2023年新高二暑假讲义12讲第10讲 椭圆含答案

2023年新高二暑假讲义第10讲椭圆新课标要求经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。知识梳理1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(±c,0)，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(0，±c)．其中a，b，c的关系为a2＝b2＋c2.3.椭圆的简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－a≤y≤a－b≤x≤b对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，－c)焦距|F1F2|＝2c顶点A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长2a，短轴长2b离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)4．点与椭圆的位置关系设点P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．eq\a\vs4\al(位,置,关,系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(点P在椭圆上⇔\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1,点P在椭圆内⇔\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＜1,点P在椭圆外⇔\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＞1))5．直线与椭圆的位置关系及判定位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2个解Δ＞0相切1个1个解Δ＝0相离0个无解Δ＜0名师导学知识点1椭圆定义的应用【例1-1】(1)已知定点F1，F2，其中F1(－4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．圆C．直线 D．线段(2)若P是以F1，F2为焦点的椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点，则△PF1F2的周长等于()A．16 B．18C．20 D．不确定【例1-2】若方程eq\f(x2,16－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜eq\f(7,2)C.eq\f(7,2)＜m＜16 D．m＞eq\f(7,2)【变式训练1-1】设F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．斜三角形 D．直角三角形【变式训练1-2】若方程x2＋ky2＝3表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．知识点2求椭圆的标准方程【例2-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4，3eq\r(2))；(2)a＝8，c＝6；(3)经过两点(eq\r(3)，－2)，(－2eq\r(3)，1)．【变式训练2-1】已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1知识点3椭圆的简单几何性质【例3-1】求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【变式训练3-1】若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不对知识点4根据椭圆的性质求椭圆的方程【例4-1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)长轴长为10，离心率为eq\f(3,5)；(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的标准方程为________________．(2)若椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝__________.知识点5椭圆离心率的应用【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是eq\f(R,2)，eq\f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)【例5-2】若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2∶1，求这个椭圆离心率的取值范围．【变式训练5-1】已知直线l：y＝kx与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.[eq\f(\r(2),2)，1） B．（0，eq\f(\r(2),2)）C.（eq\f(\r(2),2)，1） D．（0，eq\f(\r(2),2)]知识点6直线与椭圆的位置关系【例6-1】已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.(1)若(eq\r(3)，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；(2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？【变式训练6-1】直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．m＞1 B．m＞1且m≠3C．m＞3 D．m＞0且m≠3知识点7弦长问题【例7-1】求直线y＝x＋1被椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦长．【变式训练7-1】已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，则k＝________.知识点8直线与椭圆的综合应用【例8-1】设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.【变式训练8-1】如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式eq\r(x－2\r(2)2＋y2)＋eq\r(x＋2\r(2)2＋y2)＝4eq\r(3).(1)说明M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)设直线l：y＝－x＋m(m∈R)与点M的轨迹交于不同两点A，B，且|AB|＝3eq\r(2)，若点P(x0,2)满足(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，求x0.名师导练3.1.1椭圆及其标准方程A组-[应知应会]1．对于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．方程eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)＝2表示()A．椭圆 B．圆C．直线 D．线段3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，则k的值为()A．1 B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D．254．已知△ABC的周长为18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|<|CB|，则点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0，x<0)D.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0，x<0)5．设A，B两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，条件甲：点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0；条件乙：点C的坐标是方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)的解．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件6．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任意一点．则|PF1|·|PF2|的最大值为()A．16 B．4C．8 D．27．设P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．8．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.9．若椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与其两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.10．(1)已知椭圆的焦点为F1(－1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，求该椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，且焦距为6，求实数m的值．11．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．12．已知点A，B的坐标分别是A(0，－1)，B(0,1)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－t，t∈(0,1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．B组-[素养提升]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 3.1.2椭圆的简单几何性质A组-[应知应会]1．短轴长等于8，离心率等于eq\f(3,5)的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,100)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝12．(开封模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝13．以椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的短轴顶点为焦点，离心率e＝eq\f(1,2)的椭圆的标准方程为()A.eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,27)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,75)＝1 D．eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,75)＝14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)5．我们把离心率为黄金比eq\f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为()A．0 B．1C．2 D．46．已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(15),4) D．eq\f(\r(3),3)7．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．8．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为________．9．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．11．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，eq\r(3))，离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(\r(3),2)))都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．求椭圆的标准方程．B组-[素养提升]已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．3.1.3直线与椭圆的位置关系A组-[应知应会]1．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞eq\r(3))的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|＝eq\f(3,2)，则a的值为()A．4 B．2C．3 D．92．过坐标原点，作斜率为eq\r(2)的直线，交椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1于A，B两点，则|AB|的长为()A．2 B．4C.eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)3．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F(－c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a的值为()A.eq\f(3,4) B．1C．2 D．44．设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为长轴长的一半，则C的离心率为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),4)5．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝eq\f(2π,3)时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,14)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,6)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝16．在焦距为2c的椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b<c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，如果直线y＝eq\f(\r(2),2)x与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．8．(唐山模拟)设F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4eq\r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为________________．9．(怀化模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．10．(抚顺模拟)M(eq\r(2)，1)在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2eq\r(5).(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，若P－eq\f(7,3)，0，求证：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))为定值．11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段长为eq\f(16\r(2),5)，求椭圆的标准方程．12．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.B组-[素养提升](日照模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个顶点为H(2,0)，对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，则实数t的取值范围是________．第10讲椭圆新课标要求经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。知识梳理1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(±c,0)，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(0，±c)．其中a，b，c的关系为a2＝b2＋c2.3.椭圆的简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－a≤y≤a－b≤x≤b对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，－c)焦距|F1F2|＝2c顶点A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长2a，短轴长2b离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)4．点与椭圆的位置关系设点P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．eq\a\vs4\al(位,置,关,系)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(点P在椭圆上⇔\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＝1,点P在椭圆内⇔\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＜1,点P在椭圆外⇔\f(x\o\al(2,0),a2)＋\f(y\o\al(2,0),b2)＞1))5．直线与椭圆的位置关系及判定位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2个解Δ＞0相切1个1个解Δ＝0相离0个无解Δ＜0名师导学知识点1椭圆定义的应用【例1-1】(1)已知定点F1，F2，其中F1(－4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是()A．椭圆 B．圆C．直线 D．线段(2)若P是以F1，F2为焦点的椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点，则△PF1F2的周长等于()A．16 B．18C．20 D．不确定【分析】根据椭圆的定义求解．【解析】(1)∵|F1F2|＝8，∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，∴点P的轨迹是线段F1F2，故选D.(2)由eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1可知，c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4，故F1(－4,0)，F2(4,0)．∴|F1F2|＝8，根据椭圆的定义，可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴△PF1F2的周长为10＋8＝18，故选B.【答案】(1)D(2)B【例1-2】若方程eq\f(x2,16－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜eq\f(7,2)C.eq\f(7,2)＜m＜16 D．m＞eq\f(7,2)【分析】方程表示焦点在y轴上的椭圆，表明方程中y2下面对应的分母大于x2下面对应的分母，由此建立关于m的不等式组，求得实数m的取值范围．【解析】依题意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－m＞0，,m＋9＞0，,m＋9＞16－m，))解得eq\f(7,2)＜m＜16.【答案】C【变式训练1-1】设F1，F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．斜三角形 D．直角三角形【解析】由题意，得|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵c2＝4，∴c＝2，2c＝4，即|F1F2|＝4.∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，∴△PF1F2为直角三角形．【答案】D【变式训练1-2】若方程x2＋ky2＝3表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．【解析】将方程化为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,\f(3,k))＝1，由于它表示焦点在x轴上的椭圆，所以有3＞eq\f(3,k)＞0，解得k＞1.【答案】(1，＋∞)知识点2求椭圆的标准方程【例2-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4，3eq\r(2))；(2)a＝8，c＝6；(3)经过两点(eq\r(3)，－2)，(－2eq\r(3)，1)．【分析】(1)中有两种方法，一是定义法，二是根据点在椭圆上求解；(2)中由于焦点所在的坐标轴不确定，故分情况讨论；(3)可利用椭圆的一般方程求解．【解】(1)解法一：由题意，得2a＝eq\r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq\r(4－02＋3\r(2)－22)＝(6＋eq\r(2))＋(6－eq\r(2))＝12，解得a＝6.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.∴所求的椭圆的方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1.解法二：∵椭圆的焦点在y轴上，设所求的椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,b2)＋\f(18,a2)＝1，,a2－b2＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.))∴所求的椭圆方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,36)＝1.(2)∵a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64－36＝28.当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,28)＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,28)＝1.故所求的椭圆方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,28)＝1或eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,28)＝1.(3)设所求的椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，其中A＞0，B＞0.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3A＋4B＝1，,12A＋B＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,15)，,B＝\f(1,5).))故所求的椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.【变式训练2-1】已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】∵|AB|＝3，∴|AF2|＝eq\f(3,2)，∴在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝eq\f(9,4)＋4＝eq\f(25,4)，即|AF1|＝eq\f(5,2)，∴|AF1|＋|AF2|＝4＝2a，即a＝2.∵c＝1，∴b＝eq\r(3)，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】C知识点3椭圆的简单几何性质【例3-1】求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．【分析】欲解此题，需将椭圆化成标准形式，再确定焦点的位置及a，b，c的值，然后求解．【解】椭圆方程可变形为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2eq\r(5)，焦点坐标为F1(－eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).【变式训练3-1】若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不对【解析】直线与坐标轴交于(0,1)，(－2,0)，当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，∴方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，c＝1，b＝2，∴a2＝5，∴方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1.【答案】C知识点4根据椭圆的性质求椭圆的方程【例4-1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)长轴长为10，离心率为eq\f(3,5)；(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.【分析】欲求椭圆的方程，只需确定a，b的值，确定焦点所在的坐标轴即可．【解】(1)由题意，得2a＝10，∴a＝5.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.当焦点在x轴上时，椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.(2)∵焦距为6，∴2c＝6，∴c＝3.∵B1F⊥B2F，∴∠B1FO＝45°，∴|OB1|＝|OF|，∴b＝c＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.∵焦点在x轴上，∴所求的椭圆的标准方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的标准方程为________________．(2)若椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝__________.【解析】(1)由题意，知2a＝12，∴a＝6.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝3eq\r(3).∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.又∵焦点在x轴上，∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由题意，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a2＝4c2＝4(a2－b2)，∴3a2＝4b2，当焦点在x轴上时，a2＝2，b2＝eq\f(3,2)，即m＝eq\f(3,2)，当焦点在y轴上时，b2＝2，a2＝m，a2＝eq\f(4,3)b2＝eq\f(8,3)，即m＝eq\f(8,3)，∴m＝eq\f(3,2)或eq\f(8,3).【答案】(1)eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1(2)eq\f(3,2)或eq\f(8,3)知识点5椭圆离心率的应用【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是eq\f(R,2)，eq\f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)【分析】欲求离心率，只需由椭圆的几何性质分析得到a、c的值，再由e＝eq\f(c,a)计算可得．【解析】由题意，得a＋c＝eq\f(5,2)R＋R，a－c＝eq\f(R,2)＋R，∴a＝eq\f(5,2)R，c＝R，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(R,\f(5R,2))＝eq\f(2,5)，故选C.【答案】C【例5-2】若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2∶1，求这个椭圆离心率的取值范围．【分析】应利用|PF|范围，再求e范围．【解】设|PF1|∶|PF2|＝2∶1，即|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝eq\f(2a,3).又∵a－c≤|PF2|≤a＋c，∴a－c≤eq\f(2a,3)≤a＋c，解得e≥eq\f(1,3).又0＜e＜1，∴eq\f(1,3)≤e＜1.【变式训练5-1】已知直线l：y＝kx与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.[eq\f(\r(2),2)，1） B．（0，eq\f(\r(2),2)）C.（eq\f(\r(2),2)，1） D．（0，eq\f(\r(2),2)]【解析】由题意得AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c.由|OA|＞b，即c＞b，得c2＞b2＝a2－c2，即c2＞eq\f(1,2)a2.又0<e<1，解得eq\f(\r(2),2)＜e＜1.【答案】C知识点6直线与椭圆的位置关系【例6-1】已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.(1)若(eq\r(3)，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；(2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？【分析】对于(1)利用点与椭圆的位置关系求解；对于(2)，将直线与椭圆联立，利用判别式求解．【解】(1)∵(eq\r(3)，n)在椭圆内，∴eq\f(3,4)＋n2＜1，解得－eq\f(1,2)＜n＜eq\f(1,2).∴n的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(4m2－5m2＋5)＝16(5－m2)．当Δ＝16(5－m2)＞0，即－eq\r(5)＜m＜eq\r(5)时，直线与椭圆相交；当Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝±eq\r(5)时，直线与椭圆相切；当Δ＝16(5－m2)＜0，即m＞eq\r(5)或m＜－eq\r(5)时，直线与椭圆相离．【变式训练6-1】直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．m＞1 B．m＞1且m≠3C．m＞3 D．m＞0且m≠3【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝16m2－4m3＋m＞0，,m＞0，,m≠3，))解得m＞1且m≠3.【答案】B知识点7弦长问题【例7-1】求直线y＝x＋1被椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦长．【分析】将直线与椭圆方程联立，再套弦长公式可求出弦长．【解】设直线y＝x＋1与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得3x2＋4x－2＝0.①由题意，得方程①有两根x1，x2，根据韦达定理，得x1＋x2＝－eq\f(4,3)，x1x2＝－eq\f(2,3)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\f(16,9)＋\f(8,3))＝eq\f(4\r(5),3).∴直线y＝x＋1被eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦长为eq\f(4\r(5),3).【变式训练7-1】已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，则k＝________.【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0.由|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，得(1＋k2)(x1－x2)2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝eq\f(32,9)，即(1＋k2)eq\f(－4k,1＋2k2)2＝eq\f(32,9)，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.【答案】±1知识点8直线与椭圆的综合应用【例8-1】设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.【分析】(1)由椭圆C的方程可求得右焦点F的坐标，由于l⊥x轴，从而求出A的坐标，进一步可求得AM的方程；(2)对直线l分三种情况讨论：当直线l与x轴重合时，可直接求得∠OMA＝∠OMB；当直线l⊥x轴时，可直接求得∠OMA＝∠OMB；当直线l与x轴不重合也不垂直时，可设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用斜率公式表示出kMA＋kMB.把直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y转化为x的一元二次方程，利用根与系数的关系可证明kMA＋kMB＝0，从而证得∠OMA＝∠OMB.【解】(1)由椭圆方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，得F(1,0)，当l与x轴垂直时，l的方程为x＝1.由已知可求得，点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2))).又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－eq\f(\r(2),2)x＋eq\r(2)或y＝eq\f(\r(2),2)x－eq\r(2).(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB；当l⊥x轴时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB；当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<eq\r(2)，x2<eq\r(2)，则直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝eq\f(y1,x1－2)＋eq\f(y2,x2－2).由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝eq\f(2kx1x2－3kx1＋x2＋4k,x1－2x2－2).将y＝k(x－1)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1).则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝eq\f(4k3－4k－12k3＋8k3＋4k,2k2＋1)＝0，所以kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，从而∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.【变式训练8-1】如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式eq\r(x－2\r(2)2＋y2)＋eq\r(x＋2\r(2)2＋y2)＝4eq\r(3).(1)说明M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；(2)设直线l：y＝－x＋m(m∈R)与点M的轨迹交于不同两点A，B，且|AB|＝3eq\r(2)，若点P(x0,2)满足(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，求x0.【解】(1)M的轨迹是椭圆．由题中关系式，可得M(x，y)到(2eq\r(2)，0)，(－2eq\r(2)，0)的距离之和为4eq\r(3).∴2a＝4eq\r(3)，a＝2eq\r(3)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝12－8＝4，∴M的轨迹方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝eq\r([1＋－12]·[x1＋x22－4x1x2])＝3eq\r(2)，即(x1＋x2)2－4x1x2＝9，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m，,\f(x2,12)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2－6mx＋3m2－12＝0，∴x1＋x2＝eq\f(3,2)m，x1x2＝eq\f(3m2－12,4)，∴eq\f(9,4)m2－4·eq\f(3m2－12,4)＝9，得m2＝4，∴m＝±2.又(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0等价于P与AB中点连线与AB垂直，设AB中点为Q，则kPQ＝1，即eq\f(\f(y1＋y2,2)－2,\f(x1＋x2,2)－x0)＝1，代入得x0＝eq\f(m,2)＋2，∴x0＝3或1.名师导练3.1.1椭圆及其标准方程A组-[应知应会]1．对于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】若方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，则m>0，n>0，且m≠n，可推得mn>0.反之不成立，所以“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【答案】B2．方程eq\r(x＋12＋y2)＋eq\r(x－12＋y2)＝2表示()A．椭圆 B．圆C．直线 D．线段【解析】设P(x，y)，A(－1,0)，B(1,0)，则方程表示|PA|＋|PB|＝2，而|AB|＝2.∴|PA|＋|PB|＝|AB|，∴方程表示线段AB.【答案】D3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，则k的值为()A．1 B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D．25【解析】将椭圆5x2＋ky2＝5化为标准方程x2＋eq\f(y2,\f(5,k))＝1，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,k)>1，,\f(5,k)－1＝4，))∴k＝1.【答案】A4．已知△ABC的周长为18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|<|CB|，则点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0，x<0)D.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0，x<0)【解析】∵|CA|＋|AB|＋|CB|＝18，|AB|＝8，∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，∴点C的轨迹是椭圆，且2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.又∵|CA|<|CB|，∴x<0，y≠0.【答案】C5．设A，B两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，条件甲：点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0；条件乙：点C的坐标是方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)的解．则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【解析】∵设C(x，y)，且eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x＋1，y)·(x－1，y)＝(x＋1)(x－1)＋y2＝x2＋y2－1＝x2＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))－1＝eq\f(1,4)x2＋2＞0.∴甲是乙的必要不充分条件．【答案】B6．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任意一点．则|PF1|·|PF2|的最大值为()A．16 B．4C．8 D．2【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|PF1|·|PF2|＝mn≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．【答案】B7．设P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．【解析】|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.【答案】68．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.【解析】∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(7)，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，又∠F1PF2∈(0，π)，∴∠F1PF2＝eq\f(2,3)π.【答案】2eq\f(2,3)π9．若椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与其两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.【解析】由题意，得|PF1|＋|PF2|＝14，|F1F2|＝10.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2.∴|PF1|·|PF2|＝48.【答案】4810．(1)已知椭圆的焦点为F1(－1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，求该椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)，且焦距为6，求实数m的值．【解】(1)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2.又|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又此椭圆焦点在x轴上，∴所求的椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，则a2＝25，b2＝m2，则a2－b2＝25－m2＝c2＝9.∴m2＝25－9＝16，又m＞0，∴m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝m2，b2＝25，c2＝a2－b2＝m2－25＝9，∴m2＝34.又m＞0，∴m＝eq\r(34).综上，实数m的值为4或eq\r(34).11．已知P为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【解】在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，由椭圆定义，得10＝|PF1|＋|PF2|，|F1F2|＝5，代入上式得|PF1|·|PF2|＝25，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(25\r(3),4).12．已知点A，B的坐标分别是A(0，－1)，B(0,1)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－t，t∈(0,1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．【解】设M(x，y)，则kBM＝eq\f(y－1,x－0)(x≠0)，kAM＝eq\f(y－－1,x－0)(x≠0)，由题意，得kBMkAM＝－t，即eq\f(y－1,x－0)·eq\f(y－－1,x－0)＝－t(x≠0)，整理得y2＋eq\f(x2,\f(1,t))＝1(x≠0)．①当t∈(0,1)时，M的轨迹为椭圆(除去A和B两点)；②当t＝1时，M的轨迹为圆(除去A和B两点)．B组-[素养提升]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】设|F2B|＝x，则|AF2|＝2x，|BF1|＝3x，∴|BF1|＋|BF2|＝4x＝2a，∴x＝eq\f(a,2)，|AF2|＝a，则由椭圆定义|AF1|＝a，在△AF1F2和△AF1B中，根据余弦定理，cosA＝eq\f(a2＋a2－4,2a2)＝eq\f(a2＋\f(9,4)a2－\f(9,4)a2,2a·\f(3,2)a)，解得a2＝3，c2＝1，b2＝2.则椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.【答案】B 3.1.2椭圆的简单几何性质A组-[应知应会]1．短轴长等于8，离心率等于eq\f(3,5)的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1或eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,100)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1【解析】∵离心率e＝eq\f(3,5)，短轴长为8，∴eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，b＝4，又a2－b2＝c2，解得a2＝25，b2＝16.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.【答案】D2．(开封模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq\f(1,2)，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】由圆C：x2＋y2－2x－15＝0，得(x－1)2＋y2＝16，∴圆C的半径r＝4，∴2a＝4，a＝2.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】A3．以椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的短轴顶点为焦点，离心率e＝eq\f(1,2)的椭圆的标准方程为()A.eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,27)＝1 B．eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,75)＝1 D．eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,75)＝1【解析】由题意得，所求椭圆中c＝3，e＝eq\f(1,2)＝eq\f(c,a)，a＝6，b2＝36－9＝27，焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,27)＝1.【答案】A4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)【解析】由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).【答案】A5．我们把离心率为黄金比eq\f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】如图所示，在Rt△OF1B中，|F1B|＝a，|OF1|＝c，则sin∠F1BO＝eq\f(|OF1|,|F1B|)＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)<eq\f(\r(2),2)，∴∠F1BO<45°，∴∠F1BF2<90°.又∵∠F1PF2≤∠F1BF2，∴满足∠F1PF2＝90°的点P不存在．【答案】A6．已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(\r(15),4) D．eq\f(\r(3),3)【解析】∵椭圆eq\f(x2,a2)＋y2＝1的焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±eq\r(a2－1)，0)．由题意，得eq\f(a2－1,a2)＋y2＝1，∴y＝±eq\f(1,a).∵|AB|＝1，∴eq\f(2,a)＝1，∴a＝2，∴c＝eq\r(a2－1)＝eq\r(3)，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).【答案】A7．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．【解析】设P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(x＋c，y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(x－c，y)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2－c2＋y2＝c2，即x2＋y2＝2c2，即椭圆上存在点P，使得|PO|＝eq\r(2)c，又|PO|∈[b，a]∴b≤eq\r(2)c≤a，b2≤2c2≤a2，由a2－c2≤2c2，得e≥eq\f(\r(3),3)，由2c2≤a2，e2≤eq\f(1,2)，∴e≤eq\f(\r(2),2)，∴e∈eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(2),2)8．已知F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为________．【解析】由题，可知|OP|＝|OF2|，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e2＝eq\f(1,2)，即e＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)9．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．【解析】设M(m，n)，m，n＞0，椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的a＝6，b＝2eq\r(5)，c＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，由M为椭圆C上一点且在第一象限，得|MF1|＞|MF2|.又△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6＋eq\f(2,3)m＝8，即m＝3，n＝eq\r(5)，或6－eq\f(2,3)m＝8，即m＝－3＜0，舍去．综上，M(3，eq\r(15))．【答案】(3，eq\r(15))10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝eq\f(\r(3),2)，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．【解】①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(4,a2)＋\f(9,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝40，b2＝10，故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,10)＝1；②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(9,a2)＋\f(4,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得a2＝25，b2＝eq\f(25,4)，故所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,10)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.11．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，eq\r(3))，离心率为eq\f(1,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范围．【解】(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，,c＝1.))∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)得，A(－2,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－2－x)(1－x)＋y2＝x2＋x－2＋3－eq\f(3,4)x2＝eq\f(1,4)x2＋x＋1＝eq\f(1,4)(x＋2)2(－2≤x≤2)．∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))∈[0,4]．12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(\r(3),2)))都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．求椭圆的标准方程．【解】由题设，知a2＝b2＋c2，e＝eq\f(c,a)，由点(1，e)在椭圆上，得eq\f(12,a2)＋eq\f(e2,b2)＝1，即eq\f(1,a2)＋eq\f(c2,a2b2)＝1，∴b2＋c2＝a2b2，∴a2＝a2b2，∴b2＝1，∴c2＝a2－1.由点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，\f(\r(3),2)))在椭圆上，得eq\f(e2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,b2)＝1，即eq\f(c2,a4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2,1)＝1，∴eq\f(a2－1,a4)＋eq\f(3,4)＝1，整理得a4－4a2＋4＝0，解得a2＝2.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.B组-[素养提升]已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．【解析】如图，设右焦点为F1，PF中点为M，则OM为△FPF1的中位线，由题意，得|OF|＝2，则|OM|＝2，|PF1|＝4，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF|＝2，在△PFF1中，cos∠PFF1＝eq\f(16＋4－16,2×4×2)＝eq\f(1,4)，∴sin∠PFF1＝eq\f(\r(15),4)，∴k＝tan∠PFF1＝eq\r(15).【答案】eq\r(15)3.1.3直线与椭圆的位置关系A组-[应知应会]1．过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞eq\r(3))的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|＝eq\f(3,2)，则a的值为()A．4 B．2C．3 D．9【解析】∵|AB|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(6,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝4.【答案】A2．过坐标原点，作斜率为eq\r(2)的直线，交椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1于A，B两点，则|AB|的长为()A．2 B．4C.eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x，,x2＋4y2＝12，))得x2＝eq\f(4,3)，解得x＝±eq\f(2\r(3),3)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(3)×eq\f(4\r(3),3)＝4.【答案】B3．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点为F(－c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a的值为()A.eq\f(3,4) B．1C．2 D．4【解析】圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m＜0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．由题意知，直线l的方程为x＝－c，又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.【答案】C4．设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，