第二章静电场分析

第二章静电场分析第一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.1电场强度与电位函数

电场强度电位函数库仑定律电偶极子第二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.1.1库仑定律

库仑定律（Coulom‘sLaw）是静电现象的基本实验定律，表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力。第三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.1.2电场强度1、点电荷的电场强度设q为位于点S(x’,y’,z’)处的点电荷，在其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt，根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（ＥelectricFieldIntensity）定义为当空间中同时有n个点电荷时，场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场强度的矢量和，即第四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例：两个点电荷位于（1，0，0）和（0，1，0），带电量分别为20nC和-20nC，求（0，0，1）点处的电场强度第五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.分布电荷的电场强度（1）线电荷（2）面电荷（3）体电荷线电荷密度（ChargeLineDensity）：当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小）上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷当电荷分布在一个表面上时，定义面电荷密度为单位面积上的电荷面电荷密度（ChargeArealDensity）：体电荷密度（ChargeVolumeDensity）：第六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

分布电荷所产生的电场强度设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体积元dV′，其电荷量dq=ρV(r)dV′，将其视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为电场强度的矢量积分公式第七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

例有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷,如下图所示，求线外一点的电场强度。

有限长直线电荷的电场

无限长线电荷的场

第八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四解题思路（步骤）：1.根据电荷分布形状，以及它与所求点电场之间的相对位置关系，选择并建立坐标系。2.确定源点、场点，及其位置矢量，距离矢量。3.代入电场强度计算式，确定积分上下限，求解。例2.2一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，面电荷密度为，求z轴上任意一点的电场强度第九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.1.3电位函数在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为“—”负号的物理意义：电位的增加总是朝着抗拒电场强度的方向；电场强度的方向总是垂直于电位面，并从电位高处指向电位低处。第十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算球内外的电位与电场强度。

孤立带电导体球的场

带电导体球的场分布

第十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

电偶极子是指相距很近的两个等值异号的电荷。2.1.4电偶极子定义电偶极矩矢量的大小为p=qd，方向由负电荷指向正电荷，即

则P点的电位可以写成下列形式:

第十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为

电偶极子的电场线

第十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

2.2静电场的基本方程

用散度描述电场：用旋度描述电场：

库仑定律电场强度电通密度（电感应强度）电通量高斯定律电位函数静电场的旋度电场力做功第十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.2.1电通密度与电通量电通密度电通量电感应强度，或电位移矢量真空中，它与电场强度的关系：（即通量的概念在电场中的应用）所以，表示单位面积上的电通量，称为电通密度。第十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.2.2静电场的高斯定律（Gauss’law）定义：从闭合面内发出的总电通量，等于面内所包围电荷总电量。积分形式微分形式静电场是有散的

散度与场源的关系

此式说明：空间任意存在正电荷密度的点，都发出电通量线（即电力线）第十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例：用高斯定律求孤立点电荷q在任意点P点产生的电场强度第十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四用散度描述电场：用旋度描述电场：

库仑定律电场强度电通密度（电感应强度）电通量高斯定律电位函数静电场的旋度电场力做功所以，静电场中电场强度的旋度恒为零，即静电场为无旋场（保守场）第十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四小结用散度描述电场：用旋度描述电场：

库仑定律电场强度电通密度（电感应强度）电通量高斯定律电位函数静电场的旋度电场力做功积分形式微分形式第十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四静电场属于有散无旋场基本方程的总结

微分形式积分形式第二十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.3电介质的极化与电通量密度平板电容器电压变小电介质第二十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.3电介质的极化与电通量密度一、静电场中的物质二、电介质中的基本方程1.静电场中的导体（如金属）2.静电场中的半导体（如硅和锗）3.静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）（1）导体内部任何一点的场强都等于零（2）电荷只分布在导体的外表面上（3）导体成为一个等位体，即导体表面电位处处相等。静电场中半导体与导体的表现没有区别。第二十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四电子云原子核He无极分子有极分子和无极分子电介质1.无极分子(nonpolarmolecule)在无外场作用下整个分子无电矩.例如CO2H2N2O2He2.有极分子(polarmolecule)在无外场作用下存在固有电矩.例如H2OHclCOSO2

因无序排列对外不呈现电性.OHHH2O有极分子第二十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四极化的结果在电介质的内部和表面形成极化电荷，这些极化电荷在介质内激发与外电场方向相反的电场第二十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩.在外电场中产生感应电偶极矩.第二十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四线性、均匀、各向同性的电介质中，电通密度与电场强度之间的关系(也称媒质的本构关系）：其中：

因而，任何电介质中，静电场的方程，只要将前面得出的方程中的介电常数换成即可。第二十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.4导体的电容一、电容器(capacitor)与电容(capacitance)二、电容计算应用举例——综合题目储存电荷的容器称为电容器,相互接近而又相互绝缘的任意形状导体都可构成电容器。电容：一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比,单位是法拉（F）.电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关，与所带电荷量无关。第二十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四1.平行双导线，单位长度的电容2.同轴线内外导体间，单位长度的电容3.孤立导体的电容第二十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四单位长度的电容解

设两金属线的电荷线密度为

例

两半径为的平行长直导线中心间距为，且,求单位长度的电容.第二十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四圆柱形电容器（3）

（2）（4）电容++++----（1）设两导体圆柱面单位长度上分别带电第三十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.5静电场的边界条件1、电通密度的法向分量(即垂直于分界面的分量），满足的边界条件。2、电场强度的切向分量（即平行于分界面的分量），满足的边界条件。决定分界面两侧电场变化关系的方程称为静电场的边界条件，即电场在两种不同媒质分界面上变化的规律。

第三十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四电通密度的法向分量，满足的边界条件物理意义：静电场中，如果不同媒质分界面上存在自由面电荷密度，则电通密度的法向分量不连续。第三十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.电场强度的切向分量，满足的边界条件物理意义：静电场中不同媒质分界面上,电场强度的切向分量总是连续的。第三十三页，共四十九页，编辑于2023年，星期四（1）两种不同电介质之间的分界面：（2）电介质与导体之间的分界面：

界面上无自由电荷分布，即ρS=0，边界条件变为

当媒质2为导体时，物理意义：导体表面上的静电场，总是垂直于导体表面第三十四页，共四十九页，编辑于2023年，星期四例:平行板电容器的长和宽分别为a和b，板间距离为d，电容器的一半厚度(0-d/2)用介电常数为ε的玻璃填充，另一半为空气。若板上外加电压为U0:(1)分别求出有介质填充(0-d/2)区域和无填充(d/2-d)区域中的电场强度;(2)板上及分界面上的自由面电荷密度;(3)电容器的电容量;第三十五页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2.6恒定电场一、电流与电流密度二、恒定电场的基本方程三、恒定电场的边界条件第三十六页，共四十九页，编辑于2023年，星期四1、电流的定义电荷在电场作用下作定向运动形成电流。单位为安培A通过媒质中某点的电荷的传输速率，定义为电流，即恒定电流（直流电流）第三十七页，共四十九页，编辑于2023年，星期四2、电流密度矢量(单位是A/m2)—体电流密度假定体电荷密度为的电荷以速度沿某方向运动，如下图所示。设在垂直于电荷流动的方向上取一面积元，若流过的电流为ΔI，则定义电流密度矢量的大小为单位面积上穿过的电流，方向为电流的流向该式表明，电流密度与电流I的关系是一个矢量场与它的通量的关系；或者说电流是电流密度矢量场的通量。

在导电媒质中，体电流密度与电场强度的关系：其中，表示导电媒质的电导率,电导率的值越大，表示媒质导电性能越好。第三十八页，共四十九页，编辑于2023年，星期四二、恒定电场的基本方程

电流密度矢量

电荷守恒定理

电流连续性方程用旋度描述：

电场力做功电场的旋度电位函数分两条主线讨论，用散度描述：电荷既不能创造，也不能毁灭，而只能转移。

单位时间内由闭合面S流出的电流应等于单位时间内S面内电荷的减少量。第三十九页，共四十九页，编辑于2023年，星期四积分形式散度定理微分形式电流连续性方程恒定电流连续性方程:第四十页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

电流密度矢量电荷守恒原理电流连续性方程恒定电流场的基本方程——小结1用散度描述：方程表明：恒定电流电场是无散场，即导电媒质中有恒定电流通过时，其内部电流密度是连续的。

积分形式微分形式第四十一页，共四十九页，编辑于2023年，星期四

电流密度矢量

电荷守恒原理

电流连续性方程用旋度描述：电场力做功电场的旋度电位函数分两条主线讨论，二、恒定电流场的基本方程用散度描述：积分形式微分形式拉普拉斯方程第四十二页，共四十九页，编辑于2023年，星期四表明：恒定电流电场属于无散无旋场二、恒定电流电场的基本方程——总结

在电源外的导体内,恒定电场的基本方程为：

微分形式积分形式第四十三页，共四十九页，编