程1.挠曲线方程(deflectionequation)xy挠曲线挠曲线方程：转角方程：第十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五

曲线

w=f(x)的曲率为梁纯弯曲时曲率由几何关系得第十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？考虑小变形条件：第十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？第十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五思考:与小挠度微分方程相对应的坐标系为？（）xxxyyy(a)(b)(c)教材中采用（a)图坐标系第十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五2.积分法求弯曲变形式中积分常数C、D由边界条件确定●弯矩方程不分段时●弯矩方程分n段时，积分常数个数为2n由边界条件确定的方程需要2n个方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大第十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五光滑连续条件：FC边界条件√××约束条件:两端铰处挠度为零。第十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）边界条件第十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五固定端约束对位移的影响：B处转角、挠度?连续光滑曲线边界条件第十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。第二十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：由边界条件：得：第二十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五最大转角和最大挠度：θAθB（↓）（）★转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。第二十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。第二十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：由边界条件：得：第二十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB第二十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五另解：边界条件：第二十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：θB第二十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。第二十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：由边界条件：得：由对称条件：得：思考：?第二十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：第三十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五四.用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。第三十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法化成可查表形式。第三十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五逐段刚化法：变形后：ABAB`

BCB`C`C点的位移为：wc第三十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五第三十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例4.用叠加法求第三十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361（）（）（）第三十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例5.若图示梁B端的转角θB=0，求力偶矩m和P的关系？第三十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：第三十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例6.求外伸梁C处的位移。LaCABP解：ABCP刚化EI=PCfc1BC引起的位移θc1刚化AB第三十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五刚化BC，

AB部分引起的位移CABP刚化EI=fc2θB2PPaθB2第四十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例7.求图示变截面梁B、C截面的挠度。第四十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：第四十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。第四十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五Ⅳ、图形互乘法（★★★★★）Ⅱ、卡氏第二定理Ⅲ、单位力法（★★★★★）五.能量法I-静定结构变形计算Ⅰ、杆件的应变能第四十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能(又称变形能)。

Ⅰ、杆件的应变能物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即第四十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五★杆件应变能计算1、轴向拉伸和压缩一般地第四十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五2、扭转一般地第四十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五3、弯曲一般地纯弯曲：第四十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五横力弯曲时剪力影响：一般地第四十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。长梁应变能：组合变形应变能：第五十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五

对于线弹性体，其应变能对某一荷载的偏导数，等于该荷载的相应位移Δi。用卡氏第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取附加力法。Ⅱ、卡氏第二定理第五十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度计算梁截面转角计算梁的截面挠度第五十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例8弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作用，不计剪力对变形影响。用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端A处转角。BAl解：A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。任意截面弯矩为第五十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五()请课后完成A处挠度的计算第五十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例9图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力F作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅垂位移。ACBFaa第五十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五ACBF解：1.计算C处铅垂位移任意截面弯矩方程,轴力方程为第五十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五(

)2.计算C处水平位移(

)请同学课后完成水平位移的计算第五十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例10.求中点C的位移。考虑如何用叠加法有一定难度，用能量法解很容易。第五十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：因BC弯曲刚度无穷大，只要对AC段考虑第五十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五Ⅲ、单位力法（单位载荷法）对于梁,弯矩应用完全叠加法表示应用卡氏第二定理应变能第六十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五对于梁,有莫尔积分对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程对应于原结构的弯矩方程。●计算梁截面转角时,加单位力偶矩1●计算梁截面挠度时,加单位集中力1第六十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五对于组合变形时,推广为对于平面桁架对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程第六十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例11.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI,受力大小为F,计算自由端B处挠度和转角。第六十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：1.计算B处挠度(

)第六十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五2.计算B处转角()第六十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例12.图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力F作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA。求截面C的铅垂位移。ACBFaa第六十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五ACBF解：原结构任意截面弯矩方程,轴力方程为ACB1单位力结构相应内力方程为第六十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五第六十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五Ⅳ、图形互乘法在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列形式的积分：对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分第六十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五直杆图必定是直线或折线。第七十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五图分段面积图形心图中对应于C下纵坐标第七十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五在平面刚架,组合结构时，用下列形式计算注意:分段必须为直线段★在取面积的图中找形心,另图找对应的纵坐标M分段为直线段时,也可以★找纵坐标的图必须为直线段

第七十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五顶点顶点二次抛物线★参考用图

第七十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例13.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI,受分布力集度为q,计算自由端B处转角。原结构单位力结构第七十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：1.画M图2.画图,设单位力偶顺时针3.图乘第七十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五思考：如何计算B处挠度?原结构单位力结构第七十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五第七十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例14.求中点C的位移。前面例10用卡氏第二定理解过，现用图乘法解。第七十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五法1（回顾）解：因BC弯曲刚度无穷大，只要对AC段考虑第七十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五法2图乘法只要图乘左段ACAC第八十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例15.图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力F作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA。求截面C的铅垂位移。ACBFaa（例12用单位力法求解）第八十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：1.画M，FN图FFaFaFa(0)(-F)1aaa(0)(-1)2.画

，

图3.图乘第八十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常工作时的要求。五、梁的刚度计算刚度条件：第八十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五例16.图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[w]=l／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷[P]，并校核强度。第八十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五解：由刚度条件故满足强度条件第八十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五●提高弯曲刚度的措施

影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。①增大梁的抗弯刚度EI；②减小跨度或增加支承；③改变加载方式和支座位置。第八十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五选择题练习第八十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五1、钢筋緾绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力()。①

、与圆滚筒的半径无关②

、与圆滚筒的半径成正比③

、与圆滚筒的半径近似成反比④

、与圆滚筒的半径严格成反比③分析：第八十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五2、等刚度梁发生平面平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在()处。①

、转角最大②

、挠度最大③

、剪力最大④

、弯矩最大④分析：第八十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五3、与小挠度微分方程相对应的坐标系为（）？xy(a)xy(b)xy(c)①、(a)和(c)(d)xy②

、(a)和(b)③

、(a)和(d)④

、(c)和(d)②分析：y坐标向下为右边负号第九十页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五4、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为()。①

、弯矩方程和挠曲线方程可只分二段②、C处连续条件为：挠度和转角连续。③、A处边界条件为、：挠度为零，转角不为零④

、弯矩方程和挠曲线方程必须分三段④第九十一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五5、等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线()。②①

、按二次积分法为圆弧②

、实际为圆弧③

、按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似④

、以上均不对分析：按积分法为抛物线因微分方程近似而得第九十二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五6.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（）。AB①

、2倍②

、4倍③

、8倍④

、16倍③分析：第九十三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五7.不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端，如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（）。AB①

、2倍②

、4倍③

、8倍④

、16倍分析：①第九十四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五ABC8.弯曲刚度为EI梁，正确说法为（）。①、A、B、C处转角相等②、B、C处转角不相等③、B处挠度为C处的二倍④、B处和C处转角相同④第九十五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五9.弯曲刚度为EI的梁，B处转角等于（）。①、②、③、④、ABC②第九十六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五10.图示力偶矩,则梁B端的转角为（）。①、②、③、④、①第九十七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五11.一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下，自由端的挠度与（）。①

、梁的长度成正比②

、梁的长度的平方成正比③

、梁的长度的立方成正比④

、梁的长度的四次方成正比④分析：第九十八页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五11.简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下，跨中在相同的外力作用下，二者的（）不同。①

、最大挠度②

、最大转角③

、约束反力④

、最大正应力分析：③

显然不选;①、②性质上并列④第九十九页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五分析：第一百页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五12.一水平梁的挠曲线方程为则（）。①、梁的弯矩图为圆弧部分②、梁的弯矩图为抛物线部分③

、梁的弯矩图为斜直线④、以上均不对④第一百零一页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五13.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI,受力大小为F,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。第一百零二页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五(↓)第一百零三页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五第一百零四页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五14.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI,受力如图

,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。第一百零五页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五第一百零六页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五叠加法第一百零七页，共一百一十五页，编辑于2023年，星期五15.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI,受力如图

,用卡氏第二定理计算自由端B处挠度时，有